湖南省常德市临澧县2026年中考三模数学试题附答案

中考三模数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（）北京济南太原郑州A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州2．若代数式的值为5，则x等于（）A．8 B． C．2 D．3．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．杨辉三角 B．割圆术示意图C．赵爽弦图 D．洛书4．点在第三象限，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．将“做最好的自己”六个汉字分别写在某正方体的表面上，右图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“己”字所在面相对的面上的汉字是（）A．做 B．最 C．好 D．己6．下面命题，正确的是（）A．三角形的内心到三个顶点的距离相等B．经过三点一定可以画一个圆C．平分弦的直径垂直于弦D．三角形的外角和为7．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（）A． B． C． D．8．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）A． B．C． D．9．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．10．中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（）A．是“乾坤点”B．函数的图象上存在2个“乾坤点”C．函数是“乾坤函数”D．若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．的绝对值是．12．分解因式：.13．如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是（写出一个答案即可）．14．湖南是著名的吃货大省，“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”更是声名远扬．若随机从上面美食中选择一种进行品尝，则选中“茶颜悦色”的概率是．15．如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则．16．方程的解是．17．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接，若，则的长为.18．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．计算：．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：销售单价（元）销售量（件）（1）求与之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？22．如图，为的内接三角形，其中是的直径．以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；过点作射线，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．23．今年春晚，秧的特别表演惊艳了所有的观众，它的成功无疑是一次科技与人文的璀璨碰撞．高精度激光雷达、深度相机、激光技术等先进技术，实现了实时捕捉环境数据、毫米级空间定位等功能，从而确保了舞蹈动作的精准匹配和协同一致．这不仅展示了机器人在运动控制方面的卓越能力，更体现了科技在文化传承与创新中的重要作用．活动主题测试机器人宇树爬坡（坡角）的能力测量工具尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象测量方案与数据信息①机器人的小腿的长度为，大腿上点与点的连线与水平面垂直；②坡角；③当机器人行走至点时，测得小腿与斜坡的夹角，大腿与小腿的夹角，；④参考数据：．请根据表格中提供的信息，解决下列问题：（1）求点到水平面的距离；（2）计算大腿的长度（结果精确到）24．近期，学校开展“书香校园”活动，阅览室又购进了一批优质读物．为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成统计图表．借阅图书的次数01234人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题．（1）________，________；（2）求抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数；（3）该校大概有5000名学生，根据调查结果，估计学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数．25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上一点．若，求点D的坐标；（3）如图2，一次函数与抛物线交于M，N两点，与直线交于P点，分别过点M，N，P作x轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求m的值．26．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，若，过C作交于点F，求证：．（2）如图2，在菱形中，，过C作交的延长线于点E，过E作交于点F，若时，求的值．（3）如图3，在平行四边形中，，，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，求的长．

答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵，∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原．故选：C．【分析】直接比较大小即可求出答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵代数式的值为5，∴，∴，故答案为：A．

【分析】根据题意可知，求解即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意；B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项B符合题意；C是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项C不符合题意；D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；故答案为：B．【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵在第三象限，

∴，

解得，

故答案为：C．

【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可得到答案．5．【答案】A【解析】【解答】解：与“己”字所在面相对面上的汉字是“做”，

故答案为：A．

【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可得到答案．同一行或同一列有三个或三个以上面时隔一个面的两个面为相对面；同一行或同一列少于三个面时，隔一行并拐弯，即可得到相对面.6．【答案】D【解析】【解答】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故三角形的内心到三边的距离相等，不能判定到三个顶点距离相等，故原命题不正确，故选项A不符合题意；B、经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原命题缺少条件，故不正确，故选项B不符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题缺少条件，故不正确，故选项C不符合题意；D、三角形的外角和为，原命题正确，故选项D符合题意．故答案为：D．【分析】利用三角形内心的知识及性质可判断A，利用确定圆的条件可判断B，利用垂径定理可判断C，利用三角形的外角和定理可判断D．7．【答案】C【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，重力与水平方向夹角为，摩擦力的方向与斜面平行，，，故选：C．【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.8．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得故选A．【分析】设绳长x尺，竿长y尺，根据相等关系“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”列方程组即可．9．【答案】C【解析】【解答】解：连接，如图所示，由作图可知，为线段的垂直平分线，∴，∴，∴A，M，D三点共线时，的值最小，最小值为的长.∵，为的中点，，∴，，∴，∴，∴的最小值为.故答案为：．

