2025北京一零一中高三（上）统练二数学试题及答案

高中2025北京一零一中高三（上）统练二数学一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为A. B. C. D.3.已知双曲线的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.4.设，，且，则下列不等式一定正确的是（）A. B.C. D.5.在中，角的对边分别是，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（）A. B.3 C. D.7.设函数为定义在R上的偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为8，则（）A.12 B.4 C. D.8.“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，这里的圆缺就是指“月相变化”，即地球上所看到的月球被日光照亮部分的不同形象、随着月球与太阳的相对位置的不同，便会呈现出各种形状．古代中国的天象监测人员发现并记录了月相变化的一个数列，记为．其中且，将满月等分成240份．（且）表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．已知，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．若在月相数列中，前5项构成公比为等比数列，第5项到第15项构成公差为的等差数列，且均为正整数，则第4天可见部分占满月的（）A. B. C. D.9.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上动点（包括端点）．则下列结论错误的是（）A.三棱锥的体积为定值B.过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C.直线与平面所成角的正弦值的范围为D.当点P为的中点时，二面角的余弦值最大10.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24；③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3；④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12．其中正确结论的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题共5小题．11.在的二项展开式中，若各项系数和为64，则项的系数为______．12.已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______．13.在边长为2的等边三角形ABC中、D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______．14.已知，函数，则______；若存在实数k，使得函数恰有四个零点，则a的取值范围为______．15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且．给出下列四个结论：①；②存在一个正数，使得对任意的，都有；③数列单调递减；④对任意的，，都有．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，（1）求的解析式；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到；条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为.注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.17.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．18.某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲､乙､丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到下表(单位：人)：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲､乙､丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲､乙､丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.19.椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由．20.已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，关于x的方程有两个不同的实数根，，①求k的取值范围；②当取最小值时，求k的值．21.已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A中任意一项，都有，则称数列A是长为m的数列．（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若，证明：数列a，b，c为数列；（3）设M是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．

参考答案一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号12345678910答案CBADCDCCDB二、填空题共5小题．11.【答案】依题意，的二项展开式的各项系数和为，解得，则其通项为，使，解得，则项的系数为.故答案为：15.12.【答案】圆整理得，即圆的圆心为点，半径为，由题可知点是弦的中点，则，由题意得，，则，所以经过点的直线的方程为，即．故答案为：．13.【答案】设，，因为为边长为2的等边三角形，，所以，，，，，因为，所以为等边三角形，，⊥，故，故当时，取得最小值.故答案为：14.【答案】因为，所以.函数恰有四个零点，等价于方程恰有四个不同的实数解，即函数的图象与有四个不同的交点.当时，，则，所以函数在上单调递减；当时，，令，所以，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，且当时，，所以在上单调递增，且；所以，当时，函数的图象与最多有一个交点.所以要想函数的图象与有四个不同的交点，须使当时，函数的图象与恰有三个交点.所以.所以的取值范围为.故答案为：0；.15.【答案】对于①，中，令得，解得或0（舍去），令得，即，故，解得，负值舍去，①正确；对于②，因为是各项均为正数的无穷数列，所以，，故，故随着的增大，趋向于，故不存在一个正数，使得对任意的，都有，②错误；对于③，，对任意的，，，因为是各项均为正数的无穷数列，所以，所以，，所以随着的增大而减小，数列单调递减，③正确；④由以上分析可知，，随着的增大而减小且无限接近于1，因为对任意的，，有，所以，所以，因为，，，，所以，故，即，对任意的，，都有，④正确.故答案为；①③④三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）;选①：函数的图象经过点，则，所以，则，由，可得，则；选②：函数的图象可由函数的图象平移得到，即的图象可由函数的图象平移得到，则，则.选③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则函数的最小正周期为，故，故.（2）当时，,则，故，又当时，关于的不等式恒成立，故,即实数的取值范围为.17.【答案】（1）取的中点，连接、．由已知，左图是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以（即）、,因为，所以,，所以,（2）由（1）和平面平面知，平面,从而、、两两互相垂直，以为原点，以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系,则、、、,设是平面的一个法向量，则,取，则，故,,直线与平面所成角的正弦值为.18.【答案】（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A，由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为19，39，42，所以从样本中任取1个，这人没去丙景点的概率为.（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取1人，此人去乙景点的概率是，所以，，，所以随机变量的分布列为012故.（3）由题干所给表格中的数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分的报团游､自驾游总人数分别为31，25，得分为5分的报团游､自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游､自驾游总人数分别为9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，自驾游满意度的均值为，因为，所以建议王某选报团游.19.【答案】（1）由可得又由题意，，联立两式，解得所以椭圆C的方程为．（2）设，则，，，则，．则直线与椭圆方程联立，消去可得：，即．显然,，所以，．所以，同理可得．所以．所以．20.【答案】（1）定义域为．当时，，，令，则，令，得．当变化时，的变化情况如下：x0－0＋↘极小值↗所以，所以当时，恒成立，所以恒成立，所以单调递增区间为，，无单调递减区间．（2）①：当时，．令，则，即，令，关于x的方程有两个不同的实数根，，，有两个不同的零点，，，且，均不为0，，当时，，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意，当时，令，得．当变化时，的变化情况如下：x－0＋↘极小值↗所以，所以．又，，，当，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，即，所以，，，所以．因为，，又，且在单调递减，在单调递增，所以，，使，．所以有两个不同的非零零点，综上，k的取值范围为．②即．由①知．所以，所以即，由（1）知在上单调递增，所以最小时取最小值，即也取最小值．设，则，设，则，所以在上单调递增，又，，所以存在使得，且时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，此时．21.【答案】（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列．（2）①当时，令，，，，所以数列，，，为等差数列，且，所以数列，，为数列．②当时，令，，，，所以数列，，，为等差数列，且．所以数列，，为数列．③当时，令，，，，所以数列，，，为等差数列，且．所以数列，，为数