2026北师大版数学八年级下册第4章因式分解3　公式法第1课时　运用平方差公式因式分解教案

3公式法第1课时运用平方差公式因式分解教师备课素材示例●置疑导入如图，图①涂色部分的面积＝__a2－b2__，图②将涂色部分进行分割，图③拼摆，涂色部分的面积＝__(a＋b)(a－b)__．因为S①＝S③，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b).【教学与建议】教学：让学生自己动手，亲手拼一拼，动一动手来验证平方差公式．建议：数形结合证明得到平方差公式及因式分解，学生合作交流论证方法．●归纳导入活动内容：问题1：我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母表示是__(a－b)(a＋b)＝a2－b2__．问题2：填空：(1)(x＋2)(x－2)＝__x2－4__；(2)(2x＋y)(2x－y)＝__4x2－y2__；(3)(2m＋3n)(2m－3n)＝__4m2－9n2__．问题3：(a－b)(a－b)＝a2－b2(整式乘法)a2－b2＝(a－b)(a＋b)(因式分解)【归纳】整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法．【教学与建议】教学：让学生复习回顾前面所学习的平方差公式，使学生能够熟练掌握平方差公式的特点，为本课的学习做铺垫．建议：问题1、2学生单独练习后小组讨论，问题3讨论交流．命题角度1用平方差公式进行因式分解用平方差公式因式分解的特点是：(1)左边是二项式，两项都能写成平方的形式，并且符号相反；(2)右边是两个数的和与这两个数的差的积，而且被减数是左边平方项系数为正的那个数．【例1】分解因式4x2－y2的结果是(C)A．(4x＋y)(4x－y)B．4(x＋y)(x－y)C．(2x＋y)(2x－y)D．2(x＋y)(x－y)【例2】将(a＋1)2－1分解因式，结果正确的是(B)A．a(a－1)B．a(a＋2)C．(a－2)(a－1)D．(a－2)(a＋1)命题角度2提公因式法与平方差公式结合因式分解的三步骤：一提，二套，三检验．【例3】因式分解：(1)a3－ab2＝__a(a－b)(a＋b)__；(2)a－ax2＝__a(1－x)(1＋x)__；(3)x2(a－b)＋(b－a)＝__(a－b)(x＋1)(x－1)__．命题角度3利用平方差公式进行简便运算利用平方差公式解题，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．【例4】若eq\f((92－1)(112－1),k)＝8×10×12，则k的值为(B)A．12B．10C．8D．6命题角度4利用平方差公式因式分解解决实际问题解决这类问题要数形结合，弄清楚题意，再列式．【例5】将边长分别为(a＋b)和(a－b)的两个正方形按如图所示的方式摆放，则阴影部分的面积化简后的结果是__4ab__．【例6】如图，将一边长为acm的正方形纸片的四个角剪去一个边长为bcmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b<\f(a,2)))的小正方形．用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积．解：剩余部分的面积是(a2－4b2)cm2.当a＝10，b＝1.5时，a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(10＋2×1.5)×(10－2×1.5)＝13×7＝91.答：当a＝10，b＝1.5时，剩余部分的面积为91cm2.高效课堂教学设计1．理解和掌握平方差公式的特点，会运用平方差公式分解因式．2．经历通过平方差公式逆向运算的推导，感悟用公式法分解因式的过程．▲重点会用平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)进行因式分解．▲难点公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)中的a，b为多项式时的因式分解．◆活动1创设情境导入新课(课件)1．填一填．(1)(x＋3)(x－3)＝__x2－9__；(2)(4x＋y)(4x－y)＝__16x2－y2__；(3)(1－2x)(1＋2x)＝__1－4x2__；(4)(3m＋2n)(3m－2n)＝__9m2－4n2__．2．根据第1题填一填．(1)x2－9＝__(x＋3)(x－3)__；(2)16x2－y2＝__(4x＋y)(4x－y)__；(3)1－4x2＝__(1－2x)(1＋2x)__；(4)9m2－4n2＝__(3m＋2n)(3m－2n)__．你有什么发现，这节课我们将学习这种类型的因式分解．◆活动2实践探究交流新知【探究1】探究因式分解的平方差公式问题1：观察多项式(1)x2－25，(2)9x2－y2，(3)9m2－4n2的特点，并尝试把它们分别写成两个因式的乘积的形式．问题2：如果把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，你能发现有什么特点？解：问题1：(1)(x＋5)(x－5)；(2)(3x＋y)(3x－y)；(3)(3m＋2n)(3m－2n).问题2：a2－b2＝(a＋b)(a－b).公式特点：①公式左边：是一个多项式，含有两项，且这两项异号，并且能写成a2－b2的形式；②公式右边：是分解的结果，是乘积的形式，是两个底数的和乘两个底数的差．【归纳】因式分解的平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b).做一做：判断下面多项式能否用平方差公式来分解因式．①x2－1；②x2＋y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤eq\f(1,9)m2－eq\f(1,4)n2；⑥(a＋b)2＋(c＋d)2；⑦(a＋b)2－(c＋d)2.观察思考，能用平方差公式来分解因式的是__①③⑤⑦__．【探究2】利用平方差公式进行因式分解1．把下列各式因式分解：(1)25－16x2；(2)9a2－eq\f(1,4)b2.分清公式中的a和b，再应用公式进行因式分解．解：(1)25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x).(2)9a2－eq\f(1,4)b2＝(3a)2－(eq\f(1,2)b)2＝(3a＋eq\f(1,2)b)(3a－eq\f(1,2)b).2．把下列各式因式分解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2)2x3－8x.因式分解的一般步骤：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出公因式，然后能套用公式的再套用公式，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止．解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n).(2)2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2).◆活动3开放训练应用举例【例1】因式分解：(1)a4－eq\f(1,16)b4；(2)x3y2－xy4.【方法指导】(1)a4－eq\f(1,16)b4可以写成(a2)2－(eq\f(1,4)b2)2的形式，这样可以用平方差公式进行因式分解，而其中因式a2－eq\f(1,4)b2仍可以继续用平方差公式因式分解；(2)x3y2－xy4有公因式xy2，应先提公因式再进一步因式分解．解：(1)原式＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a2－eq\f(1,4)b2)＝(a2＋eq\f(1,4)b2)(a－eq\f(1,2)b)(a＋eq\f(1,2)b).(2)原式＝xy2(x2－y2)＝xy2(x＋y)(x－y).【例2】因式分解：(1)(a＋b)2－4a2;(2)m4－1.【方法指导】将原式转化为两个式子的平方差的形式后，运用平方差公式因式分解．解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b).(2)原式＝(m2＋1)(m＋1)(m－1).◆活动4随堂练习1．下列各式：x2－y2，－x2－y2，(－x)2＋(－y)2，－x2＋y2，x4－y4，其中能用平方差公式因式分解的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是(C)A．3(x2－9)B．3(x－3)2C．3(x＋3)(x－3)D．3(x＋9)(x－9)3．计算752－252的结果为__5_000__．4．课本P119随堂练习T15．课本P119随堂练习T2◆活动5课堂小结与作业【学生活动】1．这节课你有什么收获？2．在探究因式分解的平方差公式时，我们运用了哪些方法？什么样的式子可以用平方差公式进行因式分解？【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加强利用平方差公式进行因式分解的理解和运用．【作业】课本P121习题4.3中的T1、T4、T5、T6、T7.本节课先复习平方差公式，再逆用平方差公式解