金太阳2026届高三联考313C数学试题（含答案）

高三数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知两个单位向量a,b互相垂直，则|a—√2b|=

A.√3B.2C.√5D.3

2.设集合A={yly=lg(4—x)},则A∩B=

A.(2√2,+∞)B.(2√2,4)C.[3,十∞]D.(3,4)

3.若z²=-3+4i,则z的虚部与实部的比值为

AB.3CD.2

4.在正四面体ABCD中，E为棱BC的中点，CF=3FD,G=3GA,则cos∠GEF=

ABCD

5.某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政个频率/组距

策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量(单

位：吨),并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用0.05-

这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用

水量的临界值(精确到0.1),使得月用水量不超过该0.03-

值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的0.02

临界值为

0.01-

吨吨

A.26.8B.27.740月用水量/吨

C.28.3吨D.29.2吨

6,则的取值范围是

ABC

7.函数的极值点的个数为

A.1B.2C.3D.4

8.若非负数x,y满足y²—2√x=6√y²—x,则y的最大值为

A.√42B.42C.2√10D.40

【高三数学△第1页(共4页)】·HEB·

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若函数f(x)=-1-sinwx(w>0)在(0,π)内存在唯一的xo,使得f(xo)=—2,则w的取值

可能为

AB.1CD.3

10.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,f(x+y)+f(x—y)+f(y-x)+f(1

+y)=3x+6y—5恒成立，则

A.f(1)=1B.xf(x)的最小值为

C.f(2)<4D.f(x)的图象关于点对称

11.已知正方形ABCD的边长为2,PA⊥平面ABCD,QB⊥平面ABCD,P,Q在平面ABCD

的同一侧，且PA=QB=2,则

A.点Q在四棱锥P-ABCD外接球的球面上

B.四棱锥Q-ABCD内切球的表面积为(26—16√2)π

C.四棱锥P-ABCD与四棱锥Q-ABCD公共部分的体积为·

D.四棱锥Q-ABCD的四个侧面所在平面将空间分成14个部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式1≤2≠³≤4的解集为▲·

13.已知P是椭圆上一点，点A(—2,0),B(2,0),若|PA|=2|PB|,过点A作

PB的垂线，垂足为H,则|AH|=▲,点H到y轴的距离为▲

14.来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含

方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排

1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现

环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根

据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有▲种.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E,F分别为棱BB₁,AA₁,CC₁的中点，G为线段

EF上的动点，

(1)证明：B₁G//平面ACD,

(2)若G为线段EF的中点，且AB=4,AA₁=2√2,求AG与平面ACD所成角的正弦值.

16.(15分)

某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2,工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检

测结果为“正常”的概率为0.9,若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9,已知每日的检

测结果相互独立.

(1)求某日检测结果与设备实际状态不符的概率.

(2)若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率.

(3)使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”,则需花费

400元检修费(检修后无损失),若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失

2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进

该自动化检测系统?说明你的理由.

17.(15分)

已知集合{x∈Z|an<x<bn,n∈N*}中元素的个数为cn.

(1)若an=-n,bn=3”,求c₂.

(2)若{an},{bn}均为等差数列且an<bn,an,bn∈Z,证明：{cn}也为等差数列.

(3)若,bn+1=2bn+2,且b₁=10,求数列{cn}的前n项和Sn.

一L--

18.(17分)

已知函数f(x)=—ax³+2xe".

(1)证明：存在m∈R,使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.

(2)当a>0时，讨论f(x)零点的个数.

m…

…

(3)当f(x)的零点个数最多时，证明：f(x)的零点之和大于3.…

…

i

r…

r

i

r

r…

i

i…

f

i…

i

i

r

f

i

r

m

e

f

m

i

n

19.(17分)

设抛物线Ω的顶点为坐标原点O,焦点为F,且线段OF的中点为(p>0).

(1)当p=8√7时，求Ω的准线方程.

(2)点A为Ω上一动点，过A作Ω的准线l的垂线，垂足为H,设过A,F,H三点可作双曲

线C,且C的两个焦点均在x轴上.

(1)若C过点O,求C的方程；

(ii)求C的离心率的取值范围.

-1.LCD.

高三数学参考答案

题序1234567891011121314

答案AADBCABCBCABDACD[0,3]1122

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12题的答案还可以写为{x|0≤x<3}.

