2026北师大版数学八年级下册第5章分式与分式方程3　分式方程第1课时　分式方程的概念教案

3分式方程第1课时分式方程的概念师备课素材示例●情景导入甲、乙两名同学同时从学校出发，去15km外的景区游玩，甲比乙每小时多行1km，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行xkm，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？你能解这个方程吗？学生论回答：列方程：eq\f(15,x－1)－eq\f(15,x)＝eq\f(1,2).这个方程与以前学过的方程不一样，这节课我们来学习这类方程．【教学与建议】教学：让学生经历从实际问题中抽象、概括得出分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际问题中的作用．建议：要给学生一定的思考时间，让学生积极投入问题情景中．●归纳导入探究：某动车平均提速akm/h.用相同的时间，动车提速前行驶bkm，提速后比提速前多行驶80km，提速前列车的平均速度是多少？(1)行程问题的基本关系式是__路程＝速度×时间__；(2)设提速前动车的平均速度为xkm/h，那么动车提速后的平均速度为(x＋a)km/h；(3)用相同时间，动车提速前行驶bkm，提速后比提速前多行驶80km，那么动车提速后行驶的路程为__(b＋80)__km；(4)“相同时间”是什么意思？(5)动车提速前的时间是__eq\f(b,x)__h，动车提速后的时间是__eq\f(b＋80,x＋a)__h；(6)根据“相同时间”这一等量关系，可列方程为__eq\f(b,x)＝eq\f(b＋80,x＋a)__．像eq\f(b,x)＝eq\f(b＋80,x＋a)这样的分母中含有未知数的方程叫作分式方程．【教学与建议】教学：通过对比提速前后动车的图片吸引学生的注意力，提出问题，使其迅速进入解决问题状态．建议：问题由浅入深，逐步展示．命题角度1分式方程的定义判断分式方程，主要是看分母中是否含有未知数，必须是表示未知数的字母．【例1】下列不是分式方程的是(B)A．eq\f(x－1,2x)＋5＝eq\f(7－x,6x)B．eq\f(3x,2π)＋1＝eq\f(2x－5,3)C．eq\f(1,x－1)＝eq\f(4,x)D．eq\f(x2,x)＝1【例2】下列方程：①eq\f(1,x－3)＝1；②eq\f(x,3)＋1＝eq\f(x,2)；③eq\f(x－8,π－7)－eq\f(1,7－π)＝8；④eq\f(2,y)－eq\f(1,x－1)＝1.是分式方程的是__①④__．(填序号)命题角度2由实际问题抽象出分式方程理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，抽象出分式方程．【例3】随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得(B)A．eq\f(400,x－30)＝eq\f(500,x)B．eq\f(400,x)＝eq\f(500,x＋30)C．eq\f(400,x)＝eq\f(500,x－30)D．eq\f(400,x＋30)＝eq\f(500,x)【例4】甲、乙两船从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h.根据题意可列方程为__eq\f(180,x＋6)＝eq\f(300－180,x－6)__．高效课堂教学设计1．理解分式方程的概念．2．能够根据实际问题的分析列出分式方程．▲重点分式方程的概念．▲难点根据实际问题列分式方程．◆活动1创设情境导入新课(课件)面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30hm2，结果提前4个月完成原计划的任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？当时，我们设原计划每月固沙造林xhm2，那么原计划完成任务需要eq\f(2400,x)个月，实际完成任务用了eq\f(2400,x＋30)个月．根据题意，可得方程eq\f(2400,x)－eq\f(2400,x＋30)＝4.思考：1.以上所得的分式间存在怎样的数量关系？2．根据这个数量关系得到的等式与我们之前所学习的方程有何区别？今天我们来学习类似这样的方程——分式方程．◆活动2实践探究交流新知【探究1】甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．问题1：你能找出这一问题中的所有等量关系吗？问题2：如果设特快列车的平均速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？问题3：如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？解：(1)等量关系：乘高铁列车所用的时间＋9h＝乘特快列车所用的时间．高铁列车的速度＝特快列车的速度×2.8.乘高铁列车所用的时间＝eq\f(1400,高铁列车的速度).乘特快列车所用的时间＝eq\f(1400,特快列车的速度)；(2)x满足方程：eq\f(1400,x)－eq\f(1400,2.8x)＝9；(3)y满足方程：eq\f(1400,y)＝2.8×eq\f(1400,y＋9).【探究2】上面所列的方程有什么特点？请比较下面A，B两组的方程，有什么不同？A组1－2y＝3－eq\f(y＋2,4)；y－1＝2－eq\f(y＋2,5)；6x－2＝4x＋eq\f(5,4).B组eq\f(1400,x)－eq\f(1400,2.8x)＝9；eq\f(1400,y)＝2.8×eq\f(1400,y＋9)；eq\f(480,x)＝eq\f(600,2x)＋45.总结：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数．◆活动3开放训练应用举例【例1】下列各式哪些是分式方程？哪些是整式方程？①eq\f(y－3,2)＝6－eq\f(y－2,3)；②x＋eq\f(1,x)＝2；③eq\f(3y＋1,2y－2)＋4；④eq\f(300,x)－eq\f(480,2x)＝4；⑤x－1＝eq\f(1,2)；⑥3x2－eq\f(1,x)＝2.【方法指导】根据分式方程的概念逐一判断即可．①⑤尽管是含有分母的方程，但它们的分母是常数，不含未知数，因此①⑤不是分式方程，而是整式方程；③不是方程，只是代数式；②④⑥满足分式方程的两个重要条件，所以②④⑥是分式方程．解：②④⑥是分式方程，①⑤是整式方程．【例2】为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？【方法指导】可以用下面表格表示：捐款总额/元捐款人数人均捐款额七年级4800xeq\f(4800,x)八年级5000x＋20eq\f(5000,x＋20)解：根据题意，得eq\f(4800,x)＝eq\f(5000,x＋20).◆活动4随堂练习1．下列各式中，是分式方程的是(D)A．x＋y＝6B．eq\f(x＋2,4)＝eq\f(2y－z,5)C．eq\f(1,x)D．eq\f(y,x＋2)＝02．甲队修路200m与乙队修路180m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修15m．设甲队每天修路xm，依题意，下面所列方程正确的是(A)A．eq\f(200,x)＝eq\f(180,x－15)B．eq\f(200,x)＝eq\f(180,x＋15)C．eq\f(200,x－15)＝eq\f(180,x)D．eq\f(200,x＋15)＝eq\f(180,x)3．下列方程：①eq\f(1,x)＝1；②eq\f(x－1,4)＝eq\f(x,3)；③eq\f(y,a)＋eq\f(y－1,b)＝1(a，b为已知数)；④eq\f(x,x－1)＋eq\f(4,1－x)＝5.其中分式方程有__①④__．(填序号)4．课本P144随堂练习◆活动5课堂小结【学生活动】这节课你有什么收获？什么是分