2025~2026学年专题09压轴题专练（3大题型）（陕西专用）中考数学一模试题分类汇编（含答案）

//page12026学年专题09压轴题专练（3大题型）（陕西专用）中考数学一模试题分类汇编一、填空题

1.如图，正六边形与正方形的边长均为，则正六边形与正方形的面积之差为______________．（结果保留根号）

2.如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长______________．（填“大”或“小”）

3.菱形中，，，、分别为、上的点，为边的中点，将沿折叠，点恰好落在点处，则的长为______________________．

4.如图，正方形的边长为，是的中点，，是对角线上的两个动点，且，连接，，则的最小值为____________．

5.如图，在矩形中，点在上，连接，，过点作平分交于点，点是上的动点，过点分别作于点，作于点，过点作且，连接，若，则四边形的周长为____________．

6.如图，直线平分的面积，分别交边于点，直线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，若的面积为，则的长为_________________．

7.如图，在矩形中，，点分别在边上，，连接，点分别在上（点不与点，点重合），连接．若，则四边形的面积为_____________．

8.如图，在中，，的平分线交于点，点在上，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，则的面积为____________．

9.如图，在矩形中，，点、分别为边上的点，过矩形的对称中心，且．若点、分别在边上，且将矩形的面积四等分，则的长为_____________．

10.如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，垂足为，连接，则______________．

11.如图，的对角线、交于点，过点作，交边于点，过点作，垂足为，已知，的面积为，，则的长为___________．

12.如图，矩形中，，，为矩形的对称中心，为上一点，且，则的长为_____________________．

13.如图，在中，为的中点，为上一点，，连接，交于点，连接．若和的面积分别为，，则和的数量关系为____________．

14.如图，在菱形中，，，连接，、分别在边、上，交于点，交于点，若点关于的对称点与点关于的对称点重合于点处，则的长为______________．

15.如图，在菱形中，，对角线相交于点，，是线段上的动点，连接，以线段为一边向下作等边，连接，则长度的最小值为_____________．

16.如图，在菱形中，点分别是的中点，连接若，，则的长为____________．

17.如图，在四边形中，连接，，．已知是边上的一点，连接，过点作于点，且．若，，则的长为___________．

18.如图，菱形的边长为，，点为菱形内一动点，连接，，点为的中点，连接，则的最小值为_____________．

19.如图，在正方形中，，点为边上一点，连接，点在上，以为边作等边，点落在上，为中点，连接，则的最小值为_________________．

20.如图，在矩形中，，点，分别是的中点，连接，点在线段上，若，则的长为____________．

21.如图，在矩形中，，菱形的三个顶点分别在矩形的边上，，连接．当的面积为时，的长为_____________．

二、解答题

22.某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告：活动题目抛物线的课外实践活动活动过程如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直于所在地面，水平方向移动标杆使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离拱门示意图说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为．测量数据，，任务求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离；任务要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不计），求两盏灯的水平距离．

23.陕北部分区域的居民冬天为了便于储存粮食，会在山上开凿土窑洞，这种方式能保护粮食不会冻坏，而且粮食也不会因为热而发芽变质．如图，在山上开凿一个底部宽为米（米）、形状接近于抛物线的窑洞，窑洞顶部到地面的最大高度为米，洞口部分用砖头砌墙保护，正中间安装一个正方形的双开门．若以为原点，为轴建立平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式．（2）若安装的门的上端和窑洞相接，底边在轴上，求门的面积．

24.在现代社会中，眼镜不只是矫正视力的工具，还是一种展示个性和时尚品味的装饰品．如图①中眼镜镜框的下半边可近似看作如图②所示的两条形状大小完全相同的抛物线，点与点在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点与点在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，点在一条直线上，以所在直线为轴，经过的中点且垂直于的直线为轴建立如图②所示的平面直角坐标系，若抛物线满足函数关系式（为常数），且，两条抛物线的最低点到轴的距离相等．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）求两点之间的距离．

25.跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．如图，某运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离（单位：）与他在水平方向上移动的距离（单位：）近似满足函数关系．已知，直线的表达式为，且点．

（1）求满足的函数关系式；（2）该运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，求此时他的水平距离．

26.某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；（2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．

