湘教版数学高考试卷及解答参考(2024年)

2024年湘教版数学高考复习试卷(答案在后面)

一、单选题(本大题有8小题，每小题5分，共40分)

1、函数(/(x)=V4x2-3x+2)的定义域为:

A.((-8,。U(1,+oo))

B.([。,1])

C.([0,+8))

D.({x|x20或xW/})

2、已知函数=则该函数在(x=/)处的导数值为：

A、1

B、2

C、3

D、4

3、已知函数Cx)=/-3x+/,则必X)的图像在区间[0,左上的变化情况是:

A.先增后减

B.先减后增

C.始终增

D.始终减

4、已知函数((0=3/-〃+0，则函数在点("/)处的导数值为：

A、2

B、4

C、6

D、8

5、函数(1(x)=14-的定义域是:

A.((-2,a)

B.(卜3,3])

c.a-7,刀)

D.a。,©)

6、已知函数4x)="的定义域为[0,0,则其值域为：

A、[0,0

B、[0,1]

C、[-2©

D>[-1,1]

7、在下列函数中，fix)=x3-3x+2在x=1处取得极小值的是：

A.f(x)=x-3+2x'2-1

B.f(x)=x3-x2-2

C.f(x)=x3-2x*2+1

D.f(x)=x3+x2-2

8、已知函数f(x)=x-2-4x+4,其中a、b是实数，且a>b。若函数g(x)=

f(x+a)+f(x-b)的最小值为2,则a+b的值为：

A.2

B.4

C.6

D.8

二、多选题(本大题有3小题，每小题6分，共18分)

1、已知函数f(x)=axA2+bx+c(aW0)的图象开口向上，且在x=l时取得最小值,则

下列说法正确的是：

A、a>0

B、b二0

C>c>0

D、f(l)是函数的最小值

2、下列各数中，既是正数又是无理数的是()

A、

B、

JI

~2

C、

2+\［3

D、

-3

E、

0.1010010001-

3、已知函数5>)=2x?-4x+5)在区间［1,3］上连续，求以下说法正确的是()

第三题

已知函数/(x)=三卢，定义域为R\{-1,/}。

(1)求函数/(x)的导数f(x)；

(2)求函数/0)在区间广，,同上的极值点；

(3)证明：对于任意x£R,都有4x)+(22

第四题

题目：

已知函数/(x)=3N+4x,求：

(1)函数的极值点：

(2)函数的拐点；

(3)函数的单调区间和凹凸区间。

第五题

已知函数/5)=--3x+/,函数式x)的图象是/*)的图象关于直线y=x的对称

图象。

(1)求函数式x)的解析式；

(2)设直线/的方程为若直线1与曲线Ex)有两个不同的交点，求实

数〃的取值范围。

2024年湘教版数学高考复习试卷及解答参考

一、单选题(本大题有8小题，每小题5分，共40分)

1、函数(/(x)=,4x2一3X+2)的定义域为:

A.((-8,。U(1,+oo))

B.([a/])

C.([〃,+8))

D.(3x2。或xW/))

答案：D

解析：要使函数(穴、)二、4X2-3X+0有意义,根号下的表达式必须非负，即(4/-

3x+2N0)。这是一个二次不等式，可以通过求解对应的二次方程(4/-3x+2=0)找

到不等式的解集。这个二次方程的解为[二匹守)，由于判别式小于0,说明方程没

有实数解，这意味着(4/-3x+2)对于所有实数(x)都是非负的。因此，函数的定义域是

所有实数，即((-8,+8))。选项D正确地表示了这一点。

2、己知函数(/*)=3/-奴+»,则该函数在。=/)处的导数值为：

A、1

B、2

C、3

D、4

答案：B

解析:

首先我们需要求出函数（4切=3/-奴+0的导数（/（约）。根据导数的定义和基

本公式,我们可以计算得到（F（4））,然后代入我=7）来求得（f⑺）的值。

让我们计算（/我））的导数（F（X））,并找出（十二/）时（f（X））的值。函数（4x）=3/-

4x+＜5）的导数为（f（x）=6x-0。因此，在（x=/）处，（/（/）=6（/）-4=0。

所以正确答案是B、2o

3、已知函数ZW=/-3x+，，则/W的图像在区间［0,0上的变化情况是：

A.先增后减

B.先减后增

C.始终增

D.始终减

答案：C

解析:首先，我们求函数（X）=3x+/的导数，得到（x）=3N-3。令F（x）二

0,解得x=/。这表示函数在x=/处有一个临界点。

接下来，我们分析函数（X）在区间［0,4上的单调性。由于尸（、）=3/-3,当1

时，f（x）＜0,函数在区间［。,/）上单调递减；当时，f（x）＞0,函数*x）

在区间（1,2］上单调递增。

因此，函数/lx）在区间［0,0上的变化情况是始终增。所以答案是Co

4、已知函数（/&）=3/-奴+»,则函数在点（、=/）处的导数值为：

A、2

B、4

C、6

D、8

答案：A

解析•：首先我们需要求出给定函数的一阶导数，即对(/CO)求导。然后我们将(x=/)

代入到导数表达式中计算在该点处的导数值。让我们来计算这个过程。给定函数(«x)=

3/-勿+.9的一阶导数为(尸(x)=6x-0。因此，在点(x=/)处的导数值为(/(/)二

6乂1-4=0.

