河北省秦皇岛市抚宁区台营学区重点达标名校2025-2026学年初三中考全真模拟卷（三）数学试题含解析

河北省秦皇岛市抚宁区台营学区重点达标名校2025-2026学年初三中考全真模拟卷（三）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于B，交AC于P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于Q，则△ABC的高是（）A．线段PB B．线段BC C．线段CQ D．线段AQ2．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，，，点在以斜边为直径的半圆上，点是的三等分点，当点沿着半圆，从点运动到点时，点运动的路径长为（）A．或 B．或 C．或 D．或4．如图，△ABC纸片中，∠A＝56,∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则∠BDE的度数为（）A．76° B．74° C．72° D．70°5．下列各数中，为无理数的是（）A． B． C． D．6．方程x2+2x﹣3=0的解是（）A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣37．如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（）A． B． C． D．8．正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是()A．(2，0) B．(3，0) C．(2，－1) D．(2，1)9．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（）A． B． C． D．10．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是A．180个，160个 B．170个，160个C．170个，180个 D．160个，200个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知同一个反比例函数图象上的两点、，若，且，则这个反比例函数的解析式为______．12．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为__________．13．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英同学离A地的距离是_____米．14．如图，已知函数y＝x+2的图象与函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，连接BO并延长交函数y＝（k≠0）的图象于点C，连接AC，若△ABC的面积为1．则k的值为_____．15．如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：________．16．废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水（相当于一个人一生的饮水量）．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水用科学记数法表示为_____立方米．17．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．A、B两种奖品每件各多少元？现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE∥CF．20．（8分）2019年1月，温州轨道交通线正式运营，线有以下4种购票方式：A．二维码过闸B．现金购票C．市名卡过闸D．银联闪付某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A，B，C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）.21．（10分）求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）．绕点A旋转的直线l：y＝kx+b1交抛物线于另一点D，交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点D在第二象限且满足CD＝5AC时，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，点E为直线l下方抛物线上的一点，直接写出△ACE面积的最大值；（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P，其纵坐标为4，点Q在抛物线上，当直线l与y轴的交点C位于y轴负半轴时，是否存在以点A，D，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．23．（12分）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．24．（14分）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】

根据三角形高线的定义即可解题.【详解】解：当AB为△ABC的底时，过点C向AB所在直线作垂线段即为高,故CQ是△ABC的高,故选C.本题考查了三角形高线的定义,属于简单题,熟悉高线的作法是解题关键.2、B【解析】A、主视图为等腰三角形，俯视图为圆以及圆心，故A选项错误；B、主视图为矩形，俯视图为矩形，故B选项正确；C、主视图，俯视图均为圆，故C选项错误；D、主视图为矩形，俯视图为三角形，故D选项错误.故选：B.3、A【解析】

根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论．【详解】当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD，FM，AD，EM，∵∴∵AB是直径即∴∴点M的轨迹是以EF为直径的半圆，∵∴以EF为直径的圆的半径为1∴点M运动的路径长为当时，同理可得点M运动的路径长为故选：A．本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键．4、B【解析】

直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用翻折变换的性质得出∠BDE的度数．【详解】解：∵∠A=56°，∠C=88°，

∴∠ABC=180°-56°-88°=36°，

∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，

∴∠CBD=∠DBE=18°，∠C=∠DEB=88°，

∴∠BDE=180°-18°-88°=74°．

故选：B．此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键．5、D【解析】A．=2，是有理数；B．=2，是有理数；C．，是有理数；D．，是无理数，故选D.6、B【解析】

本题可对方程进行因式分解，也可把选项中的数代入验证是否满足方程．【详解】x2+2x-3=0，即（x+3）（x-1）=0，∴x1=1，x2=﹣3故选：B．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．7、C【解析】试题解析：A、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；B、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；C、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB∥CD，故本选项正确；D、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB∥CD，故本选项错误；故选C．8、B【解析】试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．试题解析：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）．故选B．考点：坐标与图形变化-旋转．9、D【解析】解：作直径AD，连结BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD==8，∴cosD===．∵∠C=∠D，∴cosC=．故选D．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．10、B【解析】