【4】第13题答对第一空得3分，答对第二空得2分.

【5】第14题，其余答案均不得分.

1.A【解析】本题考查平面向量的模，考查数学运算的核心素养.

依题意得|a—√2b|²=|a|²—2√2a·b+2|b|²=1²—0+2×1²=3,则|a—√2b|=√3.

2.A【解析】本题考查函数的值域与交集，考查数学运算的核心素养.

因为A=R,B=(2√2,+∞),所以A∩B=[2√2,+∞].

3.D【解析】本题考查复数的概念与运算，考查数学运算的核心素养.

设z=a+bi(a,b∈R),则z²=a²—b²+2abi=-3+4i,则解得或

故z的虚部与实部的比值

4.B【解析】本题考查立体几何与余弦定理的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养.

连接GF,设正四面体ABCD的棱长为4,则CE=2,CF=CG=3,

则△CFG为正三角形，所以FG=CF=3,由余弦定理得EF=EG=

√7,故

5.C【解析】本题考查频率分布直方图和百分位数，考查应用意识与数据处理能力.

由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为5×(0.01+0.02+0.03+0.05+0.03)=0.7,

前六组的频率之和为5×0.03+0.7=0.85,设该市月用水量的临界值为x。吨，则xo∈[25,

30),由(x。—25)×0.03=0.1,得xo≈28.3,故该市月用水量的临界值为28.3吨.

6.A【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

【高三数学·参考答案▲第1页(共11页)】·HEB·

所以

,所以的取值范围

7.B【解析】本题考查函数的极值点与导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

由f'(x)=32x⁴—24x³+2x=2x(16x³—12x²+1)=2x(2x—1)(8x²—2x—1)=2x(4x+

1)(2x—1)²=0,得x=—或0或云.

当时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当时，f'(x)<0,f(x)单调

递减；当时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当时，f'(x)>0,f(x)单

调递增.

所以f(x)在处取得极大值，在x=0处取得极小值，故f(x)的极值点的个数为2.

8.C【解析】本题考查圆的方程，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.

令√x=a≥0,√y²-x=b≥0,所以a²+b²=y²,则√a²+b²=y.

因为y²-2√x=6√y²-x,所以a²+b²-2a=6b,

则(a-1)²+(b-3)²=10(a≥0,b≥0),则点(a,b)的轨迹为圆(a—

1)²+(b—3)²=10不在第二、四象限的部分，则√a²+b²表示点(a,

b)到坐标原点O的距离，由图可知，该距离的最大值为2√10,此时

√x=a=2,√y²-x=b=6,即x=4,y=2√10,所以y的最大值为

2√10.

9.BC【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

由f(x₀)=—2,得—1—sinwxo=-2,即sinwxo=1在(0,π)内存在唯一的解.当x∈(0,π)

时，wx∈(0,wπ),则,即

10.ABD【解析】本题考查抽象函数，考查数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养.

令y=0,得2f(x)+f(一x)+f(1)=3x-5,以—x替代x,得2f(一x)+f(x)+f(1)=

—3x—5,消去f(一x),得3f(x)+f(1)=9x—5.

再令x=1,得4f(1)=4,即f(1)=1,所以3f(x)=9x—6,即f(x)=3x-2,则f(1)=1,

f(2)=4,A正确，C错误.,当时，xf(x)取得最

小值，且最小值为,B正确.因为所以f(x)的图象关于点对称，D

正确.

11.ACD【解析】本题考查立体几何初步，考查数学运算、直观想象的核心素养及空间想象

【高三数学·参考答案▲第2页(共11页)】·HEB·

能力.

将四棱锥P-ABCD补成一个正方体(图略),则四棱锥P-ABCD

的外接球为该正方体的外接球，因为点Q是该正方体的一个顶

点，所以点Q在四棱锥P-ABCD外接球的球面上，A正确.

四棱锥Q-ABCD的体积,侧面积S₁=S△QAB

+S△QBc+S△αD+S△QDA=2+2+2√2+2√2=4+4√2,表面积D'

S=S₁+4=8+4√2,则四棱锥Q-ABCD内切球的半径,则该内

切球的表面积为4πR²=(24—16√2)π,B错误.

