2026人教版八年级数学下册全册教学设计18新版18

人教版八年级下册数学全册教案设计第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念二次根式的概念2.理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想.教学重点二次根式的识别，理解二次根式有意义的条件.教学难点会求二次根式中字母的取值范围.设计意图准备.【知识回顾】1.16的平方根是土4,算术平方根是42.0的平方根是0,算术平方根是0.3.-2有没有平方根?有没有算术平方根?答：-2没有平方根，也没有算术平方根.【教学建议】答，教师提示并总结，引出二次根式的有关知识.活动二：问题引设计意图开不尽的式子引要引导学生说出根.通过第3,4二次根式的概念.阅读教材P2例1上方的部分，回答下列问题：了2.上述四个式子有什么共同特征?答：它们表示一些正数的算术平方根.3.什么样的式子叫做二次根式?答：形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.4.想一想：如果a<0,那么是否为二次根式?答：不是，【对应训练】1.判断下列各式是否为二次根式.【教学建议】学生思考，并完成相应的问题.老师子的特点.【教学建议】学生独立思考并次根号；②被开方数是非负数(正数或0),即a≥0.第2题是二次根式的应用，目的是感知二次根式的产生是实际的需的条件.2.教材P3练习第1题.设计意图解题步骤.阅读教材P2例1及下方思考的部分，回答下列问么?答：依据：二次根式的概念.解题步骤：由x-2≥0,得x≥2.当有意义?解：(1)a≥1;3.若√-x³在实数范围内有意义，则x≤0.【对应训练】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?(3)√4x¹全体实数求二次根式中字母的取值范围的基本依据是什么?【教学建议】考，解决问题，教师统一答案，教师学生对例题中不等式得出的依据是否清楚.范围的一般中a≥0的条件列不③确定字母的取值实数范围内有意义的条件.【教学建议】学生口答，最后教师总结得出结答：①被开方数大于等于零；②分母中有字母设计意图认知.2≤x≤5.2≤x≤5.【对应训练】【教学建议】学生在独立思考的基础上讨论解答，教师适时引导学生观察例题中两系，特别提醒学生注意第(2)小题，可以发现两个二次根式的被开方数互为相反数，则这两个二次根式的值都等于0.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：本节课你学到了哪一类新的式子?二次根式有意义的条件是什么?二次根式与算术平方根有什么关【知识结构】【作业布置】数的2.《创优作业》主体本部分相应课时训练，16.1二次根式节，本节课通过平方根的知识引入二次根式的概念，在解决用式中利用类比归纳的方法形成概念，在不断的实例分析中深化概念.本节课的重难点是二次根式概念的理解，学生容易片面地理解概念，所以要将二次根式和前后的知识点联系起式或分式，但a的值必须是非负数.(3)形如avb(b≥0)的式子也是二次根式，二次根号前面中，哪些是二次根式?哪些不是二次根式?V-32,-(a2+1)2.注意：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号;第二，被开方数是正数或0.本身的限制条件外，还要考虑其实际意义.例2当x取何值时，实数范围内有意义?解：依题意，得2x+3≥0,x+1≠0,问题.例1(1)使式子√-(x-5)²在实数范围内有意义的未知数x有横线横线1个；又m-2≠0,∴m=-2,则解：由a—5≥0,得a≥5,∴4-a<0,∴|4-a|=a—4.∵4—a|+Va-5=a,∴a-4+Na-5=第2课时二次根式的性质二次根式的性质1.了解代数式的概念，领会字母“代”数的思想，能正确书写代数式，程，学会类比的数学观念，掌握二次根式的基本运用.3.利用二次根式的性质进行计算和化简，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯.教学重点二次根式的性质的理解及运用.教学难点会运用二次根式的性质进行化简。【回顾导入】些性质?今天我们来学习【教学建议】让学生讨论，带着疑问进入新课.活动二：问题引设计意图次根式的双重非负性.设计意图归纳总结：二次根式具有双重非负性，即√a≥0(a答：一个数的绝对值：一个数的偶次幂.【对应训练】1.已知实数m,n满足|m+3+√n—1=0,则m=-3,n=1.【教学建议】情况讨论，中间要点出“因为a表示a的以a不可能小于0”来回答活动一的问(2)提醒学生：几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0.比如：若x+y2+|z|【教学建议】学生口答问题1.可以先让学生猜想问题2,然后教师利2.已知(x-2)²+√y+1=0,则xy的值2.观察上述等式，如果a≥0,那么(√a)²等于多少?答：一般地，(√a)²=a(a≥0).3.解答教材P3例2.(第(2)小题利用了(ab)²=a²b²这个结论)设计意图结出a2=|a|.设计意图式的概念.【对应训练】1.教材P4练习第1题.2.计算： (a)2=a(a≥0),指定学生代表解答问题3,教师讲解时注a2b2和(ab)2=a2b2在二次根式计算中的应用，并指出整式的运算性质在实数范围内都适用.【教学建议】学生口答问题1和2,引导学生参照探究点2的过程，借助算术平方根的意义进行归纳总结.学生共同讨论问题3,指定学生代表回答，教师总结出a2=|a|.【教学建议】提醒学生单独的一个数或一个字有等号、不等号的式子不是代数式.解：(1)原式=(一1)²×(√0.5²=1×0.5=0.5;2)原：(这里利用了个结论)归纳总结：若a是非负数，则有这么一个结论：√a²=a(a≥0).2.填空：3.如果a是任意实数，那么如何化简√a²?【对应训练】教材P4练习第2题.阅读教材P4例3和练习之间的内容，回答下列问答：基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方.含等号、不等号的式子不是代数式，因为等号、不等号不是基本运算符号.【对应训练】1.判断下列各式是否为代数式，是的打√,不是的打×.①2.教材P5习题16.1第3(1)题.设计意图的性质的理解.【对应训练】1.若√x²=-x成立，则x满足的条件为(B)A.x≥0B.x≤0C.x>0D.x<02.已知√2n是整数，则正整数n的最小值是2.解：原式=12+π-3-(π-3)=12【教学建议】指定学生代表回答.【对应训练】不要遗漏x=0的情论，问题3中教师可总结：当a<0时，a2=(一a)2.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：今天学习了【知识结构】简单应用y根的性质【作业布置】1.教材P5习题16.1第2,3(2),4,8,9,10题.16.1二次根式第2课时二次根式的性质2.代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、本课时是二次根式的性质，教学时需结合具体的实例，通法来引导学生进行总结，要多让学生之间进行讨论，找出认识的误区，也可以培养他们合作交流的意识.1.代数式的书写格式要注意的事项：(1)表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a×2通常写作2a;(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：通常写作(4)含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y通常写作(5)最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃.2.非负性：几个非负数的和为零，那么每个加数都必为零.故各案力-1注意：在利用非负性解题时，有时要对所给的式子进行代数恒等变形，如用到完全平方例2在实数范围内分解因式：x⁴-9.解析：由实数a,b在数轴上的对应点的位置可得-1<a<0,1<b<2,∴|a+1|=a+1,|b-1|=b-1,|a—b|==a+1-b+1+b-a=2.