4.4一次函数的应用（第2课时一次函数图象的应用）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4.4.2一次函数的应用教学设计1.教学内容本次教学内容选自北师大版八年级数学上册，是“一次函数的应用”的第2课时.教材在学生已经掌握一次函数的概念、图象和性质的基础上，进一步深入探讨一次函数与实际问题的结合，以及一次函数与一元一次方程的内在联系.2.内容解析本节课是一次函数知识的重要应用延伸，既是对前面一次函数图象和性质的巩固，又为后续学习一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系奠定基础，同时也是连接数学知识与实际生活的关键桥梁，能帮助学生体会数学的实用性，培养用数学知识解决实际问题的意识和能力.对于“借助单个一次函数图象解决实际问题”，核心是让学生学会从图象中提取有效信息，如图象与坐标轴交点的意义、图象上某一点横纵坐标代表的实际含义等，进而根据这些信息解决诸如“求特定行驶路程下的剩余油量”“判断干旱持续多久水库蓄水量会达到某个值”等问题.而“一次函数与一元一次方程的关系”，则需要引导学生理解从“函数值”和“函数图象”两个角度的关联：从函数值角度，当一次函数​y=kx+b（k=0）的函数值y=0时，对应的自变量x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；从函数图象角度，一次函数图象与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解.​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：借助单个一次函数图象提取信息，解决实际问题；理解一次函数与一元一次方程的关系，并利用这种关系解决相关问题.教学目标知识与技能目标：学生能借助单个一次函数图象，准确提取信息并解决实际问题；理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用这种关系求解一元一次方程的解.​过程与方法目标：通过分析实际情境案例、小组讨论、合作探究等过程，培养学生观察图象、提取信息、分析问题和解决问题的能力；在探究一次函数与一元一次方程关系的过程中，提升逻辑思维能力和数形结合思想的应用能力.​情感态度与价值观目标：感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和自信心；在小组合作学习中，培养团队协作意识和沟通能力.目标解析对于“借助单个一次函数图象解决实际问题”这一目标，达成标志是学生面对如“摩托车剩余油量与行驶路程关系图象”时，能准确说出图象与纵轴交点表示的是“初始油量”，与横轴交点表示的是“油量为0时的行驶路程”，并能根据图象求出“行驶一定路程后剩余油量”或“剩余一定油量时可行驶的路程”等问题.“理解一次函数与一元一次方程的关系”目标的达成标志，是学生能清晰阐述：对于一次函数(y=2x-4)，当(y=0)时，求解(x)的过程就是解一元一次方程(2x-4=0)，且能指出该函数图象与(x)轴交点的横坐标就是方程的解；同时，能根据给定的一元一次方程，构造出对应的一次函数，并通过分析函数图象或计算函数值求出方程的解.过程与方法目标的达成，体现在学生参与课堂案例分析、小组讨论时，能积极发表自己的观点，主动与同伴交流思考过程，在教师引导下，能逐步总结出借助一次函数图象解决实际问题的步骤，以及一次函数与一元一次方程关系的推导过程.情感态度与价值观目标的达成，可通过课堂学生的参与度、课后反馈等方式体现，如学生能主动分享生活中与一次函数相关的实例，对用数学知识解决实际问题表现出积极的态度.（一）学生已有知识及掌握情况学生在学习本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图象的画法（列表、描点、连线）以及一次函数的性质（k、b对图象位置和函数增减性的影响），具备了一定的一次函数基础知识.同时，学生在七年级已经学习了一元一次方程的概念和解法，能熟练求解简单的一元一次方程.​从实际掌握情况来看，大部分学生能够准确画出给定一次函数的图象，能根据一次函数的表达式判断函数的增减性，也能快速解出如3x+6=0、2x−5=3等基础一元一次方程.但部分学生在将一次函数知识与实际生活情境结合方面存在不足，对于从图象中提取有效信息解决实际问题的能力较弱，尤其是当图象所反映的实际情境较为复杂时，容易混淆横纵坐标代表的实际意义.