连接PQ,易证PQ//AB//CD,PQ=AB=CD,则四边形CDPQ

和四边形ABQP均为平行四边形，设PB∩AQ=E,PC∩DQ=

F,则E,F分别为PB,PC的中点，设AD,BC的中点分别为G,

H,连接EF,GH,FG,FH,则四棱锥P-ABCD和四棱锥

Q-ABCD的公共部分为几何体ABCDFE,其体积为四棱锥

F-CDGH和三棱柱ABE-GHF的体积之和，即,C正确.

三个过同一点的平面将空间分成8个部分，一个过该点的且不与这三个平面重合的平面将

穿过其中的6个部分，则四棱锥Q-ABCD(图中黑色的四条粗线所在直线可以视为这个四

棱锥的四条侧棱所在直线)的四个侧面所在平面将空间分成8+6=14个部分，D正确.

12.(0,3)【解析】本题考查高斯函数、指数函数及不等式，考查数学运算与逻辑推理的核心

素养.

因为1≤2×¹≤4,所以0≤[x]≤2,则x∈(0,3).

【解析】本题考查椭圆的定义，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

因为A(-2,0),B(2,0)分别为C的左、右焦点，所以|PA|+|PB|=2a=6,又|PA|=

2|PB|,所以|PA|=4,|PB|=2,因为|AB|=4,

设点H在x轴上的射影为G,O为坐标原点，则,则

点H到y轴的距离为

14.1122【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学

思想.

环节一的人数大于环节二的人数，环节一的人数大于或等于环节四的人数，故环节一至少有

2个人，环节一、环节二和环节四至少共有4个人，因此环节三最多有3个人.

当环节三有3个人时，则有可能是3个女生，或者2个女生和1个男生，或者1个女生和

【高三数学·参考答案▲第3页(共11页)】·HEB·

2个男生，则安排好环节三有C³+C₃C+C₃C²=31种方案.剩余4个人，环节一必然有2个

人，环节二和环节四各有1个人，则安排好环节一、环节二和环节四有C2C₂=12种方案.所

以安排好四个环节共有31×12=372种方案.

当环节三只有2个人时，则有可能是2个女生，或者1个女生和1个男生，则安排好环节三

有C³+C₃C!=15种方案.剩余5个人，当环节一有2个人时，环节四有2个人，环节二有

1个人，此时有C²C3=30种方案；当环节一有3个人时，环节四有1个人，环节二有1个人，

此时有C³C₂=20种方案.所以安排好四个环节共有15×(30+20)=750种方案.

综上，满足条件的安排方案共有372+750=1122种.

15.【解析】本题考查立体几何与空间向量，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.

(1)证明：连接B₁E,B₁F.……………………1分

因为AE//CF,AE=CF,所以四边形ACFE为平行四边形，则EF//AC………………2分

又EF平面ACD,ACC平面ACD,所以EF//平面ACD………………3分

同理可得B₁F//平面ACD.…………………4分

因为B₁F∩EF=F,所以平面B₁EF//平面ACD…………5分

又B₁GC平面B₁EF,所以B₁G//平面ACD………………6分

(2)解：取AC的中点O,连接OB,OG,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，OBLAC,

易证OB,OC,OG两两垂直…………………7分

以O为坐标原点，OC,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系，则A(—2,0,0),C(2,0,0),D(0,2√3,√2),

G(0,0,√2)……………8分EK

所以AC=(4,0,0),AD=(2,2√3,√2),AG=(2,0,√2)…………9分

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=4x=0,n·AD=

2x+2√3y+√2z=0…………………10分

令y=1,得n=(0,1,—√6).………………11分

由……………12分

得AG与平面ACD所成角的正弦值为……………13分

【评分细则】

【1】第(1)问中，未写“B₁GC平面B₁EF”,扣1分.

【2】第(2)问中，平面ACD的法向量不唯一，建立空间直角坐标系的坐标原点也可以是AB

的中点或BC的中点，阅卷请根据步骤给分.

另外第(2)问还可以这样解答：

连接DG,取AC的中点O,连接OD,OG……………………7分

易知OG//BD,OG=BD,则四边形OBDG为平行四边形，则DG//BO…8分

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因为O为AC的中点，所以BO⊥AC.因为BD⊥平面ABC,所以BD⊥A₁

AC.