故答案为2.例2阅读下列解题过程：当2≤a<4时，原式=(a-2)+(4-a)=2,等式恒成立；上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据该方法，解答下列问题：故答案为4,(2)a-1|+Na²-12a+36=|a-1|+(a-6)²=la-1|+la-6|.(3)Va²+2a+1+√(a-3)=(a+1)²+√(a-3)²=la+11+la-3|.题意的a的值：综上所述，a的值为-2或4.时不存在符合第1课时二次根式的乘法会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系.3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识.教学重点会利用积的算术平方根的性质化简，会进行教学难点二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】【教学建议】让学生相互讨问题，调动积极性，活动二：问题引设计意图结出二次根式的乘法法则.1,计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?答：规律：1.被开方数都是正数：2.左边的于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.【教学建议】学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整，学生讨论问题2,教师板书总结，≥0,b≥0)可以推广到多个二次根式的情abe(a≥0,b≥0,c≥0).提醒学生二次根式的乘法可以类比单项式的乘法，如果有系数，就将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘。设计意图平方根的性质.【对应训练】1.教材P7练习第1题.2.下列各等式中成立的是(D)1.a,b的取值有什么特点?积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系?答：a,b都是非负数.积的算术平方根的法则的道用，可以用来化简二次根式，【对应训练】教材P7练习第2题.【教学建议】指定学生代表回≥0,b≥0)可以推广式的情况，例如abe0,c≥0).化简196时提示将196分解为积.提醒学生被开方数4a²b³含4,a²,b²它们被开方后可以移到根号外，是开得尽方的因数或因式.设计意图性质的理解.故菜地的面积为3√14m²,【对应训1.化简结果是(D)2.计算：3.教材P7练习第3题.【教学建议】二次根式相乘的时候就可以考虑因数(式)分解，如由14×7直接可得72×2,而不必先写成98;(2)化简二次根式ab时，先(式),再按公式化简；(3)能开得尽方的一活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题；二次根式的乘法法则是什么?其逆向公式怎么表示?二次根式的乘法运算与化简要注意什么?【知识结构【作业布置】1.教材P10习题16.2第1,5,6,7,12题，2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.16.2二次根式的乘除结，互相讨论，以便让他们理解更深刻.1.化简二次根式初步达到求简意识(1)对被开方数进行因数或因式分解.(2)分解后把能开得尽方的开出来.D-V-x 解析：根据题意，∴x<0,注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误：(-4)×(一9)=2.根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，结合已知条件列不等式组确定字母的取值范围知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为3,最大值为75.方程的根.故n的最大值为75.故答案为3,75.1.理解最简二次根式的概念，并运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式，感知探究除法法则.与商的算术平方根的性质之间的互逆关系.4.利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力.教学重点会利用商的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的除法运算.教学难点二次根式的除法与商的算术平方根的性质的设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而收看到电视节目的区域就越广，电视塔高h(单位：km)与电视节目信号球半径，R=6400km.如果两个电视塔的高分别是h₃km,hzkm,化简这个式子需要学习二次根式的除法，下面我们一起来看看.【教学建议】让学生拓展知识，共同讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调活动二：问题引设计意图除法法则.1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?(1)学生口答问生代表回答规律，教师补充完整.(2)学生讨论问提醒学生这里b>0,因为b=0时分母为0,没有意义.答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的商等于于右边的一个二次根式的被开方数.2.你能用字母表示你发现的规律吗?第2课时二次根式的除法设计意图考，发现商的算术平方根的性质.3.计算：(3)指定学生代表回答问题3,提醒学生不含能开得尽方的因数因式；②如果有系次根式相除，两者的带分数，就先将带分行计算.【教学建议】指定学生代表回答，提醒学生：(1)化简和计算的结果中应不含能开得尽方的因数或因式，分母中也应不含根号：(2)可先将分子与分母中公共的因数为二次根式的商的形式进行化简；(3)根号下是带数再化简.【对应训练】,b>0),(利用它可以进行二次根式的化简)2.化简：和答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质.例如：设计意图引导学生发现总结最简二次根式的特点.(这里令分【教学建议】可先让学生讨回答，教师进行总结，提醒学生根号下是小数时先化为分子、分母同乘一个数，使得分母变成完全平方数)(2)观怎么去掉分母中的根号?答：方法1:(这里先用二次根式的除法法则，再用(1)中方法)方法2:(这里分子、分母同乘一个二次根式，使得分母变成有理数.)【对应训练】2.计算：探究点3最简二次根式观察前面出现过的,这些式子有什么特点?答：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.【对应训练】1.下列各式是最简二次根式的是(A)D2.教材P10练习第2题.设计意图根式的除法法则和商的算术平方根的性质的理解.【教学建议】(1)指定学生代左到右的顺序，可先观察式子特点再决定计算之前是否化简.(2)教师强调二次根式的运算结果应是最简二次根式或整【对应训练】1.计算：2.教材P10练习第3题，3.解答活动一中提出的问题.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的除法法则是什么?其逆向公式怎么表示?什么是最简二次根式?在二次根式的运算你认为应该注意哪些问题?主：计【知识结构】二永积武的峰法法蚓：2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.16.2二次根式的乘除1.二次根式的除法法则；2.商的算术平方根的性质；3.最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母：(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.4.二次根式的运算要求：一般要把最后结果化为最简二次根式或整前两个探究点注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习，对最简二次根式的概念要逐步渗透.