2026届江苏南通市通州区高三下学期模拟预测数学试题（含答案）

高三年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数则|z|=

A.1B.√3C.2D.√5

2.已知集合M=(-1,3),N=(0,+∞),则集合(-1,0)=

A.(CRM)NnB.M∩(CN)C.C(MUN)D.C(M∩N)

3.设直线l₁,l₂的倾斜角分别为θ₁,θ₂,斜率分别为，k₂,则“θ₁>θ₂”是“k₁>k₂”的

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a,b满足a·b>0,a在b上的投影向量为c,c在a上的投影向量为,则

a与b的夹角为

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已

A.B.D.士

6.已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)是奇函数，,则

A.-2B.2C.-4D.4

7.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长均为2,A在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则

A到平面BCC₁B₁的距离为

A.1B.√2C.√3D.2

8.已知a₁,a₂,a₃,a成等比数列，且a₁=2,e+Q₂+a,+a=a₁+a₂+a₃,则

A.a₁<a₂B.a₁<a₃C.a₂>a₃D.a₄>a₂

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F,F₂,以FF₂为直径的圆与C

的一个交点为P,且|PF|=2|PF₂|,则

A.|PF|=4B.C的离心率为√5

C.C的渐近线方程为

D.分别以PF,PF₂为直径的圆的公共弦长为

10.设A,B是一个随机试验中的两个事件，且,则

A.A,B是相互独立事件B.事件A,B互斥

C.P(A+B)=P(B)D.P(B|A)=P(A|B)

11.已知函数f(x)=coSπx·sin2πx,则

A.f(x+1)=f(x)B.f(1-x)=f(x)

C.f(x)的值域为D.f(x)在上单调递增

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若x₁,x₂,…,xg的方差为4,则2(x-2),2(x₂-2),…,2(x-2)的方差为●

13.已知△ABC的面积为1,,tanB=-2,则AB=

14.已知斜率为-1的直线与曲线y=eˣ-x(x>0),y=1-x-Inx分别相交于A(x,y₁),

B(x,y₂)两点，则2x₁+ex₂的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

某餐饮连锁店计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每听4元，售价每听

6元，未售出的饮料降价处理，以每听2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天

需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500听；如果

最高气温位于区间(20,25),需求量为300听：如果最高气温低于20,需求量为200听.为了

确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温(10,15)(15,20)(20,25)(25,30)(30,35)(35,40)

天数

216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种饮料一天的需求量X(单位：听)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种饮料的利润为Y(单位：元).当六月份这种饮料一天的

进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值?

16.(15分)

如图1,在正三角形ABC中，BC=4,D,E分别是AC,AB上的点，CD=BE=1,

0为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥P-BCDE,使得PO=√6.

(1)证明：PO⊥平面BCDE;

(2)求二面角B-PC-D的正弦值.

图2

图1

试卷共4页第3页

17.(15分)

已知点A,B,C,D都在抛物线E:x²=4y上，且DC=2AB,线段AB,CD的中点分别为

M,N.

(1)证明：直线MN垂直于x轴；

(2)直线AB经过曲线E的焦点F,直线AD与BC相交于点P,求△PAB面积的最小

值.

18.(17分)

设函数f(x)=(x-1)eˣ-ax².

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点x₁,x₂,且x<x₂.

①求实数a的取值范围；

②证明：

19.(17分)

设无穷数列{a,}的前n项和为S。,若a₁=1,,k∈R,则称数列{a。}为

“k型”数列.

(1)若数列{an}为“k型”数列，且k=0,求a,a₃,a₄的值；

(2)若数列{a}为“k型”数列，且k<0,求数列{a,}的通项公式；

(3)若“k型”数列{a,}中可以存在无穷多项为0,求k的取值集合.

高三年级数学参考答案与评分建议

.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

题号12345678

答案ABDBCBBD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

题号91011

答案ABDACBC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.1613.√314.2In2+1

四、解答题：本题共5小题，共77分。

15.(13分)

【解】(1)需求量x可取200,300,500,则

……2分

……4分

则分布列为

X200300500

P

……6分

(2)由题意可知，n≤500,且n∈N'.

①当n≤200时，Y=n(6-4)=2n,

所以当n=200时，Ya=400.……8分

②当200<n≤300时，

所以当n=300时，Y=520.……10分

③当300<n≤500时，

参考答案与评分建议第1页共7页

此时Y<520.……12分

综上，当n=300时，Y取到最大值为520.……13分

16.(15分)

【解】(1)连接OD,OE,

在△OCD中，由余弦定理可知，

得OD=√3,同理，OE=√3.……2分

在△POD中，己知PO=√6.OD=√3,PD=3,且PO²+OD²=PD',

故PO⊥OD,

同理，POLOE.……4分

又因为OD∩OE=0,OD,OEc平面BCDE,

所以PO⊥平面BCDE.……6分

(2)取DE中点M,以{OC,OM.OP|为正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系，则

……8分

设平面PCD的一个法向量n=(x,y,二),

则n₁·CP=0,n·CD=0,

图2

令x₁=√6,则y₁=√2,z=2,

所以n₁=(√6,√2,2)是平面PCD的一个法向量.……11分

又因为是平面的一个法向量，

n₂=(0,1,0)PCB……12分

设平面PCD与平面PCB所成角为θ,

则|cosθ日

参考答案与评分建议笫2页共7页

故二面角B-PC-D的正弦值为……15分

17.(15分)

【解】(1)证明：因为DC=2AB,所以LB/pc·

设l:y=kx+b,loc:y=kx+b₂,联立

得x²-4kx-4b,=0,则x,+xg=4k.