又BD∩BO=B,所以AC⊥平面OBDG.……………9分

过G作OD的垂线，垂足为H,因为GHC平面OBDG,所以AC⊥GH,

…………10分

又AC∩OD=0,所以GH⊥平面ACD.……………11分

在矩形OBDG中，OG=BD=√2,,贝

……………………12分

…………………………13分

16.【解析】本题考查全概率公式及随机变量的期望，考查逻辑推理的核心素养与应用意识.

解：(1)设某日检测结果与设备实际状态不符为事件A,

则由全概率公式可得P(A)=(1—0.2)×(1—0.9)+0.2×(1—0.9)=0.1,

故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1…………3分

(2)设恰有2天检测结果与实际不符为事件B,

则P(B)=C2×0.1²×(1—0.1)²=0.0486,

故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486.……7分

(3)应该引进该自动化检测系统，理由如下：…………………8分

设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元.

设备故障且被判为故障的概率为0.2×0.9=0.18…………9分

设备正常却被判为故障的概率为(1—0.2)×(1—0.9)=0.08……………10分

设备故障却被判为正常的概率为0.2×(1—0.9)=0.02…………………11分

则E(X)=(0.18+0.08)×400+0.02×2000+100=244………………14分

因为244<280,所以应该引进该系统………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中，直接写“所求概率为0.8×0.1+0.2×0.1=0.1”,扣1分.

【2】第(3)问的理由还可以这样写：

设使用自动化检测系统时每日总支出(即总损失)为X元，

则P(X=100)=(1—0.2)×0.9=0.72……………………9分

P(X=500)=0.2×0.9+(1—0.2)×(1—0.9)=0.26……10分

P(X=2100)=0.2×(1—0.9)=0.02……………………11分

则E(X)=100×0.72+500×0.26+2100×0.02=244…………………14分

因为244<280,所以应该引进该系统………15分

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17.【解析】本题考查数列的新定义与数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心

素养.

(1)解：若a=-n,b=3”,则a₂=-2,b₂=9,

则满足—2<x<9的整数为—1,0,1,…,8,……………1分

共有10个，故c₂=10.……………………2分

(2)证明：因为a,b∈Z,所以cn=b—an-1,………4分

所以cn+1—cn=(bn+1—an+1—1)—(b„—a—1)=(bn+1—bn)—(an+1—aμ)5分

因为{an},{b}均为等差数列，所以可设an+1-an=d₁,bn+1—b„=d₂,

则(bn+1—b„)—(an+1—a)=d₂—d₁为常数，故{c}也为等差数列.6分

(3)解：由bn+1=2b+2,得bm+1+2=2b+4,即bn+1+2=2(b„+2),7分

则数列{b,+2}是首项为b₁+2=12,公比为2的等比数列，

则b+2=12·2”-¹,即b=3·2"+¹-2>an8分

当n=1时，a₁=0,b₁=10,c₁=10—0—1=9.

当n=2时，a₂=3,b₂=22,c₂=22-3-1=18.9分

当n≥3时，.………………11分

当n=2时，5×2²-2=18=c₂,则

当n≥2时，S,=9+5×(2²+2³+…+2”)-2(n—1)13分

又5×2¹+¹-2-9=9=S₁,所以S,=5·2”+¹-2n—9.………………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中，直接写“集合{x∈Z|-2<x<9}中元素的个数为9—(-2)-1=10,则c2=

10”,不扣分.

【2】第(2)问中，在得到“cn+1一cn=(bn+1—b„)—(an+1-a)”后，如果写“因为{均

为等差数列，所以an+1-a,为常数，bn+1—b为常数，则(b+1—b„)—(an+1-an)也为常

数，故{c}也为等差数列”,不扣分.

【3】第(3)问中，未写”,也可以按照如下步骤解答：

当n≥3时，S=9+18+5×(2³+2⁴+…+2”)—2(n—2)13分

又5×2¹+¹-2-9=9=S₁,5×2²+¹-2×2—9=9+18=S₂,所以S=5·2”+¹—2n—9.…

………………………15分

18.【解析】本题考查函数的零点与导数的应用，考查数学运算、逻辑推理及直观想象的核心

素养.