所以正确答案是A、20

5、函数(心)二山一/)的定义域是:

A.(卜20)

B.([-3,3])

c.([-1,/])

D.([0,0)

答案：A

解析：函数(4⑼=V7E)中的根号要求被开方数非负，即(4-320)。解这个

不等式得到：

因此，函数的定义域是闭区间([-20)，所以正确答案是A.([-2，a)。

6、己知函数/(x)=k钟的定义域为则其值域为：

A、[0,0

B、[〃,/]

C、[-20

D、[-1,1]

答案：D

解析:

由题意知函数/")二后卞的定义域为0,即OWxWZ

因为平方根函数F的值域为［0,+8),所以Z0)的值域取决于4-/的取值范围。

当入二。时，4-x2=4,所以/(。二/5二2；

当x=2时，4-W=0,所以/⑶二四二0。

所以(才)的值域为［。,0，即［-/,/］(因为平方根函数是偶函数，即人才)-人-才))。

因此，正确答案是D、卜［,/］。

7、在下列函数中，f(x)=x"3-3x+2在x=1处取得极小值的是：

A.f(x)=x-3+2x*2-1

B.f(x)=x、3-x"2-2

C.f(x)=x3-2x2+1

D.f(x)=x〃3+x"2-2

答案：C

解析：要判断函数在x=1处是否取得极小值，首先求出函数的导数f'(x)。对

于选项C,f(x)=x"3-2x-2+1,其导数为f'(x)=3x"2-4xo将x=1代入导

数中，得到f'(1)=3-4=-lo因为导数在x=1处为负，所以f(x)在x=1处取

得极小值。对于其他选项，可以通过类似的方法判断出它们在x=1处不取得极小值。

8、已知函数f(x)=x^2-4x+4,其中a、b是实数，且a>b。若函数g(x)=

f(x+a)+f(x-b)的最小值为2,则a+b的值为:

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：B

解析•：函数£&)=*.2-4*+4可以写成£6)=&-2尸2,这是一个顶点为⑵

0)的抛物线。函数g(x)=f(x+a)+f(x-b)可以展开为：

g(x)=(x+a-2)*2+(x-b-2)

g(x)=x2+2ax+a2-4x-4a+4+x2-2bx+b2-4x+4b+4

合并同类项得：

g(x)=2x"2+(2a-2b-8)x+a-2+b~2-4a+4b+8

由于g(x)是一个开口向上的抛物线，其最小值发生在对称轴x=-b/2a处。题目

要求g(x)的最小值为2,所以有：

2=2(-b/2a)^2+(2a-2b-8)(-b/2a)+a*2+b、2-4a+4b+8

简化得：

2=2b2〃"2-b(2a-2b-8)/2a+M2+1/2-4a+4b+8

化简后得到：

2-b2/2a2-(t/2-4b+8)/a+a.2+t/2-4a+4b+8

乘以2a消除分母得：

4=b^2-2b-2+8b-16a+2丁3+2b-3-8屋2+8ab+16屋2+16b+16

整理得：

2a^3+2bR-8^2+24b=0

因a>b,可知b：‘项系数为正，所以“3项系数也应为正。因此a和b都必须为正数。

此时,我们注意到/2+b-2-4a+4b+8=2,即：

a2+b2-4a+4b+6=0

这可以写成(a-2厂2+(b-2厂2=0,由于平方和等于0,所以a-2二0和b

2=0,即a=2和b=2。

所以，a+b=2+2=4o答案是B。

二、多选题(本大题有3小题，每小题6分，共18分)

1、已知函数f(x)=axA2+bx+c(aWO)的图象开口向上，且在x=l时取得最小值,则

下列说法正确的是：

A、a>0

B、b二0

C、c>0

D、f(l)是函数的最小值

答案：AD

解析：因为函数f(x)=ax-2+bx+c的图象开口向上，所以a>0(A选项正确)。

在x=l时取得最小值，说明函数在x=l处取得极小值，即导数f'(x)=2ax+b在x=l

时为0,因此b=-2a。又因为a>0,所以b<0,B选项错误。由于f(x)是开口向上

的二次函数，所以c可以是任意实数，C选项错误。而f(l)是函数的最小值，因为当

x=l时，函数的导数f'G)为0,此时函数取得极小值，D选项正确。

2、下列各数中，既是正数又是无理数的是()