【分析】连接，由作图可知，为线段的垂直平分线，即得，可得，即得的最小值为的长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可求解．10．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵，∴不是“乾坤点”，故选项A错误，不符合题意；B、∵函数的图象上存在“乾坤点”，记“乾坤点”的坐标为（a，6a+18），∴，解得a=0，

故“乾坤点”的坐标为（0，18），∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误，不符合题意；C、若函数是“乾坤函数”，则存在“乾坤点”，设为（a，a2－2a+2025），∴，即，∵，∴方程无解，∴函数的图象上不存在“乾坤点”，即函数不是“乾坤函数”，故选项C错误，不符合题意；D、∵是“乾坤函数”，∴，化简，得，∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，∴有两个相等的实数根，∴，∴，代入方程得：，∴，∴，∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确，符合题意.故答案为：D．

【分析】根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，设为设为（a，6a+18），可得，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，设为（a，a2－2a+2025），可得，求出，得方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到有两个相等的实数根，于是该方程有两相等的实数根，根据求解，即可判断选项D．11．【答案】2025​​​​​​​【解析】【解答】解：故答案为：．【分析】根据绝对值的定义即可求出答案.12．【答案】【解析】【解答】解：x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).

故答案为：x(x+5)(x-5).

【分析】先提取各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式进行第二次分解即可.13．【答案】（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵，，

∴，，

∴，

∴正方形的边长可以是，

故答案为：（答案不唯一）．

【分析】由正方形的面积公式可得，，结合图形得出，即可得到正方形的边长．14．【答案】【解析】【解答】解：由题意，共种等可能的事件，

∴随机从所给的美食中选择一种进行品尝时，选中“茶颜悦色”的概率是，

故答案为：．

【分析】利用概率公式计算即可．15．【答案】140°【解析】【解答】解：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．故答案为140°．【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠A=40°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.16．【答案】【解析】【解答】解：

去分母得：

移项合并得：，

经检验当时，，

∴原分式方程的解为∶

故答案为：

【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，再检验即可得到分式方程的解．17．【答案】4【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，∴，∴点O为的中点，∵点为的中点，∴为的中位线，∵，∴，故答案为：4．【分析】根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.18．【答案】①②③④【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，故结论①正确；∵四边形为正方形，∴，，∵平分，∴，∴，，∴，∴，故结论②正确；∵，∴，∵平分，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴∠ADG+∠ABG=∠ADC－∠CDG+∠ABC+∠CBG=∠ADC+∠ABC=180°.

∴∠BGD=360°－∠DAB－(∠ADG+∠ABG)＝90°，∴，故结论③正确；由③得：，∵，∴，∴，∴，故结论④正确；综上，正确的结论是①②③④，故答案为：①②③④．

【分析】由旋转的性质得，即得∠BAE=∠BCF，∠F=∠AEB，，即可判断①；由正方形的性质得，即得，进而可得，即可判断②；先利用SAS证明△ABG≌△DCG，可得，再利用四边形的内角和定理可求得∠BGD=90°，即可判断③；证明，可得，即可判断④．19．【答案】解：​​​​​​．【解析】【分析】先计算乘方，零指数幂和算术平方根，再代入特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．20．【答案】解：，解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为：，

将解集表示在数轴上如图：

【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．21．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，由题意得：时，；时，，

得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为；（2）解：设将销售单价定为元，则每天的销售量为件，根据题意得：，解得：，，所以，应将销售单价定为或元．【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，再利用待定系数法求解即可；（2）设销售单价定为元，则销售量为件，利用“总利润＝单件利润×销售量”列式求解即可．（1）解：设与之间的函数关系式为，将，；，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件，根据题意得：，解得：，，所以，应将销售单价定为或元．22．【答案】（1）证明：连接，如图所示，

由作图可得：∠PAB=∠ACB.