（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法1．困难一：无法准确理解一次函数图象中横纵坐标所代表的实际意义，导致在解决实际问题时无从下手.​解决办法：在教学过程中，针对每个实际情境案例（如摩托车剩余油量与行驶路程的关系），先引导学生明确题目中两个变量分别是什么，哪个变量作为横坐标，哪个作为纵坐标，并在图象上标注清楚.通过提问的方式强化学生对横纵坐标意义的理解，如“图象中横坐标为50时，对应的纵坐标是多少？它代表什么意思？”同时，展示图象时，先呈现情境描述，再逐步画出图象，让学生经历“情境—变量—图象”的构建过程，加深对图象与情境对应关系的理解.2．困难二：难以理解一次函数与一元一次方程之间的内在联系，无法将“求函数值为0时的自变量值”与“解一元一次方程”联系起来.​解决办法：采用“从具体到抽象”的教学思路，先给出具体的一次函数表达式（如y=2x−4），让学生计算当y=0时x的值，再让学生解一元一次方程2x−4=0，对比两个过程的结果，引导学生发现“求y=0时x的值”与“解一元一次方程2x−4=0”是同一个过程.接着，结合该一次函数的图象，让学生观察图象与x轴的交点坐标，发现交点的横坐标就是刚才计算出的x的值，从而从“函数值”和“函数图象”两个角度建立一次函数与一元一次方程的联系.之后，再通过多个类似的例子进行巩固，帮助学生抽象出一般规律.3．困难三：在解决复杂实际问题时，不能有条理地分析问题，不知道如何将实际问题转化为一次函数相关问题.​解决办法：在教学中，为学生总结“借助一次函数图象解决实际问题”的步骤：第一步，明确实际问题中的两个变量，确定横纵坐标代表的意义；第二步，从图象中提取关键信息，如交点坐标、特殊点的坐标等；第三步，根据提取的信息，结合实际问题的要求进行计算或判断；第四步，验证结果的合理性.在讲解例题时，按照这四个步骤逐步引导学生分析，让学生形成清晰的解题思路.同时，设计小组合作探究活动，让学生在小组内共同分析复杂问题，相互交流解题思路，教师巡视指导，帮助学生解决遇到的问题.1.温故知新提问：“确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？”，引导学生回忆“正比例函数需1个条件（非原点的点或一组对应值），一次函数需2个条件（两个点或两组对应值）”.追问：“我们常用什么方法求一次函数的解析式？”，学生回答“待定系数法”后，快速回顾待定系数法的步骤（设解析式→代入已知点→解方程组→写解析式）.看图思考：从一次函数图象可获得哪些信息?（1）由一次函数的图象：可确定k和b的符号；（2）可直接观察出:x与y的对应值；（3）由一次函数的图象：可估计函数的变化趋势；（4）由一次函数的图象与y轴的交点的坐标可确定b值，待定系数法可确定一次函数的图象的表达式.（设计意图：通过复习一次函数解析式的确定条件和方法，为后续“根据实际问题求函数关系式”奠定基础，避免学生因基础不牢影响新内容学习.）（教学建议：提问时关注基础薄弱的学生，若回答不完整，可让其他学生补充，确保全体学生回忆起核心知识点.）探究点1利用一次函数图象解决实际问题某种摩托车油箱加满油后，剩余油量y（L）与行驶路程x（km）的关系如图所示，回答下列问题：问题（1）：油箱最多可储油多少升？师生互动：引导学生观察图象，找到x=0时的y值（x=0,y=10），解释“x=0表示未行驶，此时油量最多，即最大储油量10L”，教师板书“x=0→初始量”.问题（2）：一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？师生互动：引导学生找到y=0时的x值（y=0,x=500），解释“y=0表示油量耗尽，此时行驶的路程就是最远路程500km”，板书“y=0→极限量”.问题（3）：摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？师生互动：引导学生选取图象上两个点（如(x=100,y=8)和(x=200,y=6)），计算油量变化（8-6=2L）和路程变化（200-100=100km），得出“每行驶100km消耗2L”，板书“两点差→单位变化量”.问题（4）：剩余油量小于1升时自动报警，行驶多少千米后报警？师生互动：先引导学生尝试从图象中找y=1对应的x值（约450km），再用待定系数法求关系式（y=-0.02x+10），代入y=1解方程得x=450，对比“图象估算”与“关系式计算”的结果，强调“关系式计算更精准”.