27.西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，．

（1）求点距地面的高度；（2）在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号）

28.操作实验：张华和同学们制作了一个滑轨，该滑轨是抛物线的一部分，现要研究不同物体沿滑轨下滑后的落地点．某物体从点处沿滑轨下滑至点处，再沿滑轨上行至处，从点处飞落至水平地面处．

观察分析：点是抛物线滑轨的最低点，点在水平地面上．物体从处飞出后经过的路径是抛物线的一部分．

模型建立：如图，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线和关于点对称，抛物线的函数表达式为（单位：）．

问题探究：（1）求抛物线的函数表达式；（2）求物体的落地点与滑轨的最低点之间的距离．

29.一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？

30.按要求解决实际问题（1）有一个横断面为抛物线形的拱桥，建立如图所示的平面直角坐标系，当水面宽时，拱桥顶距离水面，当水面下降时，水面宽度是多少米？

（2）如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶直径为，油漆面宽度为，求油漆的最大深度是多少？

31.一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．已知：桥洞的最大高度为米，跨度米，桥洞关于轴对称，且最大高度均为米．

（1）求桥洞所在抛物线的函数表达式；（2）如图所示，现需要在桥洞上安装两盏靠近轴的照明灯，，且照明灯的高度都是米，请计算照明灯的水平距离的长度．

32.近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图中以所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．

（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．

33.眼镜（如图①）是用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．两个眼镜片所在镜框下半部分轮廓可近似看作两个形状相同且对称的两段抛物线．已知镜框最低点距中梁的垂直距离，均为，镜框最低点之间的水平距离为，中梁的宽度为，点，，，，，在同一水平线上，以所在水平方向为轴，过中点且垂直的直线为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知长时间佩戴大镜框可能导致鼻梁或耳朵不适．根据小明的瞳距可知，镜框的跨度（与的间距）在内佩戴较为舒适，那么此副镜框对于小明来说是否合适，请说明理由．

34.如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．

（1）求点的坐标；（2）在抛物线上是否存在一点，使：若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

35.如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线关于轴对称得到抛物线，点的对应点为为抛物线上一点且在轴上方，过点作轴于点，连接．当和相似时，求符合条件的点的坐标．

36.小明的爷爷喜欢养花，小明为爷爷设计了一个如图所示的双层花房保温棚．保温棚正面由抛物线和矩形构成（如图），其中点为抛物线的顶点，保温棚最高处点离地面，宽．现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．

（1）求此抛物线的函数表达式；（2）已知矩形为保温棚的卷帘门，点、均在上，点、均在上，点、关于抛物线的对称轴对称，．使用一段时间后，爷爷说卷帘门的位置有点低，不便于上层植物的放入，小明计划将卷帘门的位置调高至抛物线上，宽度不变，即将卷帘门调整为矩形，点、在抛物线上，求卷帘门调整后增加的高度．

37.在物理实验课上，晓欢和同学们研究小球从斜坡下滑．如图，某一次实验中一小球沿斜坡下滑，经过水平桌面，然后从点处离开桌面（不考虑空气阻力）．小球从点离开桌面到落到水平地面的路径是抛物线的一部分．点在点的正下方且点在水平地面上，以点为坐标原点，水平地面垂直于的直线为轴，为轴建立平面直角坐标系．水平桌面与水平地面平行，桌面与地面之间的距离为，利用频闪照相机观测到小球运动到点处时，到轴的距离与到水平桌面的距离均为，点为图中抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）在小球抛出的正前方有一高为的无盖正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），纸箱左侧到原点的水平距离为，小球最终能否落到纸箱内？请通过计算说明．

38.碧玉妆成一树高，万条垂下绿丝绦．阳春三月，垂柳吐绿，生机盎然，依依垂柳的新芽，形成一道美丽的风景．如图是某公园的一棵垂柳（局部），这棵垂柳中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式（为常数），已知这枝柳条的始端到地面的距离，末端恰好距离水平地面处，且末端到树干（轴）的水平距离为．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，柳条不动）

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）王刚的身高为，他从点出发沿轴正方向走，请计算王刚走了多少米时，头顶恰好碰到这枝柳条？

39.周末，甲乙二人相约在操场进行一场羽毛球的友谊赛，如图，甲站在地面上点处，在点正上方米的点处将球发出，羽毛球的飞行轨迹可近似的看做一条抛物线，当羽毛球水平飞出米远时，距地面的垂直高度为米，此时为整个飞行轨迹的最高点．

