江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2025-2026学年度高三教学情况调研(一)数学试题（含答案）

江苏省苏州、无锡、常州、镇江四市2025-2026学年度高三教学情况调研(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²+x-2≤0},B={x|x＜0},则A∪B=A.(-∞,0) B.(-∞,1] C.[-2,0) D.[1,2]2.“a＞1”是′“lnA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数z=11－A.0 B.1 C.2 D.24.(x-1)⁸的二项展开式的第6项系数是A.C58 B.C68 C.−C855.若椭圆x2a2+y2b2=1A.22 B.2 C.2 D.6.已知P是函数y=x+1x（x＞0）的图象上的任意一点，过P分别向直线y=x和D.12B.D.12C.0A.-17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b+2acosC=0,则tanB的最大值为A.13 B.33 C.3A.8.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,f′(x)为f(x)的导函数,fx−gx+12=1,f(x)=f(1-x),f′(x)=f′(A.2026 B.1013 C.1 D.-1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)=sinx-cosx,则A.f(x)是偶函数B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)在区间[0,π2D.f(x)的图象关于点(π410.甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球.现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球.记从甲袋子里取出红球的个数为X，则A.PXC.EX=4511.已知异面直线l₁,l₂,l₁⊥l₂,A∈l₁,B∈l₂,AB⊥l₁,AB⊥l₂,P∈l₁,Q∈l₂,四点A,B,P,Q不共面,O是线段PQ的中点,AB=2,PQ=4,则A.当AP=2时,BQB.当AP=2时,直线AB,PQ所成角为60°C.点O到直线AB的距离为3D.三棱锥A-BPQ的体积的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列an,a13.求值:cos414.已知圆C:x2+y2=9,A,B是C上的两个动点,点P(2,0),∠APB四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列a(1)若{an}是等差数列,求{an}的通项公式;(2)设bn=a216.(15分)某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月5日2月5日3月5日4月5日5月5日6月5日7月5日昼夜温差x/℃10111312876感冒人数y2325292616139该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；(2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：①求出y关于x的经验回归方程y=bx+â;②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想?说明理由.附：b17.(15分)把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=3,∠BAC=∠BCD=90∘,∠CBD=30°.将△ABC沿(1)证明:PB⊥平面PCD;(2)若P，B，C，D在同一个球面上，求该球的半径；(3)求平面PBD与平面BCD所成角的余弦值.18.(17分)已知函数.f(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论f(x)的零点个数;(3)当a＞32时,证明:f(x19.(17分)已知双曲线C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞0）的一条渐近线的倾斜角为60°，F(1)求C的离心率；(2)是否存在常数t(t＞0),使得.∠PAF1(3)若a为定值,直线PQ经过F₁,求|AP|+|AQ|的最小值.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.B8.D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BCD 10.BC 11.ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14.1414213.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)由题意a1=1,因为{an}是等差数列，所以公差(a2−所以an=满足a2n=2an+1,所以{a(2)因为b所以bn+1其中bn=a2n+1＞0,所以16.解：(1)记事件A为“选取的2组数据是不相邻的两个月”. 1分PA=答：选取的2组数据是不相邻的两个月的概率为57 2①xx132-2-4y485-5-12b=4+24+10+10+48y关于x的经验回归方程为y=48②当x=10时,y=48当x=7时, y=48所以，该小组所得经验回归方程是理想的. 15分17.解:(1)二面角P-BC-D为直二面角,即平面PBC⊥平面BCD,又因为CD⊥BC,CD⊂平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,所以CD⊥平面PBC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又因为PB⊂平面PBC,所以PB⊥CD. 3分由题意PB⊥PC,CD∩PC=C,CD,PC⊂平面PCD,所以PB⊥平面PCD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)取BC中点O,BD中点M,连结OP,OM,则OM⊥BC,OM∥CD,因为CD⊥平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP,在△ABC中,PB=PC,O为BC中点,所以OP⊥BC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分以OBOMOP为正交基底建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0, 7分设该球的球心坐标为(x，y，z)，则x解得x=0,所以该球的半径为x 10分(3)法一:取BC中点O,在△BCD中,过O作OH⊥BD,垂足为H,连结PH,平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OP⊂平面PBC,平面PBC∩平面BCD=BC,所以OP⊥平面BCD.又因为OH⊥BD,所以PH⊥BD,则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角. 13分直角三角形ABC中，OP=OHcos∠所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为55.法二：平面BCD的一个法向量为n设平面PBD的法向量为n2=xyz,则取x=1，得平面PBD的一个法向量为n2=cos＜n所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为55.18.解:(1)当a=1时,ff′(x)=2x-3lnx-3,f′(1)=-1.所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=-1(x-1),即x+y-2=0. 3分(2)因为a＞0,x＞0,当x∈03a时,g′(x)＜0,g(x)单调递减;当x∈3a+∞时,g′(x)＞0,g(x)单调递增;当x①当3−3ln3a＞0, 即a＞3e时， g(x②当3−3ln3a=0, 即a=3e③当3−3ln3a＜0,即0＜a＜3令ux=lnx−x所以u(x)＜u(1)=0,即lnx＜x,有g所以所以f(x)在区间03a和3a+∞上各有一个零点，即综上，a＞3e时，f(x)的零点个数为(0;a=30＜a＜3e时，f((3)①当x≥1时,f令了x当x∈1+∞⊆32a+∞时,所以h(x)≥h(1)=2a-3＞0,即f′(x)＞0,所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.所以fx≥②当0＜x＜1时,令1ux=x−sinx,u'x=1−cosx＞0,，所以u(f令m当x∈03a时,m′(x)＜0,m(x)单调递减;当x∈3a+∞时,当x=3a时，m(x若0＜3a＜1,即a＞3,则m3a若3a＞1,即32＜a＜3,则m(x)在区间(0,1)上单调递减,所以所以f(x)-2x＞0,即f(x)＞2x＞2sinx.综上可得,f(x)＞2sinx, 17分19.解:(1)由题意ba=tan60∘=3,(2)①当∠PF1A=π2时，A②当∠PF1A≠π2时,