(1)证明：f'(x)=—3ax²+2eᵗ+2xe,·1分

【高三数学·参考答案▲第6页(共11页)】·HEB·

由—3x²=0,得x=0,f'(0)=2,2分

则存在m=0,使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.………………3分

(2)解：当a>0时，由f(x)=x(—ax²+2eˣ)=0,得x=0或a=

.……………4分

设函数,则

令g'(x)<0,得0<x<2,则g(x)在(0,2)上单调递减，令g'(x)>

0,得x<0或x>2,则g(x)在(一∞,0)上单调递增，在(2,十∞)上

单调递增.……………………5分

当x>0时，,若x→0,则g(x)→十∞,若x→十∞,则g(x)→+∞.

…………………………6分

当x<0时，g(x)>0,若x→-∞,则g(x)→0,若x→0,则g(x)→+∞7分

当时，方程只有一个非零实数解，则f(x)有两个零点；……………8分

当时，方程有两个非零实数解，则f(x)有三个零点；……9分

当时，方程有三个非零实数解，则f(x)有四个零点.…10分

(3)证明：由(2)知，当时，f(x)的零点个数最多，且0为其中一个零点，不妨设x₃<0

<x₁<2<x2,11分

且2eˣ¹=ax²,2e²=ax2,等式两边同时取对数并整理得x₁—21nx₁=Ina—In2,x₂一

21nx₂=lna—1n2.

设函数h(x)=x—21nx,则h(x₁)=h(x₂)=lna—1n2,则h(x)在

(2,+∞)上单调递增.………………12分

因为g(x)在(一∞,0)上单调递增，且,所以—1<x₃<0.…………13分

要证x₁+x₂+x₃+0>3,只需证x₁+x₂>4,即证x₂>4—x₁,因为4—x₁>2,且在

(2,十∞)上单调递增，所以只需证h(x₂)>h(4—x1),即h(x₁)>h(4—x₁),………14分

令函数F(x)=h(x)—h(4—x),0<x<2,

……15分

所以F(x)在(0,2)上单调递减，则F(x)>F(2)=0,即h(x)>h(4—x),故x₁+x₂>4.

……………………16分

故当f(x)的零点个数最多时，f(x)的零点之和大于3.………………17分

【高三数学·参考答案▲第7页(共11页)】·HEB·

【评分细则】

【1】第(1)问还可以这样解答：

因为f'(x)=-3ax²+2eˣ+2xeˣ,·1分

所以f'(0)=0+2+0=2,2分

则存在m=0,使得曲线y=f(x)在点(m,f(m))处切线的斜率为定值.………………3分

【2】第(2)问还可以这样解答：

当a>0时，由f(x)=x(-ax²+2eˣ)=0,得x=0…………4分

设函数,贝

则φ(x)在(-∞,0),(2,十∞)上单调递减，在(0,2)上单调递增.………·5分

当x→+∞时，φ(x)→0,

且Vx∈(0,十∞),φ(x)>0.……………………7分

,即时，方程只有一个非零实数解，则f(x)有两个零点；…8分

当,即时，方有两个非零实数解，则f(x)有三个零点；…………9分

,即时，方有三个非零实数解，则f(x)有四个零点.………10分

19.【解析】本题考查抛物线与双曲线的综合，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.

解：(1)当p=8√7时，依题意得F的坐标为(4√7,0),…………·1分

所以Ω的准线方程为x=-4√分

(2)(i)因为C的两个焦点均在x轴上，且C经过A,H,F,O,所以由

对称性可知，C的中心为线段OF的中点，即,实半轴长为

设C的方程………5分

【高三数学·参考答案▲第8页(共11页)】·HEB·

H的横坐标为,A,H均在C上，则A的横坐标…………6分

设A(p,yo),又A在Ω上，所以y?=2p²,代入C的方程，,解得b²=

…………………………8分

C的方程为………9分

(ii)由题知，,设A(xo,yo),则

当时，过A,H,F三点不能作双曲线.…………10分

当时，线段AH中点的横坐标与F的横坐标相等，过A,H,F三点不能作双曲线，

则且………………11分

因为C的两个焦点均在x轴上，所以可设C的方程

将F,H,A的坐标代入C的方程，②

,……………………12分

②一③,因为