因为M为线段AB的屮点，所以x=2k,y=2k²+b,……3分

同理，联立lpc与曲线E,可知xv=2k,yw=2k²+b₂,

故x=x、,即得证直线MN垂直于x轴.……5分

(2)因为直线AB经过曲线E的焦点F,所以1:y=kx+1,

联立1与曲线E,得x²-4kx-4=0,则x+xg=4k,xxg=-4,

则|AB|=√1+k²|x,-xn=√1+E²√(x₄+x₀)²-4x₄x₀=4(1+k²),

同理，|DCI=√1+k²|x₀-xc|=4√1+k²·√k²+b₁.……8分

因为|DC|=2|AB|,所以4√1+k².√k²+b₂=8(1+k²),

得b₂=3k²+4.

所以M(2k,2k²+1),N(2k,5k+4).……10分

又因为DC=2A,所以AB为△PCD的中位线，

则P到1的距离，即为N到1:y=kx+1的距离d,

……12分

当k=0时，SAP取得最小值为6.……15分

参考答案与评分建议第3页共7页

18.(17分)

【解】(1)f(x)的定义域为R,导函数f'(x)=x(eˣ-a).……1分

①当a≤0时，c²-a>0,

令f'(x)<0,得x<0;f'(x)>0,得x>0,

所以f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.……2分

②当a>0时，由f'(x)=0,解得r=0或x=In(2a),

(i)若In(2a)=0,,f'(x)≥0恒成立，

f(x)在(-∞,+c)上单调违增.……3分

(ii)若In(2a)>0,

令f'(x)<0,得0<x<ln(2a);f'(x)>0,得x<0或x>In(2a),

所以f(x)在(0,In(2a))上单调递减；

在(-∞,0)和(ln(2a),+○)上单调递增.……4分

(ü)若In(2a)<0,

令f'(x)<0,得In(2a)<x<0;

f'(x)>0,得x<In(2a)或x>0,

所以f(x)在(ln(2a),0)上单调递减；

在(一∞,In(2a))和(0,+∞)上单调递增.……5分

(2)①(i)当a=0时，f(x)=(x-1)e*,f(x)有唯一零点x=1,不符合题意.

……6分

(ii)当时，f(x)在(-∞,+00)上单调递增，

所以f(x)至多一个零点，不符合题意，……7分

(iii)当时，f(x)在(一∞,0)上恒负；

f(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以f(x)至多一个零点，不符合题意，……8分

(iv)当时，在(-∞,In(2a))上f(x)≤f(0)=-1<0:

f(x)在(In(2a),+∞)上单调递增，至多一个零点，不符合题意，

……9分

(v)当a<0时，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

且图像不间断.

参考答案与评分建议第4页共7页

因为f(0)=-1<0.f(1)=-a>0.

所以f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.

因为当x<0时，0<eˣ<1,x-1<0,

所以f(x)>x-1-ax²>x-ax²=x(1-ar),

令x-1-ar²=0,解得

则

又因为f(x)在(-∞,0)上单调递减，f(0)=-1<0,

所以f(x)在(一∞,0)上存在唯一零点.

综上，若f(x)存在两个零点时，a∈(-∞,0).……11分

②由①可知，x<0<x₂.

要证：

只需证：x+x₂<0.……12分

设g(x)=f(x)-f(-x),x>0,则

g(x)=(x-1)c'+(x+1)c⁻¹,

所以g'(x)=x(c-c⁻*).

当x>0时，g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增.

因为g(0)=0,所以g(x)>0.……14分

所以f(x)>f(-x),

所以f(x₂)>f(-x₂).

因为f(x)=f(x₂)=0,

所以f(x,)>f(-x).

因为x₂>0,所以-x₂<0,

又囚为f(x)在(一∞,0)上单调递减，

所以x<-x₂,即x₁+x₂<0.

所以成立.得证.……17分

19.(17分)

【解】(1)因为{a。}为“0型”数列，所以

当n=1时，,又a₁=1,所以a₂=2,

参考答案与评分建议第5页共7页

当n=2时，,所以a,=3,

当n=3时，a₁+a2+,所以a,=4.……3分

(2)因为{a。}为“k型”数列，其中i<0.所以

当n≥2时，两式相减，得2a=a(a₁一a。).……4分

因为a₁=1,所以a=2-2k,

因为k<0,所以a₂>0.……5分

所以a₃=3,a=2-2k>0,