（1）若设羽毛球的飞行高度为，距点的水平距离为，建立平面直角坐标系，求羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式；（2）若距点米远的点处立有羽毛球网，球网顶部距地面米，请你通过计算判断此次发球能不能飞过球网．

40.“菜篮子工程”是政府高度重视的民生工程，为了给人民群众提供丰富的蔬菜水果资源，各地都在发展大棚种植，如今我国的大棚（如图）种植技术已十分成熟．王大伯的菜地上有一个长为米的大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高米的墙体处，另一端固定在离地面高米的墙体处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为米．

（1）求大棚的最高处到地面的距离；（2）王大伯想在大棚内种植葡萄，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

41.年月日，谷神星一号运载火箭在酒泉卫星发射中心的成功发射标志着我国在商业航天事业方面的持续进步和突破．王飞同学酷爱航天与科技，他某次在对一架无人机进行试飞时，发现无人机飞行的路线近似呈抛物线形，如图，点为始发点，点为落地点，点为抛物线的最高点．根据数据显示，始发点到地面的竖直高度为米，最高点到始发点的水平距离为米，以所在水平直线为轴，所在竖直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式、为常数，且．

（1）求抛物线的函数关系式；（2）求抛物线的最高点到地面的高度；（3）求无人机落地点到始发点的水平距离．

42.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．

（1）求点，点的坐标；（2）抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式；（3）已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积．

43.年全国室内田径大奖赛（第站）在西安举办，来自全国的运动员们，为观众呈现了一场速度与力量的较量．某学生观赛后深受感触，积极进行跳远训练，其起跳后的腾空路线可近似看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．该学生在某次训练时，从地面上点起跳到落地的过程中，点与地面的距离为，与起跳点的水平距离为．训练时有两种起跳方式：直接从地面点起跳、借助起跳板从点起跳（点在轴上），竖直高度与水平距离之间的函数关系式分别为和．（假设两次跳远轨迹在同一平面内）

（1）当该学生直接从起跳点起跳时，求落地点与起跳点之间的距离；（2）若该学生借助起跳板从点起跳，落地点与轴的距离相比从点起跳落地点与轴的距离增加，求该学生需要借助多高的起跳板可达到要求．

44.素材一：聪聪家的草苺大棚，其横截面可看作由矩形和抛物线（部分）构成，如图所示，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为米，支撑杆米，棚宽米，以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系．

素材二：爸爸想扩大种植规模，计划在原有大棚的左侧再建一个同样大小的大棚，两个大棚共用支撑杆，聪聪帮爸爸画出了如图所示的设计图，所在抛物线与所在抛物线关于轴对称．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）为了加固，现需在地面上的、、、处至大棚棚顶分别加装四根立柱、、、（均与地面垂直），点、在抛物线上，、在抛物线上，点、关于轴的对称点分别为点，，且米，则需要的立柱总长度是多少米？

45.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点为抛物线上一点，点为直线上一点，当以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标．

46.如图是某公园一个抛物线形状的景观竹棚，其截面如图所示，量得米，最高处点与地面的距离为米．现以点为原点，所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系．

（1）求出抛物线的函数表达式；（2）为营造节日气氛，需要临时搭建一个矩形“装饰门”，该“装饰门”关于抛物线对称轴对称，其中、、为三根承重钢支架，、在抛物线上，、在上，已知米，钢支架每米元，问搭建这样一个“装饰门”（不需要钢支架），仅钢支架一项，需要花费多少元？

47.如图，某款抛物线型帐篷底面的宽度为，顶部高度为，以所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式．（2）图为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度为，宽度为．若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放这种椅子的数量．

48.如图，已知拋物线与直线都经过，两点，该拋物线的顶点为．

（1）求此抛物线和直线的表达式；（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

49.悬挂过山车是某游乐场经典项目之一、如图，为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，，分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点在轴上，，两点在轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知在轨道上有两个位置和，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点的坐标为，求点的坐标；（3）现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？