∵AO=CO，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴，即，

∵是的半径，

∴是的切线；（2）解：∵∠APB=∠CPA，∠PAB=∠ACB，∴△APB∽△CPA，

∴，

∵，，

∴，∴.∴，​​​​即的半径为．【解析】【分析】（1）连接，由作图得∠PAB=∠ACB.由等腰三角形的性质得出∠CAO=∠ACB=∠PAB，

再利用直径所对的圆周角是得出，等量代换可得，即可得证；（2）证明△APB∽△CPA，可得，代入数据求得BC的长，即可得到结论．（1）解：如图，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，由作图可知，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：设的半径为，∴，∵，∴，∵，，∴，解得：，即的半径为．23．【答案】（1）解：过点作BE⊥AF于点E，如图所示，

由题意得：，，

∴，

即点到水平面的距离为；​​​​​​（2）解：延长交于点，如图，

∵，，

∴，∠BCE=90°，

∵，，

∴，

∴是等边三角形，

∴.

在中，BC=40cm，∠CBG=30°，

cm，cm，

∴cm，

∴．【解析】【分析】（1）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质即可求BE的长；（2）延长交于点，证明是等边三角形，在中解直角三角形，可求得，的长，即可得AE长，再根据等边三角形的性质和线段的和差即可求得DC长．（1）解：如图，过点作于点，∵，，∴，即点到水平面的距离为；（2）解：如图，延长交于点，∵，，∴，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，，在中，，，∴．24．【答案】（1）17，20（2）解：（次）故抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；（3）解：（人）

故该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数大概为1300人．【解析】【解答】解：（1）由题意得：借阅图书次数为1次的人数有13人，占总人数的26%，

被调查的总人数为（人），，，即，故答案为：17，20；

【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数减去其他次数的人数求得的值，最后用3次的人数除以总人数×100%即可求得的值；

（2）求出总阅读次数，再除以总人数即可得到答案；

（3）用总人数乘以样本中“3次及3次以上”的人数所占比例即可得．（1）解：被调查的总人数为（人），，，即，故答案为：17，20；（2）解：次答：抽取的部分学生一周内平均每人借阅图书的次数为次；（3）解：估计该校学生在一周内借阅图书“3次及3次以上”的人数为（人）．25．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，二次项系数为﹣1，

∴​​​​​​​（2）解：设的纵坐标为，

当时，，即，

∴，

∵，

∴，

∴，

当时，，解得：，

∴，

当时，，解得，，

∴或，

综上，D的坐标为或或；（3）解：联立得方程组：，得，

设M、N的横坐标为、，

∵，，

∴和同号，

∴，

联立得方程组，得，

可得：，

∴，

∵，

∴，

∵一次函数与直线交于P点，

∴.

∴．【解析】【分析】（1）根据点坐标设解析式为交点式，代入二次项系数即可得抛物线的解析式；（2）设的纵坐标为，求得OC长，根据求出，然后把分别代入求出对应的x，即可求解；（3）联立方程组，得，设M、N的横坐标为、，根据根与系数的关系可求出，，则，联立方程组，得，解得，则，由两个一次函数交于P点可得k≠2，然b后根据构建关于m的方程并求解即可．（1）解：把，代入，得，解得，∴；（2）解：设的纵坐标为，当时，，∴，∴，∵，∴，∴，当时，，解得，∴，当时，，解得，∴或，综上，D的坐标为或或；（3）解：由题