2026年初中数学中考复习专题 正方形问题(含解析)

正方形问题一阶方法突破练1.如图，在正方形网格中有格点A，B，在网格中确定格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形.2.如图，在平面直角坐标系中，A−3.如图，抛物线y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标.设问进阶练例如图，抛物线y=5(1)如图①,连接AB,以AB为边向上作正方形ABCD,求点C的坐标并判断点C是否在抛物线上?(2)将抛物线平移，平移后的抛物线的顶点为P，点Q为平面内一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是面积为5的正方形，求平移后的抛物线解析式；(3)点M是抛物线上一点，点H为平面内一点，连接BM，若点G在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，M，G，H为顶点且BM为边的四边形是正方形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.综合强化练1.创新题·探究性试题已知抛物线L₁:y=x²+2kx+k−2的顶点为M.抛物线L₂:y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点为M感知特例：(1)当k=0k=0时，抛物线.L₁与抛物线L₂的部分自变量及其对应的函数值如下表所示：x-1012y=x²+2kx+k-2-1-2—2y=ax²+bx+c(a≠0)121①抛物线.L₁的解析式为，抛物线L₂的解析式为；②补全表格；形成概念：我们发现(1)中的抛物线L₁上的点和抛物线L₂上的点关于直线y=kx对称，则称抛物线.L₁与抛线物L₂是关于k的反射抛物线.探究问题：(2)若抛物线.L₁与抛线物L₂是关于k的反射抛物线.①当k=1时,M'的坐标为;②在①的基础上，请求出抛物线.L₂的解析式，并在如图的网格中画出抛物线L₂的图象；③点B是抛物线L₁上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L₂于点C，分别作点B，C关于抛物线L₁的对称轴对称的点.B',C',连接BC,作图区答题区2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l:y=kx+b经过点A,C.(1)求直线l的解析式；(2)在第一象限内存在一点D，使得△ACD是以AC为直角边的等腰直角三角形，求点D的坐标；(3)(抛物线旋转后对应的两点)在直线AC左侧有一点M，将抛物线绕点M旋转180°得到新抛物线，其中点A，C的对应点分别是A'M的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2a≠0(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)求△BCD的面积；(3)(抛物线上的动点+任意一点)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点，AI为对角线作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.考向4正方形问题一阶方法突破练1.解:作正方形ACBD和正方形ABC'D'如解图.2.解:存在.如解图，①当AB为正方形的边时(定线段为边)，当M,N在x轴上方时,过点M₁作M₁E⊥y轴于点E,过点N₁作N₁D⊥x轴于点D.∵∠N₁DA=∠BEM₁=∠AOB=90°,∴∠DN₁A+∠N₁AD=90°.∵∠BAO+∠N₁AD=90°,∴∠DN₁A=∠BAO.同理可得.∠M₁BE=∠BAO,∴∠DN₁A=∠M₁BE=∠BAO.又∵N₁A=M₁B=AB,∴△N₁AD≅△BM₁E≅△ABO(依托一线三垂直模型构造全等三角形).∵A(-3,0),B(0,1),∴∴当M，N在x轴下方时，同理可得M②当AB为正方形的对角线时，作M₃G⊥x轴于点G，过点M₃作M₃F⊥y轴于点F.设AG=x,则OG=∵AB=OA2∴∴AM3∴2=解得x1=3∴M3−3+123+12,同理可得N31−33.解：∵抛物线的解析式为y=x²−2x−3,∴B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1,①如解图①，当点M在对称轴上时，过点P作PE垂直直线x=1于点E,过点B作BF⊥EP交EP的延长线于点F,∵∠BPM=90°,∴∠MPE+∠BPF=90°,又∵∠PBF+∠BPF=90°,∴∠MPE=∠PBF,∵BP=MP,∠PBF=∠MPE,∠PFB=∠MEP=90°,∴△PFB≌△MEP,∴PF=ME,BF=PE,设点P(m,m²-2m-3)(0<m<3),则PE=m−1,BF=−m²+2m+3,∴m−1=−m²+2m+3,解得m1∴点P的坐标为1+②如解图②,当点N在对称轴上时,过点P作PF⊥x轴于点F，设对称轴交x轴于点G，∵∠NGB=∠PFB=∠PBN=90°,∴∠GNB+∠NBG=90°,∠PBF+∠NBG=90°.