50.问题提出（1）如图①，在中，点在上，，连接，过点作，连接，分别交、于点、，，若的面积为，求的面积；

问题解决（2）如图②，有一个形状为优弧的小路，，所在圆的半径为．现要建一个形状为四边形的花样游乐场，点是上的动点，经过点，．点是的中点，点在上且，连接、交于点，连接，将设置为烟花观赏区，为容纳更多的游客，要求烟花观赏区（即）的面积尽可能的大．请问烟花观赏区（即）的面积是否存在最大值，若存在，请求出的最大面积；若不存在，请说明理由．

51.问题提出

（1）如图，四边形为圆的内接四边形．已知，，则的弧长为________

问题解决（2）如图，工人师傅需要对一块矩形的木板进行加工，已知这块矩形木板的长为米，宽为米．为满足加工需求，要在矩形木板内挖出一个直径为米的圆形部件，并且这个圆形部件在木板内的位置需保证与矩形的两边，相切．在完成挖圆操作后，剩下的木板材料还需要进行二次利用，要求通过一条直线将挖掉圆形部件后的剩余木板面积平分，以便用于制作两个面积相等的小部件．已知该直线交于点，与圆交于点，，且点位于点的左侧，求的长．

52.问题提出（1）如图，中，，，为的外心，连接，求的长；

问题解决（2）如图，某社区广场建有一块边长为米的正方形草坪，管理部门在草坪里修建了两条直道、，其中，、、、、、为六个出入口，过、分别修建与、垂直的小道、，（即，）现准备投资元再建一条小道，已知修建小道的费用为元/米，请通过计算确定投资是否满足要求．（参考数据：，）

53.问题提出

如图，在与中，，，，若，则_______________；

问题解决

如图，市政部门计划修建四边形绿地，要求米，，，，在四边形绿地中修建直道，将绿地分为两个三角形区域，为中点，以为斜边在内部修建一个等腰直角用作放养锦鲤的水池，内部其它区域（阴影部分）种植鲜花，内部铺设草坪作为宠物活动区．

①求鲜花区（阴影部分）的最大面积．

②在①的条件下，计算宠物活动区的占地面积．

54.问题提出

（1）如图，在正方形中，点是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值；

问题解决（2）如图，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．

55.【问题提出】（1）如图，四边形内接于，若，则的度数为_______；

【问题探究】（2）如图，在矩形中，，点在边上，且，连接、，，求的长；

【问题解决】（3）年月日，国家卫生健康委员会相关负责人在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上表示，实施“体重管理年”年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图所示，在四边形中，对角线为一条走廊，在边和走廊上分别取点、，连接交于点，并规划区域为咨询中心，区域为评估中心，其他区域为实训中心．根据设计要求，点到的距离为米，，点、、、在同一个圆的圆周上，评估中心的面积为平方米，请你求出评估中心的周长．

56.【问题提出】

如图①，为的一条弦，连接，若，为上一点，且满足，求劣弧的长；

【问题解决】

在年全国两会政府工作报告中，“好房子”首次被明确提出，标志着中国住房政策从“量”到“质”的转型，并且提出提高得房率的要求．某开发商为满足这一要求，为每套住宅配套了如图②所示的正方形多功能赠送区域．小明家买了一套这样的房子，在装修这个多功能区域时，以为腰向正方形内部作等腰为妈妈留作花房，且，剩下区域留作阳台晾衣区．在花房内部，过点作于点，点是的内心，连接，将分为肥料区，种植区，剩余部分方便活动．若米，连接，在处铺设水管，为减少材料浪费，需要水管尽可能短，求水管的最小值．

57.【问题提出】（1）如图①，在中，，，，点是的内心，则点到边的距离为_______；

【问题探究】（2）如图②，在中，，，，平分．求的长度；

【问题解决】（3）如图③，五边形为某公园的平面图，市政府计划在四边形的外部修建一个三角形广场即，，在的内心处修建喷泉供人们观赏，现需从喷泉处到边上修建一条最短的地下水渠以便抽水．已知，，，．求处到边的最大距离．

58.问题提出

如图，为的内接三角形，已知的半径为，当点在弦所对的优弧上移动时，边的最大值为_______，若，则_______；

问题解决

如图，一块空地由三条线段和一条弧线围成，政府准备将这块空地改建为公园，并在公园内修建四条供市民健身用的步道和，其中步道的两个入口点分别位于边和上，另外两个入口分别为点，经过测量得知所对扇形的半径为千米，千米，千米，且．请问是否存在一种规划方案，使得四条跑道总长度最大？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