A、

B、

2

C、

2+V5

D、

-3

E、

0.1010010001^

答案：A、C、E

解析：本题主要考查无理数的概念。A选项中的

<2

是一个无理数，因为它是开方开不尽的数；C选项中的

2+V3

是无理数，因为它是由一个有理数2和一个无理数

<3

相加得到的；E选项中的数是一个无限不循环小数，也是无理数。而B选项中的

JT

~2

是有理数，因为它可以表示为

22

的近似值；D选项中的

-3

是有理数，因为它可以表示为分数

3

­

o因此，正确答案是A、C、Eo

3、已知函数（4又）=2/-奴+5）在区间［1,3］上连续，求以下说法正确的是（）

A.函数（/U））在区间［1,3］上单调递增

B.函数（/（x））在区间［1,3］上的最大值为（4/））

C.函数（/5））在区间［1,3］上的最小值为（/（3）

D.函数（式力）在区间［1，3］上的对称轴为

答案：AC

解析：

首先,我们求出函数（f（x））的导数（/（x））,得到（r（刈="一9。

当（X=C时,（6（1）=0），说明（x=7）是函数（为才））的驻点。

当（x>C时,（fW>0,函数（/«）单调递增;

当（x<1）时，（/«<0,函数（（才））单调递减。

所以选项A错误，选项B正确。

接下来，我们求函数（/（x））在区间［1,3］上的最大值和最小值。

由于函数（71>））是开口向上的二次函数，其最小值在对称轴（x=/）处取得，即（（/）二

2X/-X1+5=3）.

当（x二劣时，（（为=2X4X2+5=3）。

当（x二J）时，（fp）=2X4X3+5二4。

所以选项C正确，选项D错误。

综上所述，正确答案是AC。

三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）

1、若函数f（x）=/-3x+5的图像在x轴上只有一个交点，则实数Q的值为

答案：a-0

解析：函数心)=--3x+5的导数为F'(x)=3/1-3令尸(X)=。得彳=±/。

因此，函数在x=-1和x二/处取得极值。当x~-1时，/(x)取得极大值/(-7)=(-I)3-

3(-1)+5=7；当，=/时，/X)取得极小值=/-3(/)+5=3。由于函数的图像在

x轴上只有一个交点，故极大值或极小值必须等于0。因此，a二7或日二3。但由题意

可知，函数的图像在x轴上只有一个交点，故。只能取0。

2、在等差数列｛an｝中，若al=3,公差d=2,则第10项an=。

答案：21

解析：等差数列的通顼公式为an=al+(n-l)d0将al=3和d=2代入公式,

得到an=3+(10-1)*2=3+18=2U所以第10项an=21。

3、若函数/«=108式/+/)在区间(-/,/)内单调递增，则实数a的取值范围为

答案：aN0

解析：首先，因为对数函数的定义域是正实数，所以N+/>。，即/>-，，对于任

意实数x都成立，所以x可以取任意实数。

接下来，考虑函数/W=log2(X+/)的单调性。对于对数函数log乂x)，当底数大

于1时，函数是单调递增的。因止匕,要保证/lx)在区间(-/,/)内单调递增，需要保证/+/

在区间(-1,/)内也是单调递增的。

由于N是一个开口向上的抛物线，它在x=0时取得最小值0,在x£(-/,

(。,7)时一是单调递增的。因此，为了使得/+/在区间(-J,/)内单调递增，需要/在区

间(-/,/)内单调递增，即x在区间(-1,/)内可以取任意实数。

接下来，考虑函数/（X）的导数。由链式法则，可得：

,dz9\12x

f（.¥）=—log/^+/）=——r----2x--^——r----.

dxA）（N+/）lnZ（/+1）ln2

要使得F（x）>0,即导数大于0,需要分子2x大于0,分母（7+1）ln2大于0。因为

ln2>0,所以只需保证x>0。

因此，实数a的取值范围为a20。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77）

第一题

已知函数（/5）=Tj-x+sinx）,其中（x£R）°

（1）求函数（々x））的单调区间；

（2）若（/*））在区间（[1,+8））上存在零点，求（/（x））的零点个数。

答案：

（1）首先求（）x））的导数（F«）：

[f（X）=X-J+cosA]

