2026北师大版数学八年级下册第5章分式与分式方程1　分式及其基本性质1　分式及其基本性质第2课时　分式的基本性质教案

第2课时分式的基本性质教师备课素材示例●归纳导入1.将下列各分数化成最简分数：eq\f(5,25)＝__eq\f(1,5)__；eq\f(20,100)＝__eq\f(1,5)__；eq\f(60,12)＝__5__；eq\f(16,56)＝__eq\f(2,7)__．化简分数的方法：首先找到分子、分母的__最大公因数__，然后利用__分数的基本性质__就可将分数化简．2．上题实质是分数的__约分__；它的依据是：__分数的基本性质__；分数的基本性质是：__分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变__．对于分式是否也具有相同的性质呢？如：eq\f(a,3a)与eq\f(1,3)相等吗？eq\f(x2,xy)与eq\f(x,y)呢？与同桌举例交流，分式的基本性质是什么？【归纳】分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．【教学与建议】教学：采用归纳探究、启发引导的方法探究分式的基本性质．建议：问题可小组讨论、交流，归纳出分式的基本性质．●类比导入(1)请同学们考虑：eq\f(4,5)与eq\f(16,20)相等吗？eq\f(10,16)与eq\f(5,8)相等吗？为什么？eq\f(4,5)＝__eq\f(4×4,5×4)__＝eq\f(16,20)eq\f(10,16)＝__eq\f(10÷2,16÷2)__＝eq\f(5,8)(2)说出eq\f(4,5)与eq\f(16,20)之间变形的过程，eq\f(10,16)与eq\f(5,8)之间变形的过程，并说出变形依据．(3)分数的基本性质是：__分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变__．思考：由于分式与分数有许多类似之处，你能利用上述分数的基本性质，类比出分式有什么性质吗？这节课我们就根据分数的基本性质来谈谈分式的基本性质．【教学与建议】教学：导入类比分数与分式的相似之处，通过分数的变化进行引导，导入新课．建议：老师要一边复习一边切入正题，及时掌握学生学习效果．命题角度1利用分式的基本性质变形考查分式的基本性质，分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变．【例1】下列各式从左到右的变形正确的是(C)A．eq\f(a,b)＝eq\f(a＋m,b＋m)B．eq\f(a,b)＝eq\f(ac,bc)C．eq\f(am,bm)＝eq\f(a,b)D．eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)【例2】如果把eq\f(x＋y,2x)中的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个代数式的值(A)A．不变B．扩大为原来的30倍C．扩大为原来的3倍D．缩小为原来的eq\f(1,3)命题角度2分式的符号法则分式中的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．【例3】分式－eq\f(1,1－x)可变形为(A)A．eq\f(1,x－1)B．eq\f(1,1＋x)C．－eq\f(1,1＋x)D．－eq\f(1,x－1)【例4】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：(1)eq\f(a,－2b)＝__－eq\f(a,2b)__；(2)－eq\f(－2x,3y)＝__eq\f(2x,3y)__．命题角度3分式的约分将分式进行约分的步骤：①将分式的分子与分母进行因式分解；②约去分子、分母的公因式．【例5】化简eq\f(5x,20xy)的结果是(C)A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,4x)C．eq\f(1,4y)D．4y【例6】计算：eq\f(a2＋8a＋16,a2－16)＝__eq\f(a＋4,a－4)__．命题角度4最简分式最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分式的分子、分母分解因式．若没有公因式就是最简分式．【例7】下列分式是最简分式的是(C)A．eq\f(2ab,4a2b)B．eq\f(a,a2＋3a)C．eq\f(a－b,a2＋b2)D．eq\f(a2＋ab,a2－b2)【例8】下列分式中，最简分式有(B)①eq\f(x,6a)；②eq\f(3,3a－9)；③eq\f(a＋b,a2－b2)；④eq\f(x－y,x＋y)；⑤eq\f((x＋y)2,xy＋y2).A．1个B．2个C．3个D．4个命题角度5分式的化简求值先根据分式的基本性质对分式进行约分化简，最后代数求值．【例9】若a＝2b≠0，则eq\f(a2－b2,a2－ab)＝__eq\f(3,2)__．【例10】已知eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝3，则代数式eq\f(2x＋3xy－2y,x－xy－y)的值是__eq\f(3,4)__．高效课堂教学设计1．熟练地掌握分式的基本性质．2．理解分式的基本性质，并能利用性质进行分式的约分，掌握约分方法．▲重点理解分式的基本性质，并能利用性质进行分式的约分．▲难点准确、灵活地运用分式的基本性质化简分式．◆活动1创设情境导入新课(课件)议一议：1．下列分数是否相等？进行变形的依据是什么？eq\f(2,3)，eq\f(4,6)，eq\f(8,12)，eq\f(16,24)，eq\f(32,48).解：相等，依据是分数的基本性质．2．分数的基本性质是__分数的分子和分母，同时乘或除以一个相同的数(零除外)，分数的大小不变__．3．根据分数的基本性质，你认为eq\f(a,2a)与eq\f(1,2)相等吗？eq\f(n2,mn)与eq\f(n,m)呢？