59.问题探究（1）如图①，在中，以为直径作，、分别交于点，连接，若，点是的中点，求的长；

问题解决（2）如图②是某生态公园的部分示意图，是一条笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点在上，．点分别是边上的动点，连接，为使游客有更好的观景体验，需沿修建玻璃桥，根据规划要使．为节约成本，要使玻璃桥的长尽可能的小．请问玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥长的最小值；若不存在，请说明理由．

60.如图，是的外接圆，点是外的一点，连接，．求证：；

如图，在一块的规划地上，设计者想让规划面积增大一倍：作法如下：在边上找一个点，点正好在点的正下方，分别作点关于、的对称点、，连接、、，，．则五边形就是增大一倍的图形．设计者想在，之间修一条笔直的小路方便游客赏花．已知米，平方米．请问小路长度的最大值是多少？

61.【问题提出】

如图，在中，，作，垂足为，且，连接，求的面积．

【问题解决】

某市着力打造宜居宜业现代化生态城市，为了呈现出园在城中秀，湖在园中美的迷人画卷，如图所示，现在一处空地上规划一个五边形湖景公园．按设计要求，要在五边形湖景公园内挖个四边形人工湖，使点，分别在边上，且，．已知五边形中，．为满足人工湖的造景需要，想让人工湖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由（结果保留根号）．

62.某数学兴趣小组接到一项任务，需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件，任务具体如下：

【任务一】在如图的矩形板材中，，取边上一点，，请你帮该数学兴趣小组在边上找一点，连接，使得线段平分矩形的面积，则线段的长为_______．

【任务二】在完成任务一后，取线段的中点，点和点是线段上两点，且（在点上方，在点下方），要求兴趣小组在线段上找一点，连接和，使得角度最大，请帮该数学兴趣小组计算，当角度最大时，的值．

【任务三】在任务二的结论下，线段的左侧是否存在点，连接和，使得，且满足四边形的面积最大，若存在，求出四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由．

63.问题提出（1）如图①，在等边三角形中，，点为上一动点，求的最小值；

问题解决（2）如图②，某市计划将四边形修建为一个批发市场，其中为该批发市场的车辆入口，为货物零售区域，现需在边上的点处设置一个快递分类装车点，并修建车道用来运送货物．已知．为节约成本，需将车道修建的尽可能短，则的值是否存在最小值？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

64.【问题探究】（1）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，若三点在同一条直线上，，则的度数是______；

（2）如图，在中，．若分别是的中点，连接，求线段的最大值；

【问题解决】（3）如图，有一条长为米的灌溉水渠，现要规划一个菱形花园，使得，且水渠在菱形花园内，计划在花园内开辟三角形区域种植郁金香，在三角形区域种植牡丹，其他地方种植绿植．根据设计要求，满足，同时过点修建两条观赏小路供游客参观（小路宽度不计）．为了容纳更多的游客，要求两条观赏小路的长度之和尽可能的长，问修建的观赏小路的长度之和是否存在最大值？若存在，求出两条观赏小路的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由．

65.问题提出（1）如图，点为线段上方的动点，连接、，满足，若，则点到的最大距离为_______；（2）如图，在四边形中，连接，，若，求的度数；

问题解决（3）某科技公司现有一块形如四边形的研发基地，其大致示意图如图所示，其中，，．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：为边上的动点（不与端点重合），连接，点关于的对称点为，连接并延长，交延长线于点，连接、，将区域修建成新能源研发区．为保证研发效果，要使研发区（即）的面积尽可能的大，请问的面积是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．

66.【问题探究】（1）如图，点是半径为的上的动点，点为外一点，已知、两点之间的距离为，则、两点之间的距离最小为_______；

（2）如图，的顶点都在上，连接并延长，交于点，．求证：；

【问题解决】（3）年月日，中国某公司向老挝航空公司交付首架飞机，标志着我国商用飞机国际化发展迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图，现有一块形如四边形的新型材料，，，，，以为圆心，为半径画．某科研人员想用这块材料裁出一个型部件，并要求：在上，于点，于点，且的长度尽可能的小，请问的长是否存在最小值？若存在，请求出的最小长度；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析2025-2026学年专题09压轴题专练（3大题型）（陕西专用）中考数学一模试题分类汇编一、填空题1.【答案】【解析】根据正六边形可分成个边长相等的等边三角形，再结合等边三角形的面积，正方形的面积计算即可．

