《探究等腰三角形中的相等线段》数学活动教案

《探究等腰三角形中的相等线段》数学活动（教案）教学目标：1.学会利用等腰三角形的轴对称性，发现等腰三角形中相等的线段，并且利用三角形全等和等腰三角形的性质证明这些结论。2.通过动手实践，合作交流，培养观察、分析、解决问题的能力。3.鼓励学生积极思考、实践、探究、证明，逐步培养空间想象能力，合作与探究的意识。教学重点：通过折叠等腰三角形，探究相等的线段。教学过程：活动一：回顾与导入：师问：前面我们学习了等腰三角形，请问等腰三角形具有哪些性质？生答：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两角相等；等腰三角形的三线合一；等腰三角形是轴对称图形……师：同学们回答得很好！其实，在等腰三角形中通过添加一些条件，构建出相等的线段还有很多，今天这节课，我们就共同来探究等腰三角形中相等的线段！2.活动探究活动二：团结协作如图,在△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点。经过点D构造两条线段，并说明哪两条线段相等，最后加以证明。（这里“经过点D构造两条线段，并说明哪两条线段相等”改为“经过点D构造两条线段，使之产生新的线段相等，并说明理由？”）（教师补充说明：同学们经过点D构造线段时，从构造出的线段与图中已经存在的线段的数量关系与位置关系，以及构成的角的关系去考虑，去构造）同学们请带着这个问题，以小组为单位进行探讨和交流，最后推荐同学展示成果。教师点评并归纳：当DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.则DE=DF.（等腰三角形底边中点到两腰的距离相等）证明方法：1.三角形全等2.面积法3.角平分线性质定理4.折叠5.轴对称（这里证明方法有五种，如果学生回答不全面，可以让学生再次讨论，切忌老师包办代替）（过渡语：同学们，还有其他的构造方法同样使得DE=DF吗？）当E、F分别为AB、AC边上的中点时，DE=DF。（等腰三角形底边中点到两腰中点的距离相等）将(2)中点E、F拓展为三等分点、五等分点以及n等分点时的对应点后，DE与DF仍然相等。（这里学生最有可能是说出“E、F分别为AB、AC边上的中点”，如果学生没有说出“三等分点、五等分点以及n等分点”，教师可以这样处理：一是（1）中五种证明方法比较顺畅，教师就主动提出来让学生思考；二是（1）中五种方法经过再次讨论花了时间，这时可以选择放弃，留着课后讨论。）（3）当DE、DF分别是∠ADB与∠ADC的平分线时，DE=DF。（等腰三角形底边中线与底边所夹角的角平分线相等）将（3）中角平分线拓展为一般情况，即∠ADE=∠ADF时，DE=DF。（这里，如果学生没有想到“∠ADE=∠ADF时，DE=DF”，教师可以直接拓展出来，让学生思考）（过渡语：在上面的等腰三角形中，D为定点，若D为射线AD上的一个动点，此时这个动点记为点O，你能否仿照上面的构造方法经过点O构造两条线段，重新得到OE=OF呢？）活动三:小试牛刀如图,在△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点。当点O为AD上(不与点A重合）的任一点或其延长线上任一点时。请你利用已经掌握的方法经过点O构造两条线段，并找出哪些相等的线段？最后加以证明.（这里“请你利用已经掌握的方法经过点O构造两条线段”，改为“请你仿照上面的方法经过点O构造两条线段，”）同学们先独立思考，然后将结果在小组内汇总，最后推荐同学展示。教师归纳：当OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F，则OE=OF。（等腰三角形底边中线或其延长线上任意一点到两腰的距离相等）（2）如图（2），当E、F分别为AB、AC边上的中点时，OE=OF。（等腰三角形底边中线或其延长线上任意一点到两腰中点的距离相等）师：（2）E、F满足什么条件时，OE与OF仍然相等。（这里的追问“（2）E、F满足什么条件时，OE与OF仍然相等”，如果活动二的（2）完成比较顺利，就可以抛出来让学生进一步思考，如果不顺利，选择放弃”。）图（2）图（3）图（4）（3）如图（3），当∠AOE=∠AOF时，OE=图（2）图（3）图（4）(4)如图（4），连接OB、OC,则OB=OC。（这里可能出现的情况比较多，老师在制定导学案时，要预备足够多的备用图）活动四:再接再厉在△ABC中，AB=AC，（1）当BD、CE分别是∠ABC与∠ACB的平分线时，且BD与CE交于点O。根据你的观察，说一说图中有哪些线段可能是相等的？（2）当中线BD与CE交于O时,猜想：图中有哪些相等的线段？（这里“当中线BD与CE交于O时,”的问法要与（1）保持一致，改为“当BD、CE分别是AC与AB边上的中线时”，）（3）当BD、CE分别为两腰上的高且交于点O时，猜想：图中有哪些相等的线段？你能证明这些相等的线段吗？学生小组讨论，推荐同学回答。教师归纳：等腰三角形中两底角的平分线、两腰上的高、两腰上的中线分别相等。活动五：课堂小结：本节课你有哪些收获？数学知识方面：数学思想方法方面：教学设计点评：程老师的这节活动课是在学习完《轴对称》这一章的知识基础上进行的，同学们已经知道了什么是轴对称？什么是轴对称图形？并经历与探究了等腰三角形的一系列的性质。这节课以等腰三角形性质为依托，以等腰三角形的性质探究的方法为指引，让学生在等腰三角形的基础上进一步尝试探究的方法，深刻挖掘等腰三角形这一轴对称图形更为深层次的结论，为学生以后学习中碰到类似问题提供解决方法，让学生学会探究，学会合作，学会交流，学会表达，学会思考，真可谓是“授人以鱼不如授人以渔”。程老师的活动课分四个层次进行，一是简要复习等腰三角形的性质，为下面的探究活动做好铺垫；二是给定点D，缩小探索的范围，给同学们一个明确的方向探究，使探究的难度大大降低，让每一位同学都能参与到活动中来。最后让同学们明白：无论怎么构造图形，都是构造出了一个轴对称的图形，即构造出的两三角形都是关于AD所在的直线对称的，从而发现我们探究的核心方法就是轴对称。三是活动进入半开放状态，由过定点D变成了在一条射线上运动，学生只需要结合、甚至是模仿活动二的方式去构造轴对称的图形即可。但由于点O可以是射线AD上的点，学生构造出的图形就会出现许多不同的情形，犹如百花开放一般！极大的开发了学生的思维空间。四是活动进入开放状态，由点在射线上运动变成了等腰三角形的中线，高，角平分线等，从而使得轴对称图形看起来更加复杂，对称轴不是更加直观！让学生在复杂图形中发现挖掘对称图形的性质。五是课堂小结程老师的这种安排，层层递进，由浅入深，通过活动诱导学生思考、操作、探究、证明，让学生亲身体验知识的产生过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。教育家叶圣陶先生说“教是为了不教”，也就是我们传授给学生的不只是知识内容，更重要的是指导学生一些数学的学习方法。而程老师的这节课就为我们广大老师树立了榜样!平时我们许多老师没有关注活动课，认为活动课活不活动不重要，只要学生会做题就行，大搞题海战术，耽误学生的时间，浪费学生的青春，学生没有真正学到数学知识以外的终生受用的方法，几乎扼杀了学生的创新与创造能力。学生认识世界总是从已有的经验出发，这里从学生已掌握的等腰三角形的知识出发进一步探究等腰三角形这一轴对称更深层次的结论，合情合理，恰到好处。另外事物总是互相联系的，学生认识事物时从已有的经验和