强调计算结果要化为最简形式，以规范做题.在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活，应在今后的复习1.最简二次根式(1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母：②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.如：√5²+122不是最简二次根式，因为√5²+12²=√25+144=√169=13;√m²+n²是最简二次根式.①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化的②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号.例1将化为最简二次根式.例解：注意：化简时别犯这种错误：例2若且x+y=5,则x的取值范围是(D)DA.BDA.∵x+y=5,∴y=5-x,则5-x≥-2,解得x≤7.故x的取值范故选D.3.二次根式的除法法则：解： 注意：计算时注意运算顺序，别犯这种错误：例1把二次根中根号外的因式移到根号内解析：由题意得1-x>0,则x-1<0,∴且x为偶数，求的值.时成立，再结合x时成立，再结合x为偶数得到x的值，然后化简式子，最后代入求值解：由题意得16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减二次根式的加减1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式.2.理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算.3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习教学重点二次根式加减法则的理解及应用.教学难点探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】(教材P12问题)现有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm²和【教学建议】让学生相互讨18dm²的正方形木板?活动二：问题引设计意图么?√2,可以利用分配律进行合并.数相同的二次根式，【对应训练】2.下列各组二次根式中，化简后能合并的是(D)【教学建议】提醒学生注意以(1)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成(2)辨别两个二定要先化为最简二次开方数是否相同，若相同则可以合并，若不同则不能合并，设计意图次根式的加减的一般步骤.2.教材P13例1和例2的计算中先做了什么?后做了什么?相同的二次根式进行合并.简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.3.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论?同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类【对应训练】【教学建议】提醒学生在二次根式被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成(假)分数，进而化为最简二次根式；意需要变号的情况，二次根式进行合并.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练。次根式可以合并?二次根式的加减的一般步骤是怎样的?【知识结构】化简合进应用类比整式二次根式的加减的加减【作业布置】1.教材P15习题16.3第1,2,3,5题，2.《创优作业》主体本部分相应课时训练，16.3二次根式的加减1.化简后被开方数相同的二次根式才可以合并.熟练的地方加以巩固.解题大招√2ab²-b⁸+6b²=√b²(2a-b+6)=|b|-√2a-b+6.由题意整理得故a=1,b=1.2.二次根式的加减分析：首先将已知等式变形成两个完全平方式的和的形式，然后结合非负数的性质求出x,y的值.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，最后代入求值.解：∵4x²+y²—4x-6y+10=0,∴4x²—4x+1+y²—6y+9=0,∴(2x-1)²+(y—3)²=3.二次根式的大小比较方法：比较二次根式的大小，通常有平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法等.如：比较3√2和2√3的大小.解：∵(3√2)²=3²×2=18,(2√3)²=22×3=12,又18>12,∴3√2>2√3.又n为正整数，∴√n+2+n+1>n+1+√n,∴n+2-√n+1<√n+1-√n.(5)运用分子有理化法解析：a+b=-8<0,ab=8>0,∴a<0,b<0,把a+b=-8,ab=8代入上式，得注意：本题一定先要根据已知条件判断出a<0,b<0,否则结果会得出正数.例2“比差法”是数学中常用的比较两个数的大小的方法，即：例如：比较√19-2与2的大小.∵√19-2-2=√19-4,又√16<√19<√25,即4<√19<5,请根据上述方法解答以下问题：(1)√29的整数部分是5,7-√29的小数部分是6-√29;(2)比较2-√23与-3的大小；分析：(1)首先估算出5<√29<6,再逐步推算即可；(3)根据“比差法”,得√100+√98-2√99=(√100-√99)-(√99-√98)= b²,化简比较即可求解.解：(1)解析：∵5<√29<6,∴√29的整数部分是5,-6<-√29<-5,.1<7-√29<2.∴7-√29的整数部分是1,小数部分是7-√29-1=6-√29故答案为5,6-√29.第2课时二次根式的混合运算二次根式的混合运算1.正确进行二次根式的混合运算，灵活运用运算律、乘法公式使计算简便，掌握规范的解题过程，体会类比、化归等数学思想，培养学生知识迁移的能力.2.经历观察、推理、类比、交流等数学活动过程，提高数学探究能力和归纳表达能力教学重点二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学难点由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.设计意图导入新课的学习.【情境导入】生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面.如果一个梯形的上、下底算的：梯形的面积：他的做法正确吗?【教学建议】讨论，可以引导学生利用计算器检验是否正确.活动二：问题引设计意图的混合运算.的依据是什么?答：分配律，2.类似地，参考(a+b)÷c=a÷c+b÷e,(a+b)(m+n)=am+bm+abn,计算；【对应训练】计算：【教学建议】指定学生代表解答，引导学生回忆整式乘法中的分配律，类比整式乘法来计算.告诉学生在二次根式的运算中，多项式的乘法法则仍然适设计意图引导学生运用乘法公式进行二次2.类似地，参,计算：【对应训练】计算：解：(1)原式=(√6)²-(√2)²=6-2=4;(2)原式=4²-(√7²=16-7=9;(3)原式=(√a)²—(√b)²=a-b;【教学建议】指定学生代表解答，引导学生回忆乘法公式，告诉学生在二次根式的运算中，乘法公式仍然适用.注意提醒学生将37平方时，要把3和7都平方.设计意图帮助学生准确熟练地进行二次根例2已知a=3+2√2,b=3-2√2,求a²b-ab2的值.【教学建议】次根式的混合运算顺序与有理数相同：先算乘方、最后算加减，如果有括号就先算根式化为最简二次根式再计算(可根据式子特点灵活选择，比如例1(1)中的48和12就没有先化简),最后将结果中的每一项【对应训练】1.计算：②解：原式=2(a²—3)—(a²—6a)+6=2a²—6-a²+6a+6=a²+6a.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.算最后的计算结果有什么要求?【知识结构】运算顺序化简【作业布置】1.