（设计意图：通过4个层层递进的问题，让学生掌握“从图象提取初始量、极限量、单位变化量”的方法，同时对比“图象估算”与“关系式计算”，体会两种方法的优劣，为后续综合应用奠定基础.）（教学建议：分析问题时，先让学生尝试从图象直接获取信息（如问题1-3），再引导用关系式验证（如问题4），避免直接讲解关系式；对“单位变化量”的计算，选取易读的点（如x为100的倍数），降低计算难度.）探究点2一元一次方程与一次函数的联系水库蓄水量V（万m³）与干旱持续时间t（天）的关系如图所示，回答下列问题：问题（1）：干旱开始时蓄水量是多少？师生互动：让学生直接从图象读取“t=0时V=1200”，或用待定系数法代入(0,1200)和(40,400)，得V=-20t+1200验证，强化两种方法的一致性.问题（2）：干旱10天、23天的蓄水量是多少？师生互动：引导学生用关系式计算（t=10时，V=-20×10+1200=1000；t=23时，V=-20×23+1200=740），并说明“图象读取不够准确时，用关系式计算更精准”.问题（3）：蓄水量小于400万m³时报警，干旱多少天后报警？水库干涸时持续多少天？师生互动：让学生独立完成，通过解方程-20t+1200=400和-20t+1200=0得出答案，之后提问：“方程-20t+1200=0的解，与一次函数V=-20t+1200的图象有什么关系？总结：一元一次方程与一次函数的联系：从“数”的角度，函数值为0时自变量的值就是方程的解；从“形”的角度，函数图象与x轴交点的横坐标就是方程的解，并用表格清晰呈现.（设计意图：通过水库问题，进一步巩固“用关系式解决实际问题”的方法，同时自然引出“一元一次方程与一次函数的联系”，让学生在解决问题的过程中自主发现规律，而非被动接受结论.）x(元/千度)x(元/千度)y(元/千度)O500300200典例分析例1：工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数图象如图所示，求电价为600元/千度时的利润.解：设解析式(y=kx+b.找已知点：图象过(0,300)和(500,200).求系数：代入得b=300，500k+300=200，解得k=-0.2，解析式为y=-0.2x+300.计算利润：x=600时，y=-0.2×600+300=180.例2：A公司无纺布价格y（万元）与质量x（吨）的函数图象过(0,0.8)和(10,20.3)；B公司不超过30吨时每吨2万元，超过30吨时超过部分每吨1.9万元.购买40吨时，选哪家公司费用少？解：求A公司解析式：设y=kx+b，代入得b=0.8，10k+0.8=20.3，解k=1.95，解析式为y=1.95x+0.8.计算A公司费用：x=40时，y=1.95×40+0.8=78.8万元；计算B公司费用：30吨以内费用30×2=60万元，超过30吨的10吨费用10×1.9=19万元，总费用60+19=79万元.比较选择：78.8＜79，选A公司.（设计意图：通过两个典例，分别巩固“单一一次函数模型”和“分段函数（部分为一次函数）模型”的应用，让学生掌握解决实际问题的通用步骤（设解析式→求系数→计算→决策），提升数学建模能力.）（教学建议：典例2中，B公司的分段计算是难点，可让学生先独立尝试，再由教师板书计算过程，强调“分段条件的识别”（x≤30和x＞30）；鼓励学生对比A、B公司的费用差异，思考“购买多少吨时两家费用相同”，拓展思维.）一次函数y=kx+b的图象如图所示，方程kx+b=0的解为（C）x=2B.y=2C.x=-1D.y=-1某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入(最低工资)是(B)3100元B.3000元C.2900元D.2800元3.如图，从A地向B地打长途电话，设通话时间x(分)需付话费y(元)，请根据图象反映的y随x的变化规律，找出通话2分钟要付___2___元，通话5分钟要付___6___元．4．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为_x＝－1_．5．近几年来,由于经济和社会发展迅速,用电量越来越多.为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.6．（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50和x>50时，y与x的函数表达式；255075100255070100Oy(元）255075100255070100Oy(元）x(度）75