2025北京中关村中学高三12月月考数学试题及答案

高中2025北京中关村中学高三12月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若的展开式中常数项为32，则（）A.5 B.6 C.7 D.83.若复数z满足，则（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（）A.7 B.6 C.5 D.45.已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（）A.6 B.5 C.4 D.36.如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）A. B. C. D.7.设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（）A. B.C. D.8.设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.给出下列四个结论：①存在定义域为且单调递增的函数使得恒成立；②存在定义域为且单调递减的函数使得恒成立；③使得，恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得，恒成立的函数存在且有无穷多个.其中所有正确结论的序号为（）A.①④ B.②③ C.②④ D.③④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________.12.已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________．13.已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，B，C，D使得四边形为正方形，则m的一个取值为______．14.我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为______.15.在平面直角坐标系内，动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的和为4.记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：①曲线W过原点；②曲线W是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W围成区域的面积大于.则所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．17.如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的大小.18.已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定.（1）求的解析式；（2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小．20.已知函数（）.（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和，（ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行；（ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值.21.已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，.（1）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出的值；（2）设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列；（3）证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.题号12345678910答案BADBCBDBDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】由抛物线的定义可得，解得.故答案为：2.12.【答案】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；不妨设，满足；则，，，设与的夹角为，则，则，令，故，根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，又当时，，当或时，，故，又，故故答案为：；.13.【答案】当时，双曲线为，此时，则双曲线的渐近线方程为.双曲线，即，其渐近线方程为，要使双曲线上存在四个点满足四边形是正方形，根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等，则，解得，可取.故答案为：；（答案不唯一）.14.【答案】如图，平面内，过分别作的垂线，垂足分别为，平面内，过分别作的垂线，与分别交于，将“羡除”分割为两个四棱锥，和直棱柱，由，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.则，，，故所求几何体的体积为．故答案为：4015.【答案】设，则，到直线的距离，由题意可知，即，即，所以，当时，，，则；当时，，，则，可作图如下：由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；由曲线W中两段抛物线的表达式知：曲线经过4个点，没有其它整点，故③正确；由曲线W中两段抛物线d表达式得，四边形的面积，，，多边形的面积，所以曲线W围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.【答案】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.17.【答案】（1）如图，取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，因为且，为的中点，则且，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，，因为平面，平面，所以，平面.（2）因为平面，平面，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，则，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为.18.【答案】（1）；若：选择条件①：与条件②：：由，则的最小正周期，则，即；由为对称轴，可得，所以的极值为或，根据条件②，可得或，解得（与矛盾，舍去）或，故，；若：选择条件①：与条件③：：由，则的最小正周期，则，即；又，则，即，故；不能选择条件②与条件③，理由如下：若：选择条件②：与条件③：：由为对称轴，可得，所以的极值为或，根据条件②，可得或，解得（与矛盾，舍去）或，由，则，有，故或，，则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一；（2）当时，，由在区间上有且仅有2个零点，则，解得.19.【答案】（1）因为直线的方程为，所以，，即，，所以，所以椭圆方程为，离心率（2）依题意，设，，则，且点是椭圆上一点，可得，直线的方程为，由，可得，所以，直线的方程为，令，得，即，所以，即直线的倾斜角是，所以.20.【答案】（1）当时，，则，令，则，故在上递增，又，则时，，又，故，当时，，又，故，故恒成立，故在上单调递增，即函数的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）（ⅰ）当时，，根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根，故，，则，，且有，则，，则，同理，故函数在两点，处的切线平行；（ⅱ）由（ⅰ）知，故在点处的切线为，，令，则，又，故，故，又，且，所以，令，则，又，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，所以的最大值为.21.【答案】（1）依题意，，则，，则，，则，，则，所以，.（2）充分性：因为是公差为的等差数列，且，则，因此，，必要性：因为，则，又因为，所以，于是，因此，，即是公差为的等差数列，