根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；故选B．此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、y=【解析】解：设这个反比例函数的表达式为y=．∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，∴x1y1=x2y2=k，∴==，∴﹣=，∴=，∴=，∴k=2（x2﹣x1）．∵x2=x1+2，∴x2﹣x1=2，∴k=2×2=4，∴这个反比例函数的解析式为：y=．故答案为y=．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．同时考查了式子的变形．12、4【解析】

首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【详解】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO=①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴AQ=2AC,又∵CQ=,∴AQ=2∴OQ=2﹣1=1,则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为4.考点：解直角三角形13、100【解析】先在直角△ABE中利用三角函数求出BE和AE，然后在直角△ACF中，利用勾股定理求出AC．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵∠EAB=30°，AB=100，∴BE=50，AE=50．∵BC=200，∴CE=1．在Rt△ACE中，根据勾股定理得：AC=100．即此时王英同学离A地的距离是100米．故答案为100．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．14、3【解析】

连接OA．根据反比例函数的对称性可得OB=OC，那么S△OAB=S△OAC=S△ABC=2．求出直线y=x+2与y轴交点D的坐标．设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），根据S△OAB=2，得出a-b=2

①．根据S△OAC=2，得出-a-b=2

②，①与②联立，求出a、b的值，即可求解．【详解】如图，连接OA．由题意，可得OB=OC，∴S△OAB=S△OAC=S△ABC=2．设直线y=x+2与y轴交于点D，则D（0，2），设A（a，a+2），B（b，b+2），则C（-b，-b-2），∴S△OAB=×2×（a-b）=2，∴a-b=2

①．过A点作AM⊥x轴于点M，过C点作CN⊥x轴于点N，则S△OAM=S△OCN=k，∴S△OAC=S△OAM+S梯形AMNC-S△OCN=S梯形AMNC=2，∴（-b-2+a+2）（-b-a）=2，将①代入，得∴-a-b=2

②，①+②，得-2b=6，b=-3，①-②，得2a=2，a=1，∴A（1，3），∴k=1×3=3．故答案为3．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度适中．根据反比例函数的对称性得出OB=OC是解题的突破口．15、这一天的最高气温约是26°【解析】

根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【详解】解：根据图象可得这一天的最高气温约是26°，故答案为：这一天的最高气温约是26°．本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．16、3×1【解析】因为一粒纽扣电池能污染600立方米的水，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水就是：600×50=30000，用科学记数法表示为3×1立方米．

故答案为3×1．17、【解析】

列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．【详解】解：列表得：

两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，

则其和小于6的概率是，

故答案为：．本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）A种奖品最多购买41件．【解析】【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：，答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤，∵a为整数，∴a≤41，答：A种奖品最多购买41件．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据不等关系，正确列出不等式.19、证明见解析【解析】试题分析：通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应角相等证得∠AED=∠CFB，则由平行线的判定证得结论．证明：∵平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF．∵在△ADE与△CBF中，AD=BC，∠ADE=∠CBF，DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴∠AED=∠CFB．∴AE∥CF．20、(1)600人（2）【解析】

（1）计算方式A的扇形圆心角占D的圆心角的分率，然后用方式D的人数乘这个分数即为方式A的人数；（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两名同学恰好选中同一种购票方式的概率．【详解】（1）（人），∴最喜欢方式A的有600人（2）列表法：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C树状法：∴（同一种购票方式）本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21、（1，0）、（﹣2，0）【解析】试题分析：抛物线与x轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可．试题解析：解：令，即．解得：，．∴该抛物线与轴的交点坐标为（－2，0），（1，0）．22、（1）y＝x2+x﹣；（2）y＝﹣x+1；（3）当x＝﹣2时，最大值为；（4）存在，点D的横坐标为﹣3或或﹣．【解析】

（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即可求解；（2）OC∥DF，则即可求解；（3）由S△ACE=S△AME﹣S△CME即可求解；（4）分当AP为平行四边形的一条边、对角线两种情况，分别求解即可．【详解】（1）设二次函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即：解得：故函数的表达式为：①；（2）过点D作DF⊥x轴交于点F，过点E作y轴的平行线交直线AD于点M，∵OC∥DF，∴OF＝5OA＝5，故点D的坐标为（﹣5，6），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：，解得：即直线AD的表达式为：y＝﹣x+1，（3）设点E坐标为则点M坐标为则∵故S△ACE有最大值，当x＝﹣2