本题考查了正六边形和正方形的面积计算，正确应用正六边形的面积是解题的关键．【解答】正六边形可分成个边长相等的等边三角形，

，

，

，

正六边形与正方形的面积之差为：．

故答案为：．2.【答案】小【解析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可．

本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．【解答】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为，

故

，

由，得，

得，

该六边形的周长一定比原五边形的周长小．

故答案为：小．3.【答案】【解析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，

连接，根据菱形的性质得，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出，接下来设，则，最后根据勾股定理可得答案．【解答】解：连接，

四边形是菱形，，

，

是等边三角形．

点是的中点，

，，

，

即．

根据勾股定理，得．

设，则，

根据勾股定理，得，

即，

解得，

所以．

故答案为：

4.【答案】【解析】本题主要考查最短路线问题．取的中点，连接，，，，根据数量关系确定的最小值为的长度，求出的值即可．【解答】解：如图，取的中点，连接，，

为的中点，

为的中位线，即，且，

正方形的边长为，

，

，

，

，且，即四边形为平行四边形，

，

连接，，根据正方形的对称性可知，，

，

根据两点间线段最短可得，当点，，在同一直线上时，取得最小值，

即此时的最小值为线段的长度，

连接，则在中，

，，

，

故的最小值为，

故答案为：．5.【答案】【解析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等．连接，过点作于点，先根据、平分，证明，推出，再用勾股定理计算出，再根据计算出，再证四边形是平行四边形，即可求解．【解答】解：如图，连接，过点作于点，

在矩形中，，，，

，

平分，

，

，

，

又，，

．

，

，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

四边形的周长为．

故答案为：

6.【答案】【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用平行四边形的性质，证明，得出结合，则，即，，则，再证明，结合相似三角形的对应边的比等于面积比的开方，即可作答．【解答】解：连接交于点，延长交的延长线于点，如图所示：

直线平分的面积，

，，，，

，

，

过点作交的延长线于点，过点作交于点，

四边形是平行四边形，

，

则

，

，

则，

，

，

，

则

．

故答案为：．7.【答案】【解析】如图，连接，，过作于，作于，求解，，设，则，可得，证明四边形是菱形，进一步求解即可．【解答】解：如图，连接，，过作于，作于，

矩形，，

，，，

，

，，

设，则，

，

解得：，

，

四边形是菱形，

，

，

，

，

；

故答案为：8.【答案】【解析】连接、，作于点．由垂直平分可得，结合平分可知四边形是菱形，则，．由菱形的性质及可得，则，则，进而可求面积．【解答】解∶如图，连接、，作于点．

垂直平分，

，

，

平分，

，

，

，

同理可证明，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形，

，

，

．

，，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．9.【答案】【解析】本题考查了矩形的性质，中心对称图形的性质，根据题意求出，根据中心对称的性质可得点为的中点，，由将矩形的面积四等分，得到，即可得到，进而求出，设，则，由即可求解．【解答】解：如图，连接，

在矩形中，，则，

，

，

矩形是中心对称图形，过矩形的对称中心，

，点为的中点，

，

将矩形的面积四等分，

，

点为的中点，

，

，

设，则，

，即，

，

，

故答案为：．10.【答案】【解析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解直角三角形．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、、的长度，再利用勾股定理求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，据此根据正切的定义即可得出答案．【解答】解：四边形为菱形，

，，

，

，，

．

，

，

（负值已舍去），

，

，

，

或（舍去）．

，

，

，，

，

，

。

故答案为：．11.【答案】【解析】本题考查了平行四边形的性质．设，根据平行四边形的性质，得到，再根据三角形的面积公式列式计算即可求解．【解答】解：设，

四边形是平行四边形，

，，，

，，

，

，即，

，

，

，

故答案为：

12.【答案】【解析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，

作，根据矩形得性质及点是矩形的对称中心，可得，，可根据勾股定理求得，再说明，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案．【解答】解：过点作，交于点，