∴∠GNB=∠PBF.∵BN=PB,∴△PBF≌△BNG,∴PF=BG.∵B(3,0),对称轴为直线x=1,∴BG=2,∴PF=2.将y=-2代入.y=x²−2x−3,可得x²−2x−3=−2,解得x1∴点P的坐标为1+综上所述，点P的坐标为1+1721−二阶设问进阶练例解:1∴A(0,1),B(2,0).如解图①，以AB为边向上作正方形ABCD，过点C作CH⊥x轴于点H.∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABO+∠CBH=90°.又∵∠ABO+∠BAO=90°,∴∠BAO=∠CBH.∵∠AOB=∠BHC=90°,∴△ABO≌△BCH(AAS).∴BH=AO=1,CH=BO=2,∴点C的坐标为(3,2);将C(3，2)代入抛物线解析式验证，满足点C在抛物线上；(2)∵OA=1,OB=2,∴AB=5.∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是面积为5的正方形，∴AB为正方形的一条边.分AP⊥AB和BP⊥AB两种情况讨论:①当AP⊥AB时,如解图②,过点P₁作P₁N⊥y轴于点N,∵∠NAP₁+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°,∴∠NAP₁=∠OBA.∵∠ANP₁=∠BOA,AP₁=BA,∴△AP₁N≌△BAO,∴AN=OB=2,P₁N=OA=1,∴P₁(1,3).易得点P₁，P₂关于点A对称，则P₂(-1,-1);②当BP⊥AB时,如解图②,同①可得点P₃的坐标为(3,2),点P₃关于点B对称的点P₄的坐标为(1,-2).综上所述，点P的坐标为(1,3)或(-1,-1)或(3,2)或(1,-2),∴平移后的抛物线解析式为y=56x−12+3或y=56x+12−1(3)存在.∵抛物线y=∴抛物线的对称轴为直线x=如解图③④⑤⑥,过点M作MK⊥直线x=13设Mm56m2①如解图③④,易得△MKG≌△BZM,∴MK=BZ,即m−1310=56m∴②如解图⑤⑥,易得△GMK≌△MBZ,∴MK=BZ,即1310−m=56m2−13综上所述，存在满足题意的点M，其坐标为19+85106+8510或19−85三阶综合强化练1.解:1②-1;-2;(2)①(-1,4);【解法提示】∵L₁:y=x²+2kx+k−2=x+k²−k²+k−2,.顶点..M②∵抛物线L₁与抛线物L₂是关于y=1的反射抛物线，∴由(2)①得抛物线L₂的解析式为y=−x+1③当x=1时,y=1+2k+k-2,即B(1,3k-1),∴C(1,1-k),即BC=|2-4k|;∵抛物线L₁的对称轴为直线x=−∴B'(-2k-1,3k-1),∴BB'=1-2-2kl,∵四边形BB'C'C是正方形,∴BC=BB',即|-2-2k|=|2-4k|,解得k₁=2,k₂=0.2.解:(1)直线l的解析式为y=-3x-3;(2)如解图①,当∠DAC=90°时,过点D作DE⊥x轴于点E,∵A(-1,0),C(0,-3),∴OA=1,OC=3.∵∠DAE+∠CAO=∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠CAO.又∵AD=AC,∠AOC=∠AED=90°,∴△ADE≌△CAO,∴OA=DE=1,OC=AE=3,∴OE=2,∴D(2,1);当∠ACD=90°，此时点D在第四象限不符合题意，∴点D的坐标为(2,1);(3)【思路点拨】构造一线三垂直模型，利用三角形全等即可求得点M的坐标.如解图②,由题意得A',C',过点C'作C'F⊥x轴于点F,∵四边形A'C'AC是正方形,∴AC'=AC,∠C'AC=∠AOC=90°,∴∠C'AF+∠CAO=∠CAO+∠ACO=90°,∴∠C'AF=∠ACO,∴△ACO≌△C'AF,∴AO=C'F=1,AF=CO=3,∴C'(-4,-1).∵点M是CC'的中点,∴M(-2,-2).3.解：(1)抛物线的解析式为y=−25(2)如解图①，设抛物线的对称轴与BC的交点为H.∵B(5,0),C(0,-2),∴直线BC的解析式为y=25由(1)得抛物线对称轴为直线x=3,将x=3代入y=25x−2,∴H∴DH=∴(3)【思路点拨】由题意作以A，M，I，N为顶点的正方形，设出M点坐标构造全等三角形，得对应边相等，列方程求解M点坐标即可.存在.设点M的坐标为x分以下两种情况：①如解图②③，过点M作AM的垂线，交对称轴于点I，过点A作AM的垂线，过点I作MI的垂线，交于点N，过点M作x轴的平行线交对称轴于点H，过点A作y轴的平行线交MH于点G，∵AG⊥MH,∠AMI=90°,∴∠MAG+∠AMG=90°,∠HMI+∠AMG=90°.∴∠MAG=∠HMI.∵AM=MI,∠AGM=∠MHI=90°