教材P15习题16.3第4,6,7,8,9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.16.3二次根式的加减1.二次根式的混合运算：先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的.2.运用乘法公式和运算律进行计算：在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.时查漏补缺.1.化简二次根式初步达到求简意识例1化简二次根式的结果是(D)解析：根据题意，∴x<0,∴ 2.根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，结合已知条件列不等式组确定字母的取值1.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根经检验，x=5符合题意.故x的值为5.(3)原式=√2-1+√3-√2+√4-√3+...+√99-√3.混合运算注意：①在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律，②进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)是非负数(式).例5已知的值，4.二次根式的求值(1)变形后降次或整体求值例6已知x=√5+3.则代数式x³-x²—26x+5的值为一15.+5=(6x-4)(x-1)-26x+5=6x²—10x+4-26x+5=6(6x-4)—36x故答案为一(2)运用乘法公式(a±b)²=a²±2ab+b²求值(2)a²+b²+7ab=(a+b)²+5ab=(2√3)²+5×2=12+10=22.3=7,4×3=12,即(√4)²+(√3)²=7,√4×√3=√12,所以J7+4√3=√7+2√12=(2)进一步研究发现：形如m±2√Dn的化简，只要我们找到两个正数a,b(a(请写出化简过程).=2.例2阅读材料：实数的整数部分与小数部分，由于实数的小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存①对于正实数，如实数9.23,在整数9和10之间，则整数部分为9,小数部分为9.23一②对于负实数，如实数—9.23,在整数—10和—9之间，则整数部分为—10,小数部分为一9.23—(一10)=0.77.依照上述规定解决下列问题：∴p的整数部分为2,小数部分为=√2+1-2=√2-1.∴一p的整数部分为-3,小数部分为n==√2-1-(-3)=2-√2.第十七章勾股定理二次根式的混合运算1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定2.述勾股定理，并能应用它进行简单的计算.3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践教学重点运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算.教学难点“数形结合”思想方法的理解和应用.设计意图生的学习兴趣.【情境导入】【教学建议】简单介绍“赵爽弦图”的背景与组成图被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开过第24届国际数学家大会，如图是该届大会会徽的图案.你见过这个图案吗?它由哪些我们学过的基本图形组成?这个图案有什么特别的意义?活动二：问题引设计意图引导学生探索、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，【教学建议】(1)可提示学生通过数等腰直角三角形的个数得到图①中正面积的数量关系，再引导学生由正方形的面积等于边长的平方得出等腰直角三角形的三边之间的关系；(2)可提示如图①所示.①(1)你能说出图①中正方形A,B,C的面积之间的关系吗?答：正方形A,B的面积之和等于正方形C的面积.(SA+SB=Sc)(2)正方形A,B,C所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系?答：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.边的平方”呢?观察图②,其中每个小方格的面积均为1.(1)请你分别计算出图②中正方形A,B,C,A',B′,C′的面积.答：A的面积=4,B的面积=9,C的面积=13,A'的面积=9,B'的面积=25,C的面积=34.(2)正方形A,B,C的面积之间有什么关系?正方形A’,B',C的面答：A的面积+B的面积=C的面积，A'的面积+积.(SA+SB=Sc,SA+SB=Sc)(3)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎么表述?答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².3.勾股定理的证明阅读教材P23,24,了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为勾股定理，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试，(等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积),再引导学生得到命题；(3)可以让学生拿一张长方设计意图勾股定理的认识.例1请你补全下列证明勾股定理的一种方法.已知：在△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c.求证：a²+b²=c².证明：整个图形可以看作是边长为c的大正方形，它的·面积为c2;也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b-a的小正方形组成，其面积所以可以得到等式：例2在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,∠(1)已知a=3,b=4,求c;(2)已知c=17,b=15,求a;(3)已知c=14,a=6,求b.解：(1)c=√a²+b²=√3²+4²=√25=5.【对应训练】1～2.教材P24练习，3.如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理.提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等.b证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a+b,所以面积相等。所以化简整理得a²+b²=c².【教学建议】(1)告诉学明勾股定理通常一个图形就利用它的两种不同面式：②两个图形积相等列等式.(2)提醒学生牢记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a,b,斜边为c时的情况):【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【知识结构】拼图证明【作业布置】1.教材P28习题17.1第1,3,7,13,14题.17.1勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a²+b²=c².2.勾股定理的证明：“赵爽弦图”“毕达哥拉斯拼图”等.勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果.勾股定理的证明是本节课的难点，究，从而突破这一难点.活动四：随堂训 1.勾股定理的证明方法例1以a,b为直角边，以c为斜积都等于把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A,E,B三点在一条直线∴四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等例2作三个边长分别为a,b,c∵∠FAC=∠BAD=90°,∴∠FAC+∠又AF=AC,AB=AD,∴△FAB≌△CAD(SAS),∴S△FAB=S△CAD.如图，连接AK,CE,同理易证△ABK≌△EBC,∴易得长方形MLEB的面积=b².