5.5 三元一次方程组（题型专练）（解析版）

1/10*5.5三元一次方程组题型一三元一次方程（组）的判断1．下列方程是三元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答．【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意；B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合“一次”的要求，故不符合题意；C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合“三元”的要求，故不符合题意；D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合“一次”的要求，故不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为1、整式方程是解题的关键．2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意；B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．3．下列是三元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.94【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题．【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意；B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意；C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意；D、方程组满足“含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意．故选：D．题型二列三元一次方程组4．请写出一个以为解的三元一次方程：．【答案】（答案不唯一）【难度】0.94【分析】本题考查了三元一次方程的定义及方程解得概念，解题关键是熟练掌握三元一次方程的定义．将、、的值代入能使等式成立即可．【详解】解：可以根据、、的值进行运算构造方程，比如，把，，代入：，∴得到三元一次方程．故答案为：（答案不唯一）．题型一解三元一次方程组1．解下列方程组：(1)； (2)； (3)【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：①②得：④，①③得：⑤，，④⑤得：，把代入④得：，把代入②得：，∴方程组的解为：．（2）解：由①+②，得．④由④-③，得，解得．把代入③，解得．把代入①，解得．故原方程组的解为（3）解：由②-①，得．④由③-②，得．⑤由⑤-④，得，解得．将代入④，得，解得．将代入①，得，解得，所以原方程组的解为【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．题型二消元法与整体思想2．【阅读感悟】已知实数、满足，求和的值．本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．【解决问题】(1)已知二元一次方程组，求和的值；(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？【答案】(1)，(2)1根丙种钢条长米．【难度】0.85【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键．（1）利用整体思想进行求解即可；（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可；【详解】（1）解：，，得：；，得：；（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，由题意，得：，，得：；∴丙种钢条长米．3．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题：(1)已知二元一次方程，求和的值；(2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？【答案】(1)，；(2)购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．【难度】0.65【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想．（1）将两个方程相加或相减，即可求解；（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解．【详解】（1）解：（1）由题意，得，得，∴；由，得，∴．（2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意，得则，得，∴购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．题型三三元一次方程组的简单应用5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元；现购甲、乙、丙各一件，共需（

）元A．33 B．34 C．35 D．36【答案】B【难度】0.85【分析】设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，然后求得的值．【详解】解：设购甲每件元，购乙每件元，购丙每件元．列方程组得：，①②得：．故选：B．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．6．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（

）A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球【答案】B【难度】0.65【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元．题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可．【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据题意得到：，解得：，第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球．故选：B．7．某项工程进行招标，甲、乙两工程队承包天完成需人民币1800元，乙、丙两工程队承包天完成需人民币1500元，甲、丙两工程队承包天完成需人民币1600元，现要求由某队单独承包且在一星期内完成，所需费用最省，则被招标的应是工程队．【答案】乙【难度】0.65【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．依据题意，应先根据工作量的等量关系求得三队单独完成这项工程需要的天数，继而求出甲、乙、丙三队的工作效率，再根据费用求得三队一天的工作报酬，最后算得总费用，比较即可．【详解】解：由题意，设甲、乙、丙的工作效率为x、y、z，∴．∴．又甲、乙、丙单独工作一天，各需付u、v、w元，则．∴．∴由甲队单独承包，费用是（元）．由乙队单独承包，费用是（元）．而丙队不能在一周内完成．所以由乙队承包费用最少．故答案为：乙．8．某社交平台上有这样一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是．【答案】130【难度】0.85【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用，根据图示由三者关系建立等式是解决本题的关键．设出站立的小猫的高度，趴着的小猫的高度和桌子的高度的未知数，由图建立三者的关系列方程求解即可．【详解】解：设桌子的高度为，站立的小猫的高度为，趴着的小猫的高度为，由第一个图可知，，由第二个图可知，，即，两式相加可得，解得，所以桌子的高度为．故答案为：130．9．勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为．【答案】【难度】0.65【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，根据勾股定理得到，然后根据阴影部分的面积关系得到，，解之得到，即可得到的值．【详解】解：设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，，，，，，，，，解得，，．故答案为：．10．某校为提高校园足球质量和水平，让学生在参与校园足球运动中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，实现德智体美劳全面发展，举办了校园足球联赛．根据赛事安排，每队均需参赛19场，记分办法如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球联赛中，若某队得13分，则该队可能负场．（写出一种情况即可）【答案】6（或8，10，12，14）【难度】0.65【分析】本题考查三元一次方程的应用．设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据“每队需参赛19场，某队得13分”，即可列出方程组，再求解即可；【详解】解：设该队胜了x场，平了y场，负了z场，根据题意，得，∵x，y，z均为非负整数∴或或，，，∴该队可能负6场或负8场或10场，12场，14场．故答案为：6（答案不唯一）11．如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为2，其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则大长方形的面积为．【答案】572【难度】0.4【分析】根据题意并结合图形可得：，然后解方程组求得a，b，c，d的值，进而求得大长方形的长和宽，最后根据长方形的面积公式即可解答；【详解】解：由题意可得：，解得：所以大长方形的长和宽分别为：所以大长方形的面积为．故答案为572．【点睛】本题主要考查了列方程组、解方程组等知识点，根据题意正确列出方程组并求解是解答本题的关键．12．若，则，，．【答案】201【难度】0.85【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键．根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可．【详解】解：，∵，∴，解得：，，；故答案为：2；0；1．13．某次数学竞赛前70名获奖，原定一等奖10人，二等奖20人，三等奖40人，现调整为一等奖15人，二等奖25人，三等奖30人．调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多6分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？【答案】分．【难度】0.65【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出方程，求出一等奖比二等奖平均分多的分数．先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案．【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，得：整理得：①∵原来二等奖比三等奖平均分数多6分，∴，即②将②代入①得到，，∵调整后一等奖平均分为分，二等奖平均分为分，∴，即调整后一等奖比二等奖平均分数多分．题型四“幻方”问题14．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【难度】0.85【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的应用，根据题意列出三元一次方程以及整体思想是解题关键．根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答．【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，∴如图可得：即．故选D．15．在如图所示的三阶幻方中，有些位置填写了数或汉字（其中每个汉字都表示一个数）．若处于每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是．中国我梦0【答案】【难度】0.85【分析】本题考查幻方，涉及解方程组，根据题意列方程组求解是解决问题的关键．令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，由幻方中每行、每列及每条对角线上的3个数之和都相等，列出方程组求解即可得到答案．【详解】解：令“我”为、“中”为、“国”为、“梦”为，则0则每行、每列及每条对角线上的3个数之和为，，解得，，则“我”“中”“国”“梦”这四个字表示的数之和是，故答案为：．1.从