2026年初中数学中考复习专题44 反比例函数综合题

第第页微专题44反比例函数综合题1.如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y＝3x（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点C（0，1）（1）求m、n的值和一次函数的表达式；（2）连接AB，求点C到线段AB的距离.第1题图2.如图，已知一次函数y1＝32x－3的图象与反比例函数y2＝kx的图象相交于点A（4，n），与x轴相交于点（1）求n和k的值；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积.第2题图3.如图，点A是第一象限内直线y＝2x上一点，过点A作AB⊥x轴于点B（a，0）（a＞0），将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B的对应点C恰好落在反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象上（1）若AO＝25，求k的值；（2）设直线y＝2x与反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象交于点P，且点P横坐标为m.求证：ma第3题图4.如图，一次函数y＝－12x＋2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，C为AB的中点，双曲线的一支y＝kx（x＞0）过点C，连接OC，将线段OC沿着y轴向上平移至EF，线段EF交y＝kx（x＞0）（1）求该反比例函数的表达式；（2）若DE∶DF＝1∶2，求点D的坐标.第4题图5.如图，Rt△OAB的顶点A的坐标为（2，2），∠ABO＝90°，且点B在x轴上，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点E（2，12）且与AO相交于点D，点C与点O关于点B对称，连接AC，BD，作直线（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）求直线DE的表达式和△BDE的面积.第5题图6.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在y轴和x轴上，点D为AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D的反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象与BC交于点E，连接OD，OE，DE（1）设S△AOD＝S1，S△OEC＝S2，当S1＋S2＝3时，求该反比例函数的表达式；（2）若OA＝6，AB＝8，记S＝S△ODE－S△BDE，求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使得△BDE沿直线DE折叠后点B的对应点B'恰好落在OC边上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.第6题图备用图

1.解：(1)∵点A(1，m)，B(n，1)在反比例函数y＝3x的图象上∴m＝3，n＝3.又∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(1，3)，C(0，1)，∴k＋b∴一次函数的表达式为y＝2x＋1；(2)如解图，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E.∵C(0，1)，B(3，1)，∴BC∥x轴，BC＝3.∵点A(1，3)，B(3，1)，AD⊥BC于点D，∴点D(1，1)，AD＝2，DB＝2.在Rt△ADB中，AB＝AD2＋D又∵S△ABC＝12BC·AD＝12AB·即12×3×2＝12×22·∴CE＝322，即点C到线段AB的距离为第1题解图2.解：(1)把A点坐标代入y1＝32x－3中，得n＝32×4－3＝∴A(4，3)，∵A点在反比例函数图象上，∴k＝3×4＝12；(2)如解图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，连接AC，∵A(4，3)，∴AH＝3，当y1＝0时，得32x－3＝0解得x＝2，∴点B的坐标为(2，0)，∴AB＝(4－2∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝13，AB∥CD，∴S△ABE＝S△ABC＝12BC·AH＝12×13×3＝第2题解图3.(1)解：∵AB⊥x轴于点B(a，0)，点A是直线y＝2x上一点，∴A(a，2a)，∴OB＝a，AB＝2a，在Rt△ABO中，∵AO＝25，AB2＋OB2＝AO2，∴(2a)2＋a2＝(25)2，解得a＝2(负值已舍去)，∴AB＝4，BO＝2，根据旋转的性质，得AC＝AB＝4，∠ACD＝∠ABO＝90°，∴C(6，4)，∵点C在反比例函数y＝kx图象上∴k＝6×4＝24；(2)证明：由旋转可得OB＝CD＝a，由(1)知A(a，2a)，∴AC＝AB＝2a，∴点C的坐标为(3a，2a)，∴k＝2a·3a＝6a2.∵直线y＝2x与反比例函数y＝kx(k≠0，x＞0)的图象交于点P，点P的横坐标为m∴2m＝6a2m，即m由题意得，点P在第一象限内，∴m＞0且a＞0，∴ma＝3∴ma为定值4.解：(1)在一次函数y＝－12x＋2中，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4∴一次函数y＝－12x＋2的图象交x轴于点A(4，0)，交y轴于点B(0，2)∵C为AB的中点，∴点C(2，1)，∵点C(2，1)在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的表达式为y＝2x(2)如解图，连接FC，过点D作x轴的平行线与FC交于点N，与y轴交于点M，由题意可得FC∥y轴，∴△EMD∽△FND，∴MDND＝DEDF＝∴MD＝13MN＝13×2＝即点D的横坐标为23∵点D在反比例函数图象上，∴当x＝23时，y＝223∴点D(23，3)第4题解图5.解：(1)BD∥AC，BD＝12AC.理由如下∵反比例函数y＝kx的图象经过点E(2，12∴k＝2×12＝1∴反比例函数的表达式为y＝1x又∵点A的坐标为(2，2)，∴OA所在直线表达式为y＝x，令y＝1x，解得x＝1或x＝－1(舍去)∴D(1，1)，∴点D为OA的中点，∵点C与点O关于点B对称，∴点B为OC的中点，即BD为△AOC的中位线，∴BD∥AC，BD＝12AC(2)设直线DE的表达式为y＝ax＋b(a≠0)，将D(1，1)，E(2，12)分别代入得a＋b=12∴直线DE的表达式为y＝－12x＋3∵点A的坐标为(2，2)，∠ABO＝90°，点B在x轴上，∴点B的坐标为(2，0)，∴BE＝12∴S△BDE＝12BE×(｜xE｜－｜xD｜)＝12×12×(2－1)6.解：(1)∵点D，E在反比例函数y＝kx(k＞0，x＞0)的图象上∴设D(x1，kx1)，E(x2，kx2)，x1＞0，x2＞0，x2∴S1＝12x1·kx1＝k2，S2＝12x2∵S1＋S2＝3，∴k2＋k2＝∴k＝3，∴反比例函数的表达式为y＝3x(x＞0)(2)由题意得，D(k6，6)，E(8，k8∴S△BDE＝12BD·BE＝12(8－16k)(6－1∴S△ODE＝S矩形OABC－S△AOD－S△COE－S△BDE＝6×8－12k－12k－S△BDE＝48－k－S△∴S＝S△ODE－S△BDE＝48－k－2S△BDE＝48－k－2×12(8－16k)(6－18∴S＝－148k2＋k∵－148＜0∴当k＝－12×(−148)＝24时，S有最大值，最大值为－148×24(3)存在.如解图，过点D作DF⊥OC于点F.由题意得，DF＝AO＝6，DB＝DB'＝8－16k，B'E＝BE＝6－18k，∠DB'E＝∠B＝∠C＝∴∠DB'F＋∠EB'C＝∠EB'C＋∠B'EC＝90°，∴∠DB'