∵正方形ADEB的面积=长方形ADLM的面积+长方形MLEB的面积，2.利用勾股定理求边长c²—a²,c=√a²+b²,a=√e可求出BC的长.②①②如图②,由勾股定理，得BD=√AB²-AD²=√10²-6²=8,CD=VAC²-AD²=CD-8-2-6.综上所述，BC的长为10或6.故选C.例4已知直角三角形的两边长x,y满足|kx²—4|+√(y-2)²-1=0,①当直角三角形的两边长为2和3时，若两直角边的长分别是2,3,则第三边的长为若3为斜边长，则第三边的长为√3²-2²=√5.②当直角三角形的两边长为2和1时，若两直角边的长分别是2,1,则第三边的长为若2为斜边长，则第三边的长为√2²-1²=√3.注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解.(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明。已知：在△ABC中，∠ACB=90°,例2勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.勾股定理具体内容为；如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么(1)关于勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①②③中任选一种来①②③(2)解答下列各题：①如图④⑤⑥,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正角形，这三个图形中面积关系满足S₁+S₂=S;的有3个.④⑤⑥④⑤⑦并证明.⑧解：(1)在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形即化简得a²+b²=c²;在图⑥中，易案为3.勾股定理的应用1.进一步理解和掌握勾股定理.2.能够利用勾股定理解决简单的实际问题.意识.教学重点运用勾股定理解决实际问题.教学难点勾股定理的灵活应用.设计意图激发学生的学习【情境导入】电视的尺寸是屏幕对角线的长度.元元的妈妈买了一台55英寸(140cm)的液晶电视，元元量电视屏幕后，发现屏幕的长为122cm,宽为68cm.她觉得一定是售货员搞错了，你同意她的想法吗?【教学建议】讨论，引导学生回忆勾股定理的内容，再借助计算器解决这个问活动二：问题引设计意图能力.【教学建议】讨论，引导学生从实际生活的角度多方面考虑，问题的关键条板的宽.教师总考虑木板的长、的对角线.B木板点口网望主通过通放前方成4:木板点口网望主通过下L大兴度，香AC>2.2m,刚司以斜着通过+2²=5.所以AC=√5≈2.24m.例2(教材P25例2)如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?【教学建议】引导学生分析出梯子底端B外移的距离BD需要先计算出度.从题中抽象出Rt△AOB和Rt△COD,分别利用勾股定理求出解：可以看出，BD=0D-OB.在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB²=AB²-0A²=2.6²-2.4²=1,所以0B=√1=1(m).OD²=CD²-0C²=2.6²—(2.4—0.5)²=3.15,所以OD=√3.15≈1.77(m),所以BD=OD-OB=1.7所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m,【对应训练】1～2.教材P26练习.3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m,顶端距靠在右墙上时，顶端距离地面2m,那么小巷的宽度为(C)竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的尺，求竹竿长与门高.解：如图，设门高x尺，则竹竿长(x+1)根据勾股定理可得x²+4²=(x+1)²,即x²+16=x²+2x+1,解得x=7.5.则x+1=8.5.故门高7.5尺，竹竿长8.5尺.4【对应训练】如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶AA处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B处，再由B处跑到C处，已知两只猴子所经过的路程都是15m,求树高AB.解：根据题意，得BD=10m,BD+BC=AD+AC=15m,所以BC=5m.设AD=xm,则AC=(15-x)m,AB=(10+x)m.在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB²+BC²=AC²,即(10+x)²+5²=(15-x)²,解得x=2.所以AB=12m.答：树高AB为12m.【教学建议】引导学生画出草图分析问题，从中抽象出直角三角形模型。提示学生：当已知直角三角形两边的数量关系和第三边的长度时，一般设未知数，再借助勾股定理列方程求活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【知识结构】寻找直角，直接求边长【作业布置】1.教材P28习题17.1第2,4,5,8,9,10,11题.17.1勾股定理第2课时勾股定理的应用1.勾股定理的简单应用2.勾股定理中的方程思想勾股定理的应用(1)利用勾股定理解决图形面积问题即△ABC的面积是84.BCD=120°,求四边形ABCD的面积.解：如图，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E,过点D作DF又AE²+BE²=AB²,CF2+DF解析：由长方形和折叠的性质，可知∠A=∠D=∠F=90°,DE=EF,设AE=FH=x,则AH=DE=AD一AE=BC一AE=6-x,∴BH=AB一AH=CD一AH=10—(6-x)=x+4,CH=CF一FH=10—x.(2)设CE=3x(x>0),则CF=例如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm,P,Q是△ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方B→C→A方向运动，且速度为2cm/s,它们同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之+CQ=12+10=22(cm),∴t=②当CQ=BC时，如图②,则BC+CQ=12第3课时利用勾股定理作图、计算1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明.2.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点.3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并让学生体会勾股定理的应用价值.教学重点利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.教学难点转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活应用.设计意图过的“H”,【回顾导入】【教学建议】师生共同画图，写出已知、求证，引导学生分析；锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C′=90°,AB=A'B',AC=A'C,求证：△ABC≌△A'B'C',根据勾股定理，得BC=√AB²-AC²,B'C′=√A’B²—A’C'2又AB=A'B′,AC=A'C',∴BC=B'C'.活动二：问题引设计意图无理数的点.我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴想，你能画出长为√2的线段吗?怎么画?说答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是√2.