广东省肇庆市2026年中考一模数学试题附答案

中考一模数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．1．的相反数是（）A． B． C． D．2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（）A． B． C． D．3．一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（）A． B． C． D．4．2024年12月31日，广州地铁线网总客运量达12202000人次，刷新广州地铁单日客运量历史纪录，将12202000用科学记数法表示应为（）A． B．C． D．5．下列运算正确的是（）A． B．C． D．6．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（）A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形7．下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④8．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（）A． B． C． D．9．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（）A． B．C． D．10．如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上，11．若分式有意义，则x的取值范围是12．公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为．13．明明与慧慧玩一种比数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，明明的卡片上分别标有数字1，3，6，慧慧的卡片上分别标有数字2，4，5，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则慧慧所抽数字大于明明的概率是．14．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是．15．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）16．解不等式组：17．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD，求证：四边形OCED是菱形．18．如图，在中，，，．（1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19．某市为了解初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）；E组（）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：（1）求出这次抽样调查的学生总人数；（2）补全频数分布直方图；（3）C组所在扇形的圆心角的度数为______度；（4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名．20．为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元．（1）请分别写出与之间的函数关系式．（2）校学生会选择哪种方案支付的费用较少？21．桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①，是古代汉族农用工具．桔槔始见于《墨子·备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图②是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，，点A从最高点逆时针旋转到达最低点，求此时水桶B上升的距离．（结果保留两位小数．参考数据：，，，，，）五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第22题14分，共27分）22．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：

（1）【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）；（2）【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；（3）【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；（4）【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0，c＞0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C．（1）若点A（﹣2，0），点B（8，0），求ac的值；（2）若点A（x1，0），B（x2，0），试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

答案1．【答案】D【解析】【解答】解：的相反数是2，故选：D【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．【答案】C【解析】【解答】∵，∴，，，，故答案为：C

【分析】根据实数在数轴上的表示得到，则，，，，再对选项逐一判断即可求解。3．【答案】A【解析】【解答】解：∵直尺的对边平行，∴，∵，∴，故选：A．【分析】由两直线平行内错角相等可把转移到的位置上，再利用计算即可．4．【答案】C【解析】【解答】解：12202000=．故答案为：C．

【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．5．【答案】D【解析】【解答】A.，错误，不符合题意；B.，错误，不符合题意；C.，错误，不符合题意；D.，正确，符合题意；故答案为：D

【分析】根据，，再结合合并同类项、分式的加减运算、幂的乘方对选项逐一运算即可求解。6．【答案】C【解析】【解答】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.故选：C.【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；容易得出该几何体的主视图和左视图都是轴对称图形，俯视图既是中心对称图形也是轴对称图形，再逐项判断即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意；②，当时，y随x的增大而增大，符合题意；③，当时，随的增大而增大，符合题意；④，当时，随的增大而增大，不符合题意，当时，随的增大先减小后增大，不符合题意，综上所述符合题意的有：②③，故答案为：B

【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质对选项逐一判断即可求解。8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，建立如下直角坐标系∶则点C的坐标为．故选：B．【分析】由于A、B关于原点对称，则可以AB中点为坐标原点建立适当的坐标系，则点C在第四象限的角平分线上，且线段OC的中点恰好与点B关于x轴对称．9．【答案】B【解析】【解答】解：设竹竿的长为x尺，则门框的高为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，

根据题意可列列方程为，故答案为：B．

【分析】设竹竿的长为x尺，则门框的长为尺，宽为尺，根据勾股定理即可列出方程得出答案．10．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示，作延长线于点，连接，∵，，∴，∴四边形为矩形，，，∴为的切线，由题意，为的切线，∴，，∵，∴设，，，则，，在中，，在中，，∵，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∴，∴，故答案为：B．【分析】作延长线于点，连接，设，，，则，，再利用勾股定理可得，，再结合，列出方程，求出，再求出，最后利用正弦的定义求出即可.11．【答案】【解析】【解答】解：∵分式有意义∴即故答案为：【分析】分式有意义条件即分母不能为0．12．【答案】【解析】【解答】解：设中转站的坐标为，

