2.4 二元一次方程组的应用（6大题型提分练）（解析版）

2.4二元一次方程组的应用题型一由实际问题抽象出二元一次方程组1．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于、的二元一次方程组正确的是A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：．故本题选：．2．我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：．故本题选：．3．古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个？”该问题意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意，可列方程组是A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：．故本题选：．题型二常规类型的应用题1．甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为岁．【详解】解：设甲现在岁，乙现在岁，由题意可得：，解得：．故本题答案为：23．2．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是．【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为，个位上的数字为，由题意可得：，解得：，．故本题答案为：34．3．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，恰巧配套．【详解】解：设用张制作盒身，张制作盒底，由题意可得：，解得：．故本题答案为：15，20．4．《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只，则树上，树下的鸽子数一样多．”你知道树上有只鸽子，树下有只鸽子．【详解】解：设树上有只鸽子，树下有只鸽子．由题意可得：，解得：．故本题答案为：7，5．5．某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生．（1）平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由．【详解】解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，由题意可得：，解得：．答：平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生；（2）符合安全规定，理由如下：这栋大楼最多拥有学生数为（名），10分钟可通过学生数为（名），，建造的这4道门符合安全规定．6．如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的2倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到地，两次运输（第一次：地食品厂，第二次：食品厂地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元（千米吨），铁路运费为1元（千米吨）．（1）求该食品厂到地，地的铁路距离分别是多少千米？（2）求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？（3）若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费）【详解】解：（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，由题意可得：，解得：，，，答：这家食品厂到地的铁路距离是30千米，到地的铁路距离是70千米；（2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，由题意可得：，解得：，答：该食品厂买进原料220吨，卖出食品200吨；（3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意可得：，解得：，答：卖出的食品每吨售价是10000元．题型三以几图形为背景的应用题1．在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积之和为A．48 B．44 C．36 D．24【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由题意可得：，解得：，即小长方形的长为，宽为，阴影部分的面积为．故本题选：．2．在长方形中放入六个完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽为．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则，，即，由题意可得：，解得：，即．故本题答案为：2．题型四以表格数据为背景的应用题1．李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示：购买甲商品的数量购买乙商品的数量购买总费用第一次55900第二次671180第三次981064（1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？（2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？【详解】解：（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，由题意可得：，解得：，答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元；（2）设商场是打折出售这两种商品的，由题意可得：，解得：，答：商场是打7折出售这两种商品的．2．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．（1）填表：长方形铁片张数正方形铁片张数1只竖式无盖铁容器中1只横式无盖铁容器中（2）现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？（3）把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？【详解】解：（1）填表如下：长方形铁片张数正方形铁片张数1只竖式无盖铁容器中411只横式无盖铁容器中32（2）设可以加工竖式长方体铁容器个，横式长方体铁容器个，由题意可得：，解得：，答：可加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个；（3）设用块铁板裁成长方形铁片，块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，由题意可得：，，，，均为非负整数，，，当，时，；当，时，．，最多可以加工成19个铁盒．题型五方案选择问题1．小明购买学习用品的清单如表，因污损导致部分数据无法识别，根据如表，解决下列问题：学习用品单价数量金额（元中性笔326自动铅笔4.5记号笔6笔记本210圆规13.51合计952（1）小明购买自动铅笔、记号笔各几支？（2）若小明再次购买笔记本和中性笔两种文具，共花费33元，则有哪几种不同的购买方案？【详解】解：（1）设小明购买支自动铅笔，支记号笔，由题意可得：，解得：，答：小明购买1支自动铅笔，3支记号笔；（2）设购买支中性笔，本笔记本，由题意可得：，，又，均为正整数，或，共有2种购买方案，方案1：购买6支中性笔，3本笔记本；方案2：购买1支中性笔，6本笔记本．2．因强降雨天气，有500名群众被困，某救援队前往救援，已知3艘小型船和2艘大型船一次可救援125名群众，1艘小型船和3艘大型船一次可救援135名群众．（1）每艘小型船和每艘大型船各能坐多少名群众？（2）若安排艘小型船和艘大型船，一次救援完，且恰好每艘船都坐满，请设计出所有的安排方案．【详解】解：（1）设每艘小型船能坐名群众，每艘大型船能坐名群众，由题意可得：，解得：，答：每艘小型船能坐15名群众，每艘大型船能坐40名群众；（2）由题意可得：，整理得：，，为非负整数，或或或，有4种方案，分别为：①安排28艘小型船和2艘大型船；②安排20艘小型船和5艘大型船；③安排12艘小型船和8艘大型船；④安排4艘小型船和11艘大型船．题型六以表格呈现题干的应用题1．根据以下素材，完成任务．如何生产纸盒素材1某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）素材2工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．素材3库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为．采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．任务一若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板5张，长方形纸板张．任务二根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？任务三根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完．请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．【详解】解：（1）由题意可得：一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面；2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面，共需要正方形纸板5个面，长方形纸板10个面，故本题答案为：5，10；（2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，由题意可得：，解得：，答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个；（3）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，丙种纸板为张，由题意可得：，解得：，，为正整数，，或，丙纸板为145或140张．2．根据以下素材，探索完成任务．如何设计板材裁切方案？素材1图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．素材2因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）我是板材裁切师任务一拟定裁切方案若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背张，座垫张）．方法一：裁切靠背16张和坐垫0张．方法二：裁切靠背张和坐垫张．方法三：裁切靠背张和坐垫张．任务二确定搭配数量若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？任务三解决实际问题现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，由题意可得：，，，为非负整数，或或，方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；故本题答案为：9，3；2，6；任务二：（张），该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；任务三：设张靠背9张和坐垫3张．张靠背2张和坐垫6张，由题意可得：，解得：，（张），需要购买该型号板材103张，用其中42张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用61张板材裁切靠背2张和坐垫6张．1．初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元．（1）求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格；（2）若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案；（3）若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费2500元，现我校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？【详解】解：（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为元，乙品牌消毒液每瓶的价格为元，由题意可得：，解得：，答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元；（2）设需要购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，由题意可得：，整理得：，当时，，当时，，当时，，方案一：购买15瓶甲消毒液，2瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案三：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液；（3）设购买甲品牌消毒液瓶，购买乙品牌消毒液瓶，设使用天，由题意可得：，由①得：③，把③代入②得：，解得：，答：这批消毒液可使用5天．2．根据以下素材，探索完成任务．设计奖项设置和奖品采购的方案某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名