令（虱X）二4w=X-7+cosx）,则（g‘（x）=/-sinx）。

由于（sinx）的值域为（[-[,1]）,因此（g'（x）=/-sinx廿一对所有（x匕R）都成立。

所以（虱x））在（R）上单调递增。

又因为（虱。=。-/+COS。=0,所以当（x>0时,（以»>。；当（x<。时，（g（x）<00

因此，（/（X））在（（-8,。）上单调递减，在（（。,+8））上单调递增。

（2）由于"W）在（U,+8））上存在零点,结合（1）中的结论,（/5））在（"+8））

上单调递增。

又因为（QAj/"-"sinLsin一"0）（因为（sin/）的值略大于（今，

且（lim,L+8/（x）=+8）,所以（/（x））在（[[,+8））上存在唯一的零点。

解析：

（I）通过求导数（尸（功）并分析其单调性，可以确定（/1X））的单调区间。

（2）根据函数的单调性和极限性质，结合零点存在性定理，可以确定（/«）在指

定区间上的零点个数。

第二题

3

题目：已知函数=x-3x+2,求证：对于任意的灯,x2£R,若X,<X2,则（勺）<

武邃）。

证明：

1.首先求出函数/（X）的导数：

f（x）=3*~3.

2.分析导数的符号：

当x<-/时，3N-3〉0,即F（x）>0；

当十二一/时，r0）=0：

当x>-/时，3$-3）0,即/（x）>0。

3.由导数的符号可知，函数/（x）在x=-/处取得极小值，且在和x>-/的

区间上都是单调递增的。

4.因为肛〈港，所以根据函数的单调性，有/（七）〈/（打）。

解析：

本题考查了函数的单调性和导数的应用。首先求出函数的导数，然后分析导数的符

号，判断函数的单调性。由于导数在x=-1处为0,可以确定该点为极小值点，从而得

出函数在任意打《心的情况下，(打)<“打)的结论。这种方法体现了导数在研究函数

性质中的重要作用。

第三题

己知函数式才)="：£；"，定义域为R\{-1,/}。

(1)求函数/(x)的导数/(x);

(2)求函数/(x)在区间［-1,司上的极值点;

(3)证明：对于任意都有A2

答案:

(1)求导数〃O)：

3/+4x

/1)=

x2-1

使用商法则求导:

F，(.r?-Sx2+(---(J一Sx2+4x)(--7)'

f斤7

(3X2-6x+4)(7-1)-(X3-3X2+4x)(2x)

fM=

(/-1/

f(x)=

(x2-!)2

,、-bx2+bx-4

fM=^-iy

(2)求极值点:

令〃(x)=。，解得:

x1-5X2+6x-4=0

这是一个四次方程，可以通过因式分解或使用数值方法求解。假设解为勺M的为,

则/(X)的极值点为X1,x2,x3,x4o

(3)证明不等式：

要证明对于任意xeR,都有式x)+-22。

首先，证明胤x)±Ox

由/(x)的定义可知，分母/-/在xW土/时总是正的。分子可以通

过因式分解为x(x-/)(%-0，显然当x£(-8,7)u(/,0U(2,+8)时，分子非负。

因此，(X)20。

接着，证明’22

X

这个不等式只在x£(-8,。U(0,9时成立。

因此，对于(-8,°u务有Z(x)+/20+2=2。

对于仁，+8),有/0)20且，＜2因此/“)+」20，》；=2。

\Z/XA-2

综上所述，对于任意x£R,都有/(x)+'2N

X

解析：

(1)求导数〃(X)的步骤是使用商法则，先求分子的导数，再求分母的导数，然

后根据商法则的公式进行计算。

(2)求极值点需要解方程f(x)=0,这是一个四次方程，可能需要通过因式分

解或数值方法求解。

(3)证明不等式需要先证明(x)20,然后证明,22(只在特定区间成立)，最

X

后结合这两个结果得出结论。

第四题

题目：

已知函数/（x）=--3/+求：

（1）函数的极值点；

（2）函数的拐点；

（3）函数的单调区间和凹凸区间。

答案：

（1）求极值点：

首先对函数/5）=/-3/+我求导，得到一阶导数：

f（x）=3d-6x+4o

令〃（x）=0,解得：

c6士、36-4-3-4

3d-6x+4=0,X--―;---

2,3

6±436^48

'X6-

6±yFT2

'X6-

O

由于厂72不是实数，说明一阶导数/0）在实数域内没有零点，因此函数4X）

在实数域内没有极值点。

（2）求拐点:

对一阶导数£0）:3/-6犬+4再次求导，得到二阶导数：

〃（x）=6x-60

令严。）=0,解得：

6x-6=0,x=1

为了确定/是否为拐点,我们需要检查L(X)在X=/附近的符号变化。当1

时，F"(X)=6x-6<0；当x>/时，/(X)=6x-6>0。因此，x-/是函数/(x)的拐

点。

拐点的坐标为：

/(/)=I3-3-/+/1=1-3+4=2。

所以拐点为(/,为。

(3)求单调区间和凹凸区间：

由于"(x)在实数域内没有零点，所以函数在整个实数域内是单调的。由于

/(x)在x=/左侧为负，右侧为正，因此x=/是函数的拐点，也