四边形是矩形，点是矩形的对称中心，

，，

．

根据勾股定理，得．

，

，

，

．

，

，

，

即，

解得．

故答案为：．

13.【答案】【解析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．

由得到，从而，根据相似三角形的性质得到，．过点作交于点，连接，因此，，可推出，进而，即可解答．【解答】解：四边形为平行四边形，

，

，，

，

，为的中点，

，

，

，

，

过点作交于点，连接，

，，

，，

，

，

，

．

故答案为：14.【答案】【解析】连接、、、，记与的交点为，与的交点为，如图，易得与均为等边三角形，和分别为和的高，，设，，则，，即，则，进而可得．【解答】解：连接、、、，记与的交点为，与的交点为，连接交于，如图，

在菱形中，，则，，

则，，，

，

，则为等边三角形，

点，点关于的对称，，

为等边三角形，同理均为等边三角形，，

，

设，，

则，同理，

即，则，

．

故答案为：

15.【答案】【解析】连接，根据菱形的性质说明是等边三角形，，再根据“边角边”证明，可得然后说明当时，最小，作，最后根据直角三角形的性质得出答案.【解答】解：如图，连接，

四边形是菱形，

，，，

是等边三角形，，

，即

是等边三角形，

，

，

，

所以点在直线上运动，故当时，最小，

过点作，

在中，，

，

所以长度的最小值是

故答案为：

16.【答案】【解析】解直角三角形求出，进而证明，得，所以，，然后由勾股定理求出，结合点是的中点，即可解决问题．【解答】如图，过点作于点，分别延长，交于点．

则，

，，

，

，

在菱形中，，，

点分别是的中点，

，

，

，

，

，

，

，

在和中

，

，，

，，

，

，

，

，

故答案为：．17.【答案】【解析】结合题意，再根据角平分线的判定可得平分，利用平行线的判定，可推出四边形是平行四边形，即，根据勾股定理可得，设，再利用，代入数值解方程可得，再利用勾股定理可得．【解答】解：，

平分，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

设，

，

，

解得，

，

，

，

故答案为：．18.【答案】【解析】取中点，连接，过作交的延长线于，判定，推出，得到，由含度角的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值．【解答】解：取中点，连接，过作交的延长线于，

，

是中点，

，

四边形是边长为的菱形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

的最小值为．

故答案为：．19.【答案】【解析】连接，由等边，为中点，可得，即，，又由正方形的性质得，所以点、、、四点共圆，所以，所以点当点在上运动，且点落在上，时，点在上运动，且，根据垂线段最短可得当时，最小，利用直角三角形的性质即可求解．【解答】解：正方形，

，

作，如图，

以为边作等边，点落在上，为中点，

当点在上运动时，点在上运动，

当时，最小，

最小值，

故答案为：．20.【答案】【解析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及解直角三角形的计算，利用三角形的面积的关系式求得线段的长度是解题的关键．连接，，过点作于点，利用正方形的性质和勾股定理求得线段，的长度，利用列出等式求得，再利用三角函数求得的长．【解答】解：连接，，过点作于点，如图，

四边形为矩形，、分别是、的中点，

，，．

，，

，

，

．

，，

，

故答案为：．21.【答案】【解析】连接，延长，过作于，如图所示，根据矩形性质、菱形性质，得到相关角及线段的关系，再由两个三角形全等的判定定理得到，结合已知条件确定，当的面积为时，列式求出，从而得到答案．【解答】解：连接，延长，过作于，如图所示：

，

在矩形中，，

，

在矩形中，，则，

在菱形中，，则，

，

在菱形中，，

在和中，

，

，

，

，，

，

当的面积为时，，即，解得，

，

，

故答案为：．二、解答题22.【答案】；【解析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．

由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解；

将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解．【解答】解：任务：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴．

设该抛物线型拱门的函数表达式为、为常数，，

将，代入，得，

解得，

该抛物线型拱门的函数表达式为，

当时，，

该抛物线型拱门的最高点到地面的距离为．

任务：令，得，

解得，，

，

两盏灯的水平距离为．23.【答案】平方米【解析】（1）根据题意得到顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将点代入，运用待定系数法即可求解；（2）设点的坐标为，则点，由对称性可得，，由此列式，即可求解．【解答】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为，