根据题意可知，中转站为的中点，∴，∴中转站的坐标为．故答案为：．

【分析】设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可．13．【答案】【解析】【解答】根据题意，画图如下：一共有9种等可能性，其中慧慧所抽数字大于明明的有5种，故慧慧所抽数字大于明明的概率是．故答案为：．

【分析】根据题意画出树状图，则一共有9种等可能性，其中慧慧所抽数字大于明明的有5种，再根据等可能事件的概率即可求解。14．【答案】不小于【解析】【解答】解：根据题意，设球内气体的气压和气体体积的关系式为，

根据函数图象可知，此图象过点，∴，∴，由图像可知图象在第一象限内，∴随的增大而减小，∴当时，，∵当气球内的气压时，气球将爆炸，∴为了安全起见气球内的气压p需要满足，气球内气体体积需要满足，即不小于．故答案为：不小于．

【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点，由此可知，进而得出当时，可判断应满足的条件．15．【答案】4【解析】【解答】解：根据正方形的性质可知，点C、点A关于BD对称，过点C作CA'∥BD，且使CA'=1，连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，如图所示：∵的面积为2π，

∴的半径是，直径BD=AC=，BD⊥AC，∵CA'∥MN且CA'=MN，

∴AC⊥CA'，四边形MCA'N为平行四边形，

∴AA'==3，A'C=CM=AM，

∴C△AMN=AM+AN+MN=AA'+1时最小，

即C△AMN=3+1=4，故答案为：4．【分析】根据正方形的性质可知，点C、点A关于BD对称，过点C作CA'∥BD，且使CA'=1，连接AA'交BD于点N，取MN=1，连接AM、CM，根据勾股定理和平行四边形的性质求得AA'=3，A'C=CM=AM，进而求得C△AMN=AA'+1，即可得出结果.16．【答案】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

将不等式①②的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为：，【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来，即可得出不等式组的解集.17．【答案】证明：∵DE//AC，CE//BD，∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC=OD=AC=BD

∴四边形OCED是菱形．【解析】【分析】先由两组对边分别平行可判定四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质知OD＝OC，则一组邻边相等的平行四边形是菱形．18．【答案】（1）解：由，得，故过点A作的垂线，垂足即为所求．如解图，则点D即为所求．（2）解：∵，，，∴，

∵，

∴，

∴，

解得．【解析】【分析】（1）由于，则，即过点A作BC的垂线，垂足即为所求作；（2）由于，由相似比得，由于AB、AC均已知，利用勾股定理求出BC即可．（1）解：由，得，故过点A作的垂线，垂足即为所求．如解图，则点D即为所求．（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∴，解得．19．【答案】（1）解：结合条形统计图和扇形统计图可知，B组的人数为100人，所占比例为20%，

∴这次抽样调查的学生总人数为100÷20%=500（人），

答：这次抽样调查的学生总人数为500人.（2）解：由（1）可知，这次抽样调查的学生总人数为500人，

∴D组的人数为500-（50+100+160+40）=150（人），

∴补全频数分布直方图为：

（3）（4）解：样本中，每周锻炼身体的时长不少于5小时所占比例为，∴估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有（人）．答：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有8400人．【解析】【解答】解：（3）由条形统计图可知：C组的人数为160人，由（1）可知这次抽样调查的学生总人数为500人，

∴C组所在扇形的圆心角的度数为．故答案为115.2°.

【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图求出B组人数及其所占百分比可求出这次抽样调查的学生总人数；（2）由（1）可知，这次抽样调查的学生总人数，根据各组人数之和等于样本容量即可求出D组人数，然后补全图形即可；（3）由条形统计图可知C组的人数，进而求出所占比例，用360°乘以C组人数所占比例即可得出答案；（3）先求出样本中每周锻炼身体的时长不少于5小时的人数所占比例，用总人数乘以样本所占比例即可得出答案．（1）解：这次抽样调查的学生总人数．答：这次抽样调查的学生总人数为500．（2）解：D组人数为（人），补全图形如下：．（3）解：C组所在扇形的圆心角的度数为．故答案为．（4）解：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有（人）．答：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有8400人．20．【答案】（1）解：根据题意，得，（2）解：由，得．解得；由，得．解得；由，得．解得．答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．【解析】【分析】（1）根据总费用=两种奖品所需费用之和列出y关于x的函数解析式即可求出答案。

