2025北京中关村中学高三（上）开学考数学试题及答案

高中2025北京中关村中学高三（上）开学考数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，且，则（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点的初始位置坐标为，则运动到分钟时，动点所处位置的坐标是A. B. C. D.5.设，，，则（）A. B.C. D.6.设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，其导函数为，则“”是“恰有两个极值点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：），且，则大跳台最高高度（）A. B. C. D.9.随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（）A.秒 B.秒 C.秒 D.秒10.已知,,若存在,使得,则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数，则的定义域是______，______．12.已知平面内四个不同的点满足.，若，则______.13.等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为_______，_______．14.已知函数的部分图象如图所示．①函数的最小正周期为________；②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是________．15.已知数列满足，，则①当时，存在，使得；②当时，为递增数列，且恒成立；③存在，使得中既有最大值，又有最小值；④对任意的，存在，当时，恒成立．其中，所有正确结论的序号为______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值；（3）若函数在上存在最小值，求的取值范围18.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求的值；（2）求的单调递增区间；（3）若在上的值域为，求的值.19.在中，为钝角，.（1）求；（2）若，，为边上一点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点.（i）求出点的横坐标（用表示）；（ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形.21.已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;（2）若具有性质,证明:;（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．

参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】D【分析】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解.【详解】不等式，即，解得，则，而，所以.故选：D2.【答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，进而求出所对应的点的位置.【详解】由，得，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.故选：D3.【答案】C【分析】根据不等式的性质可得，排除ABD，再根据不等式性质判断C即可.【详解】对ABD，因为，故，又，故，故，即，故ABD错误；对C，，故，又，因为，且，故，故，即，则，故C正确；故选：C4.【答案】C【分析】计算出运动分钟时动点转动的角，再利用诱导公式可求得结果.【详解】每分钟转动一周，则运动到分钟时，转过的角为.设点的初始位置的坐标为，则，，运动到3分钟时动点所处位置的坐标是.由诱导公式可得，，所以，点的坐标为.故选：C.5.【答案】A【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可.【详解】因为，，又，，所以，且，所以，所以.

故选：A6.【答案】C【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果.【详解】当时，，，当时，，，因为函数为偶函数，则，综上所述，当时，.故选：C.7.【答案】B【分析】根据导函数的实数根，与极值点的关系，即可结合必要充分条件的定义求解.【详解】当时，由于，令，则或者，当时，即，此时在恒成立，此时的定义域单调递增，此时无零点，故充分性不成立，若恰有两个极值点，则在上有两个不相等的实数根，则，，且时，解得且，故必要性成立，故选：B8.【答案】C【分析】分别在和中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【详解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故选：C9.【答案】B【分析】设所需时间为秒，则然后两边取对数化简计算即可【详解】设所需时间为秒，则∴，秒，故选：B.10.【答案】B【详解】由题意可知，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即，得．函数在区间(1,3)上存在零点，由=0，得令，，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减，,，所以只需即有零点．选B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】①.②.0【分析】利用函数有意义求出定义域；再求出导数，进而求出导数值.【详解】函数有意义，则，因此函数的定义域是；求导得，所以.故答案为：；012.【答案】【分析】利用，得到为的中点，再利用，得，即可求解.【详解】因为，所以为的中点，又，所以，又，而，所以，故，所以，故答案：.13.【答案】①.②.（答案不唯一）【分析】由题意，等比数列为递增数列，且，取一组符合条件的和公比即可.【详解】“若为递增数列，则”为假命题，所以若为递增数列，则，，则，等比数列为递增数列，且，则和公比，满足题意.故答案为：；14.【答案】①.②.【分析】空1：可由图像直接读出半个周期，进而可得周期大小；空2：通过周期大小和函数上的点，可求出的解析式，再平移得到，然后根据奇偶性求参即可.【详解】空1：由图可知,即空2：,即，则，又过点，所以，即，又在原图增区间上，所以可取，所以，向右平移个单位可得，又为奇函数，所以，即,又，所以.故答案为：；.15.【答案】②③④【分析】根据数列递推式，求得判断①②；举出特例说明判断③；按和分类讨论判断④.【详解】由，得，则，，对于①，当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，则，即，数列单调递增，，因此不存在，使得，①错误；对于②，当时，由①知，，则数列单调递增，，又，因此，②正确；对于③，取，则，而，因此，数列有最大值2，最小值为，③正确；对于④，若，则当时，，不等式恒成立；若，则，随着正整数无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，而，，则无限趋近于，因此必存在，当时，恒成立，则对任意的，存在，当时，恒成立，④正确.故答案为：②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）；（2）4.【分析】（1）利用等比数列的性质列方程求公差，进而求出的通项公式.（2）求出的通项公式，数列的前项和，再解不等式求n的范围.【小问1详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，则，即，则，所以.【小问2详解】由（1）知：，等比数列的公比，，，数列是首项、公比都为的等比数列，则，由，得，则，即，而数列单调递增，又，，因此，所以所求最大正整数为4.17.【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为；（3）【分析】（1）计算出，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；（2）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况；（3）由（2）得到函数单调性，结合，得到的取值范围.【小问1详解】，，故，故在点处的切线方程为，即；【小问2详解】令，得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值，极大值为，极小值为；【小问3详解】由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，且，要想在上存在最小值，故18.【答案】（1）（2），．（3）【分析】（1）直接代入求值即可；（2）首先求得函数，再由整体代入法即可求解；（3）由正弦型函数的性质即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】.因为相邻两条对称轴之间的距离为，故，且，.所以．所以．令，解得，．所以的单调递增区间为，．【小问3详解】因为，所以．因为在上的值域是为，所以在上的值域为．所以．所以．19.【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理得即可求解；（2）由正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式逐一分析三个条件即可求解.【小问1详解】由，得．在中，由正弦定理得．因为，，所以．又，所以．【小问2详解】选条件①：．在中，由正弦定理，得．因为为钝角，所以．在中，因为，由余弦定理，得．解得或（舍）．所以．选条件②：因为为钝角，所以为锐角，而，这与是的外角，矛盾，从而此时不存在；选条件③：的周长为．在中，由正弦定理，得．因为为钝角，所以．因为的周长为，所以．在中，由余弦定理，得，解得.所以.20.【答案】（1）答案见解析（2）（i）（ii）答案见解析【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究单调性；（2）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出的横坐标；为等腰直角三角形时，，则，即，构造函数，，画出图象，在有一个交点，即可得证.【小问1详解】，其中，定义域为，令，则或，当时，即，此时，所以在上单调递减；当时，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】（i）当时，，，当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，令，则，所以点所以点的横坐标.（ii），，已知点在轴上，且轴，所以，若为等腰直角三角形，则，即，则，因为，所以，画出，图象如图：结合图象可知，，在有一个交点，所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形.21.【答案】（1）不具有性质,具有性质,（2）证明见解析（3）【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;(2)“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.(3)设中元素个