定理有a²+b²=c²=13,若a,b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即13=4+9,a²=4,b²=9,则a=2,b=3,所以长为√13的线段是直角边长分别为正整数2和3的直角三角形的斜边长，如图所示.答：①如图，在数轴上找出表示3的点A,②过点A作直线1垂直于OA,在1上取点B,③以原点0为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴【教学建议】讨论，教师给予适当提示.最后总结在数轴上画表示无理数的点(1)利用勾股定理拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便);(2)以原点角边的长画直角三角形，则斜边长即为√3.【对应训练】教材P27练习第1题.轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形：(3)以数轴原点为圆心，以斜边长为半径画弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点).设计意图从不同角度巩固的认识.1.如图，数轴上点A表示的数为1,AB⊥OA,且AB-OA.以原点0为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的负半轴于【教学建议】决此类题需注取的圆心在数轴上表示的数(有时不是0);(2)弧与数轴的交点与圆心的位置关系(有时交点在圆心左侧),活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练，定理证明“HL”吗?你会在数轴上画出表示无理数的点吗?【知识结构】【作业布置】在在数轴上画出表示实数的点勾股定理一应用综合应用1.教材P28习题17.1第6,12题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.17.1勾股定理1.利用勾股定理证明“HL”.2.利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.深对知识的理解和巩固.1.利用勾股定理进行几何作图例1如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1,小正方形的顶点称为格点，在(2)在图②的网格中画出腰DE,DF的长为√10,面积为3的等腰三角形DEF;①②③①②(2)如图②,由√10=√1²+32可以构造一个底边长为6,高为1的等腰三角形DEF.例2在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,点A和直线1的位置如图所示.(1)将点A向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B,请在图①中标出(2)在(1)的条件下，在直线1上确定一点P,使PA+PB的值最小，在图①中保留画图痕(2)如图①,PA+PB=PA'+PB=A'B=√6²+6²=6√2.故答案为6√2.午别内容时间星期一星期二星期三星期四第一节第二节第三节第四节第五节第六节和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，A.20dmB.25dmC.30dmD.35则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长.故选B,蚂蚁例4如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cmB处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为20cm.(杯壁厚度不计)作点A关于PS的对称点A',连接A'B交PS于点C,则蚂蚁从点A爬到点C,再爬到点B,爬行的路程最短，最短路程等于A'B的长，∵PA′=PA=3在Rt△A'OB中，可得A'B=√12²+16故该蚂蚁从外壁A处爬到内壁B处的最短路程为20cm.故答案为20.例5如图，长方体的长、宽、高分别为8cm,4cm,5cm,一只蚂蚊沿着长方体的表解析：把长方体按前面、上面展开如图①,由勾股定理可得AB=√8²+(5+4)²=把长方体按前面、右面展开如图②.由勾股定理可得AB=√(8+4)²+5²=13(cm);=5,DE=1,BD=8,连接AC,CE.设CD=x.①如图①,过点A作AF⊥ED的延长线于点F,连接AE,AC+CE的最小值即为AE的长，易知AF=BD=8,DF=AB=5,∴EF=DF+DE=5+1=6.(3)如图②,作BD=15,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=过点A作AF⊥ED的延长线于点F,可得长方形ABDF,1.理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角2.探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及其关系.4.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律，教学重点勾股定理的逆定理的理解及其应用，教学难点探究勾股定理的逆定理.设计意图学习.【故事导入】【教学建议】引导学生思考，发学习兴趣.可禹治水测量工程时，也用类似方法确定直角，同学们知道古埃及人没有三角板是怎么画直角的吗?打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.你知道为什么吗?今天我们就来学习其中的原因.活动二：问题引设计意图理的逆定理.类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳否得到和古埃及人相同的结果.(1)让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3cm,7cm,12cm处做标记，得到长度分别为3cm,4cm,5cm的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形，答：是直角三角形.(2)类似(1)的操作，以2.5cm,6cm,6.5cm和4cm,7.5cm,8.5cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形，答：是直角三角形.(3)结合上面的操作，想想学过的勾股定理，猜想一个三角形的三边满足什么关系时，这个三角形就是直角三角形?用命题形式表述。答：如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c2,那么这个三角形是直角三角形.(1)回想17.1,其中的命题(如果直角三角形的两条直角边长分别为a,【教学建议】(1)提前让学生准备好三根长于20cm的方的绳子，可以让学生分组合作.(2)引导学生发现直角都是两条较短边所夹的角.(3)让学生讨论，指定学生代表回答猜想的命题，根据情况提示边长的平方关系.使B'C′=a,A'C′=b,∠C′=90°.△ABC与△A'B'C全等吗?可以说明①5,12,13;②1,2,4;③3²,4²,5²;④0.3,0【教学建议】指定学生回答，告诉学生以(1)每一个命题一定有逆命题，而每一个定理不一定有逆定(2)勾股数必须满足两个条为边长的三角形是直角三角形；(3)写出一太明显的命题的逆命题时，可以先将原命题改写成“如果……那么……”的形式来确定题设和结命题.设计意图例2四边形ABCD的各边长如图所示，对角线BD=10,ABCD的面积.解：∵AD=8,AB=6,BD=10,CD=26,BC=24,且∠A=90°,∠DBC=90°.答：四边形ABCD的面积是144.【教学建议】住常见的几组勾股数：3,4,5;快地联想到直角三角形.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题；勾股定理的逆定理是什么?什么是逆命题?什么样的数叫做勾股数?【知识结构】【作业布置】内容内容 证明直角三角形的判定勾股定理互逆命题勾股定理的逆定理-互逆定理1.教材P34习题17.2第1,2,7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练。