（2）根据（1）中解析式有，，三种情况，分别讨论即可求出答案。21．【答案】解：过O点作，再过和B点分别作，，如图∶

∵米，

∴米，米

又∵

∴，，

而，，

在和中，

，

∴

答：水桶B上升的距离约为米．

【解析】【分析】先过O点作，再过和B点分别作，可构造直角三角形，再根据已知条件即可得出米，米，再分别解和即可求出答案．22．【答案】（1）．（2）证明：如图②，过作交于，过作交于，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴四边形、均为平行四边形，

∴，，

同（1）可得，

又∵，

∴，

∴，

∴．（3）解：由矩形的性质可得，由勾股定理得，

由（2）可知，，即，解得，

∴的长．（4）解：如图④，延长到，过作于，

由（2）可知，，即，解得，

∴在中，由勾股定理得，

由折叠的性质可得，，，，

设：，则，

∴在中，由勾股定理得，

∴，

解得，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

解得，

∴点到直线的距离为．【解析】【解答】解：（1）如图所示，

由题意知，，

又∵，

∴，

∴，

∵在和中，

，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【分析】（1）由正方形的性质结合同角的余角可利用证明，则，即；（2）分别过点A、D作AM//EF、DN//GH分别交BC于M、交AB于N，则由矩形的性质可得四边形AEFM和四边形DHGN都是平行四边形，则有AM=EF、GN=GH，由于，则，借助矩形的性质和同角的余角相等可证明，再由相似比可得结论成立；（3）由折叠的性质得EF垂直平分BD，则由（2）的结论可得，由矩形的性质可得，由勾股定理得，再分别代入计算即可；（4）如图所示，由折叠的性质可得，则由（2）的结论得，即DG可求，再由勾股定理可得AG，又由折叠知EG=ED，则利用勾股定理可求得AE，此时再过点P作AB的垂线段PH，连接BH，由折叠的性质可得、GP=DC，则由矩形的性质结合同角的余角相等可证，由相似比求HP即可．（1）解：由题意知，，又∵，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．（2）证明：如图②，过作交于，过作交于，∵四边形是矩形，∴，，∴四边形、均为平行四边形，∴，，同（1）可得，又∵，∴，∴，∴．（3）解：由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，解得，∴的长．（4）解：如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，∴在中，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设：，则，∴在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴点到直线的距离为．23．【答案】（1）解：取AB中点E，连接CE，如图所示：

∵点A（﹣2，0），点B（8，0），

∴AB=10，

∴EA=EB=AB=5，E为圆心，

∴EC=5，EO=EA-AO=3，

∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2=16，

∴OC=4，C（0，4），

根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），

将C（0，4）代入得：4=a×2×（-8），

∴a=，

∴，

∴ac==﹣1；（2）解：ac的值是定值，定值为﹣1；

理由：如（1）图，取AB中点E，连接CE，

由题意得点A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），E（，0），

∵AB=，

∴EA=EB=AB=，

∵E为AB得中点，

∴E为圆心，

∴EC=EA=，

又∵OE=，

∴在Rt△COE中，OC2=CE2-OE2，

∴OC2=（x2-x1）2-（x2+x1）2=-x2x1，∵x1x2=，

∴c2=-，ac2=-c，

∵c≠0，

∴ac=﹣1；（3）解：∵点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），C（0，4），∴D（6，4），即：CD∥AB，

当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为（m，0），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=，CD=6，BP=8﹣m，

∵CD∥AB，

∴∠BCD=∠ABC，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴m=2，

∴P2（2，0），

或②，

∴，

∴m=﹣，

∴P1（﹣，0），

当点P在y轴上时，如图2，

∵CD∥AB，

∴，

∵，

∴

∴∠ABD=∠BCO，

∵CD∥AB，

∴∠BDC+∠ABC=180°，

∵∠BCO+∠BCy=180°，

∴∠BDC=∠BCy，

设P（0，n），

∵C（0，4），D（6，4），B（8，0），

∴BC=，CD=6，BD=，CP=n﹣4，

∵以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似，

∴①，

∴，

∴n=，

∴P3（0，）

或②，

∴，

∴n=16，

∴P4（0，）

综上所述：满足条件的点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）或（0，）或（0，16）．【解析】【分析】（1）先求出OC的长，即可得出点C的坐