小组交流，你能猜想出分式有什么性质？今天我们一起来学习分式的基本性质．◆活动2实践探究交流新知【探究1】分式的基本性质问题1：对照分数的基本性质，改写成分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：eq\f(b,a)＝eq\f(b·m,a·m)，eq\f(b,a)＝eq\f(b÷m,a÷m)(m≠0)，其中a，b，m是整式．问题2：分式的基本性质(小组内议一议)．分式中的a，b，m三个字母都表示整式，其中a必须含有字母，除b可等于零外，a，m都不能等于零．若a＝0，则分式无意义；若m＝0，则不论乘或除以，都将使分式无意义．我们利用分数的基本性质可以对一个分数进行等值变形，那么我们同样可以利用分式的基本性质对分式进行等值变形．练一练下列等式的右边是如何从左边得到的？(1)eq\f(b,2x)＝eq\f(by,2xy)(y≠0)；(2)eq\f(ax,bx)＝eq\f(a,b).解：(1)因为y≠0，所以eq\f(b,2x)＝eq\f(b·y,2x·y)＝eq\f(by,2xy)；(2)因为x≠0，所以eq\f(ax,bx)＝eq\f(ax÷x,bx÷x)＝eq\f(a,b).【探究2】分式的约分化简下列分式：(1)eq\f(a2bc,ab)；(2)eq\f(x2－1,x2－2x＋1).分析得出最简分式．具体如下：(1)确定分子和分母的最大公因式，思考时参照提公因式的思考过程．(2)约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．(3)约分前后分式的值相等．解：(1)eq\f(a2bc,ab)＝eq\f(ab·ac,ab)＝ac；(2)eq\f(x2－1,x2－2x＋1)＝eq\f((x－1)(x＋1),(x－1)2)＝eq\f(x＋1,x－1).【归纳】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．议一议：(1)eq\f(5xy,20x2y)＝eq\f(5x,20x2)；(2)eq\f(5xy,20x2y)＝eq\f(1,4x).哪个式子更为简洁？(2)式更为简洁．【归纳】分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式．注意：化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式．【探究3】探究符号关系(1)eq\f(－x,y)与eq\f(x,－y)有什么关系？eq\f(－x,－y)与eq\f(x,y)有什么关系？(2)eq\f(－x,y)与－eq\f(x,y)有什么关系？eq\f(x,－y)与－eq\f(x,y)有什么关系？有理数乘除法法则，是如何确定积(商)的符号的？解：(1)eq\f(－x,y)＝eq\f(x,－y)，eq\f(－x,－y)＝eq\f(x,y)；(2)eq\f(－x,y)＝－eq\f(x,y)，eq\f(x,－y)＝－eq\f(x,y).利用同号为正、异号为负来确定积(商)的符号．◆活动3开放训练应用举例【例1】利用分式的基本性质，在不改变分式的值的前提下，把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．(1)eq\f(\f(5,6)x＋y,\f(3,2)x－\f(7,4)y)；(2)eq\f(0.02x＋0.7y,3x－0.5y).【方法指导】(1)根据分式的基本性质，分子、分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；(2)根据分式的基本性质，分子、分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．解：(1)原式＝eq\f(12(\f(5,6)x＋y),12(\f(3,2)x－\f(7,4)y))＝eq\f(10x＋12y,18x－21y)；(2)原式＝eq\f(50(0.02x＋0.7y),50(3x－0.5y))＝eq\f(x＋35y,150x－25y).【例2】下列分式中，最简分式是()A．eq\f(4b,ba)B．eq\f(2(b－a)2,a－b)C．eq\f(x2＋y2,x＋y)D．eq\f(x2－y2,x－y)【方法指导】4b与ba有公因式b，(b－a)2与a－b有公因式a－b，x2－y2与x－y有公因式x－y，所以A，B，D都可以排除，只有C选项中分子与分母不含公因式．答案：C【例3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．(1)eq\f(－3b,2a)；(2)eq\f(5y,－7x2)；(3)eq\f(－a－2b,2a＋b).【方法指导】在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号三者当中，同时改变其中的两个，分式的值不变．解：(1)原式＝－eq\f(3b,2a)；(2)原式＝－eq\f(5y,7x2)；(3)原式＝－eq\f(a＋2b,2a＋b).◆活动4随堂练习1．如果把分式eq\f(2x－y,3x)中的正数x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值(A)A．不变B．扩大到原来的5倍C．缩小到原来的eq\f(1,5)D．缩小到原来的eq\f(1,4)2．下列各式变形正确的有(B)①eq\f(－m＋n,m)＝eq\f(m－n,m)；②eq\f(－m＋n,m)＝－eq\f(m＋n,m)；③eq\f(－m－n,－m)＝eq\f(m－n,m)；④eq\f(－m－n,m)＝－eq\f(m＋n,m).A．0个B．1个C．2个D．3个3．先化简，再求值：eq\f(25a2－b2,5a2b＋ab2)，其中a＝0.2，b＝10.解：原式＝eq\f((5a＋b)(5a－b),ab(5a＋b))＝eq\f(5a－b,ab).当a＝0.2，b＝10时，原式＝－eq\f(9,2).4．课本P130随堂练习T15．课本P130随堂练习T2◆活动5课堂小结与