1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，(1)互逆命题：如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题就叫做互逆命(2)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理，3.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.本节课以古代数学故事导入，让学生动手操作，猜想并验延伸出逆命题、逆定理等概念，过程中要引导学生积极参与.本节课的难点在于勾股定理的逆定理的证明，要适当给予学生提示和引导.本节课涉及的新概念也较多，对有一定难度，要注意把握适度的要求.1.勾股定理的逆定理为三边长的三角形是钝角三角形；为三边长的三角形是直角三角形；为三边长的三角形是锐角三角形，2.勾股数(2)勾股数有无数组，如对于任意两个整数m,n(m>n>0),用含字母的代数式表示勾n²—1,2n,n²+1(n≥2,n为正整数);2n+1,2n²+2n,2n²+2n+1(n为正整数);m²—n²,2mn,m²+n²(m>n,m,n为正整数).(3)如果a,b.c为一组勾股数，那么na,nb,nc(n例如3,4,5是一组勾股数，则6,8,10也是一组勾股数，9,12,15也是一组勾股注意：只满足勾股定理，但不满足都是正整数的三个数不是勾股数.m,n是正整数，且m>n,试判断△ABC是否为直角三角形，小边长的平方和是否等于最大边长的平方就可以了，其关键是确定最大边长.2m²n²+n⁴+4m²n²=m⁴+2m²n²+n⁴,c²=(m²+n²)²=的形状.它的结构特点，得出a,b,c的关系，从而判断三角形的形状.n23458b468·C(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a(2)猜想：以a,b,c为边长的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想；(3)请你观察下列四组勾股数：(3,4,5);(5,12,13);(7,24,25);(9,40,41),分析其中的规律，直接写出第五组勾股数：(11,60,61).解：(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.证明如下：∴最大边长为c.∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理的应用2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.教学重点灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.教学难点割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.设计意图激发学生的学习兴趣.【情境导入】4nmile,根据这些条件能知道小岛B在船C的哪【教学建议】分别表示东、北两个方向.活动二：问题引设计意图例1(教材P33例2)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港□“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30nmile.如果向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?解：根据题意，PQ=16×1.5=24(nmile),PR=12×1.5=18(nmile),QR=30nmile.因为24²+18²=30²,即PQ²+PR²=QR²,因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航【对应训练】教材P33练习第3题.区别逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形. 例2如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AB=10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)求∠ADB的度数；(2)求CD的长.解；(1)∵BD²+AD²=6²+8²=10²=AB²,【教学建议】告诉学生可先根据已知条件再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题.【教学建议】(1)指定学生代表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.∴在Rt△ACD中，CD=√AC²-AD²=√17²—8²=15.【对应训练】如图是一个零件的示意图，量得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm.若∠ABC=90°,求△ACD的面积.∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.已知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度：已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角.注意直角的邻补角也是直设计意图例3如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠【教学建议】角三角形并利用角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中构造出相应的三角形，再利用勾长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”,解：如图，连接AC.∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°.【对应训练】c如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E,F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE,解：如图，连接EF,则AE=√1²+2²=√5,∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°,又AE=EF,活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：不用量角器，怎么检验一个直角是否标准?勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么?【知识结构】勾股定理的逆定理的应用【作业布置】勾股定理及其逆定理的综合应用1.教材P34习题17.2第3,4,5,6题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.1.勾股定理的逆定理的应用.2.勾股定理及其逆定理的区别和联系.本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，实际问题抽象为数学问题.难点在于让学生灵活地综合运用勾股定理及其逆定理，直角”的意识.A.1解析：如图，连接AC,AB,AD,BC,BD,CD,设小正方形的边长为1.由勾股定理得AB²=1²+2²=5,AC²=22+4(2)若此正方形的面积为16,求DF的长.分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF和DE都过点E,说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直.从图中观察EF与DE是垂直的，故设正方形的边长为a,利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE²,EF²,DF²,再利用勾股定理的逆定理判断△DFE是否为直角三角形，再判断EF⊥DE是否成立.(2)∵正方形的面积为16,∴a²=16.例3如图，Mn以西为我国领海，以东为公海，某日上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C以每小时13nmile的速度沿CD方向偷偷向我国领海开来，便立即通知正在Mn线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13nmile,缉私艇B测得A与其距离为5nmile,C与其距离为12nmile,若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海?解：∵AB²+BC²=52+12²=169=13²∴走私艇最早约在10时41分进入我国领海.第十八章平行四边形第1课时平行四边形的概念及边、角的性质平行四边形的概念及边、角的性质1.理解平行四边形的概念及两条平行线之间的距离的概2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，发展学生的合情推理能力，培养学生主动探究的习惯.3.利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，教学重点平行四边形的概念及平行四边形边、角的性质.教学难点如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题.设计意图四边形，进而引【情境导入】仔细观察下列实际生活中的图片，你能从中找到【教学建议】图片思考平行四边形的概念，教师总结并提示平行四边形的概念既是它的一种判定方法，又是它的一个基本性质.行四边形.平行四边形用“口”表示，如图①,平行四边形ABCD记作“[几何语言(以图①为例);②双重1.∵AB//CD,AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形；含义2.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD,AD//BC.动手试一试：如图②,在口ABCD中，EF//BC,则图中共有3个平行四边形，设计意图根据上面的概念画一个□ABCD,用刻度尺度量对边与DA的长，并用量角器度量对角∠A与∠C,∠B与∠D的大小，1.对边AB与CD的长，BC与DA的长分别相等吗?答：AB=CD,BC=DA.设计意图条平行线之间的距离的概念.2.对角∠A与∠C,∠B与∠D的大小分别相等吗?3.平行四边形的对边、对角具有什么性质?下面我们一起来进行验证.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD,BC=DA;∠B=∠D,∠BAD=∠DCB,又AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC≌△CDA.∴AB=CD,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠4=∠2+∠3,即∠BAD=∠DCB.归纳总结：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.例1(教材P42例1)如图，在□ABCD中，DE⊥A分别为E,F.求证：AE=CF.又∠AED=∠CFB=90°,【对应训练】1.教材P43练习第1题.2.如图，在□ABCD中，E,F分别是AB,C【教学建议】以把平行四边形问题转化为三角角形全等证明结【教学建议】(1)让学生间的距离的概念，浅显易懂，并理解两条平行线之间的距离和点到直线的距离本质上都是点与点之间的距离.(2)告诉学生：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.∵E,F分别是AB,CD的中点，利用方格纸画出直线a//b,A,D为直线a上任意两点.1,如图①,过点A,D分别画直线c,d,使c//d,B,C分别是直线c和b,直线d和b的交点，用刻度尺测量点A,B的距离和点D,C的距离，它们相等吗?相等①2.再测量一下点A,D的距离和点B,C的距离，它们相等吗?相等四边形的概念和性质说明其中的道理)3.如图②,分别过A,D两点作直线b的垂线一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.两条平行线中，一离.图②中AB,CD均可表示平行线a,b之间的距离.【对应训练】1.如图，已知11//12,AB//CD,CEII2,FG⊥12,下列说法错误的是2.教材P43练习第2题.设计意图巩固学生对平行四边形的认知.例2如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，以CB,CD为边作□BCDE,DE交AB于点F.(1)若∠A=50°,求∠E的度数；(2)若AD=CD,BC=6,求EF的长.解：(1)在△ABC中，∵∠A=50°,AB=AC,∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E=∠C=65°.(2)∵四边形BCDE是平行四边形，二BE//CD,DE=BC=6,BE=CD,∴∠E=∠ADF,∠EBF=∠A,【教学建议】可提示学生解与的题时，常用到三角形全等的知活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：平行四边形的概念是什么?平行四边形的边、角有哪些性质?两条平行线之间的距离是指什么?【知识结构】简单应用平行四边形的性质：边、角平行四边形全等三角形【作业布置】1.教材P49习题18.1第1,2,7,8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的概念及边、角的性质1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的对边相等：平行四边形的对角相等.3.两条平行线之间的距离.本课时要求掌握平行四边形的概念、表示方法及性质，两条平行线之间的距离的概念及性质，尤其平行四边形的性质是重点，学生要融会贯通，在探索平行四边形的性质及运用性质解决问题的过程中，培养学生独立思考的习惯，感受获学习热情(1)在证明角、线段相等时，应充分利用平行四边形两组对边分别平行、两组对边分别相等、两组对角分别相等以及全等三角形的有关知识，从而得出正确结论.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC,AB=CD,AD=BC,∴∠AEB=∴AB=AE=AF+EF=2.5x.∴AB:B例2如图，已知1,//1₂,点E,F在1上，点G,H在1₂上.求证：△EGO与△面积相等.∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD//AE,BD=AE.(2)解：如图，过点A作AG⊥BC,垂足为G.设AG=x.在RI△AGD中，∵∠ADC=45°,∴易得DG=AG=由勾股定理可得BG-VAB²-AG²-√3x.解得由勾股定理，易得DF=V3x,∴DE=DF—EF=(√3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=由勾股定理，得AB²=AF²+BF²=(2-√3)2x²+x²=(8-4√3)x²,∴CD²=(8-4√3)x².平行四边形对角线的性质2.经历平行四边形性质的探究过程，感悟利用直观度量发现思想进行论证的理性认识之间的关系.3.综合运用平行四边形的性质进行计算和证明，提高学生的推理能力.教学重点平行四边形对角线的性质的理解及应用.教学难点平行四边形性质的灵活应用.设计意图生积极性，引出新课的学习.【故事导入】一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动拥有了一块平行四边形土地.由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按下图分的.老大可是四个孩子看到这个分配方案争论不休，都认为自己分的土地比其他人少.同学们，老人这样分地合理吗?其实是否合理关键要看平行四边形的对角线有什么性质.这节课我们就来探究平行四边形的对角线的性质，【教学建议】让学生共同讨论，思考问