设抛物线的表达式为，

将点代入，得，

解得，

抛物线的表达式为．（2）解：设点的坐标为，则点，

由对称性可得，

，

，

解得（舍去），

米，

门的面积为平方米．24.【答案】【解析】（1）将点代入，运用待定系数法可解，由题意得到，设抛物线的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；（2）将一般式化为顶点式得到点的坐标为，点的坐标为，由两点之间距离的计算方法即可求解．【解答】（1）解：将点代入，

得，

解得，

抛物线的函数表达式为，

根据题意可得抛物线与抛物线关于轴对称，

，

设抛物线的函数表达式为，

，

解得，，

抛物线的函数表达式为．（2）解：抛物线，

点的坐标为，

抛物线，

点的坐标为，

两点之间的距离为．25.【答案】【解析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）根据函数图象的性质，利用顶点式解析式来确定最值即可．【解答】（1）解：将、代入，得：

，

解得：，

所以；（2）解：他与着陆坡竖直方向上的距离为：

，

，

时，他与着陆坡竖直方向上的距离取得最大值，最大值为；

所以，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，此时他的水平距离为．26.【答案】不会喷射到护栏上，见解析【解析】（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；（2）将得出，即可求解．【解答】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，

设该抛物线的函数表达式为，

该抛物线经过原点，

，解得．

该抛物线的函数表达式为（2）水柱不会喷射到护栏上

理由如下：

当时，

，

水柱不会喷射到护栏上27.【答案】点距地面的高度为；两排灯的水平距离最小是米．【解析】（1）先确定点和顶点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，求得的值，从而得到点距地面的高度；（2）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．【解答】（1）解：根据题意得：，顶点，

设抛物线的解析式为，

把代入得，

解得，

该抛物线的函数关系式为，

令，，

点距地面的高度为；（2）解：灯离地面的高度不超过，

令，则，

解得，，

，

如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是米．28.【答案】【解析】（1）根据题意设抛物线的函数表达式为，然后结合顶点坐标确定函数解析式；（2）令，求得，从而可得，然后结合点的坐标为，分析求解．【解答】（1）解：抛物线和关于点对称，

设抛物线的函数表达式为，

抛物线的函数表达式为，点是抛物线滑轨的最低点，

点的坐标为，点的坐标为，

点关于点的对称点的坐标为，

即抛物线的顶点坐标为，

抛物线的函数表达式为；（2）解：由题意可得，令，则，

解得，（舍），

点的坐标为，

，

点的坐标为，

，

．

物体的落地点与滑轨的最低点之间的距离为．29.【答案】，球不能射进球门当时他应该带球向正后方移动米射门【解析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入点坐标求出的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．【解答】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，

设抛物线解析式为，

把点代入，得，

解得，

抛物线的函数表达式为，

当时，，

球不能射进球门；（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，

把点代入得，

解得（舍去），，

当时他应该带球向正后方移动米射门．30.【答案】【解析】（1）根据已知给出的直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．（2）连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．【解答】（1）解：设抛物线的解析式为：，

水面宽时，拱顶离水面，

点在此抛物线上，

，

，

抛物线的解析式为：，

当水面下降时，

即时，，

，

水面的宽度是．

答：水面的宽度是．（2）解：连接，过点作于点，交于点，

，

，

的直径为，

，

在中，，

，

答；油漆的最大深度为．31.【答案】照明灯的水平距离的长度米【解析】（1）设桥洞所在抛物线的函数表达式为，由题意得：，，，再运用待定系数法求函数解析式；（2）先求出函数表达式为，当照明灯的高度都是米时，则，解得：，（舍），由于桥洞关于轴对称，则（米）．【解答】（1）解：设桥洞所在抛物线的函数表达式为，

由题意得：，

，

将,代入

得：，

解得：，

桥洞所在抛物线的函数表达式为：；（2）解：三个桥洞均呈抛物线型且抛物线形状相同，桥洞关于轴对称，且最大高度均为米，

设函数表达式为：，

将代入得：，

解得：，（舍），

函数表达式为：，

当照明灯的高度都是米时，则，

解得：，（舍），

桥洞关于轴对称，

（米），

答：照明灯的水平距离的长度米．32.【答案】把【解析】（1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可；（2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答．【解答】（1）解：帐逢张开时的宽度，顶部高度，

，顶点坐标为．

设抛物线的函数表达式为，

将代入，得，

解得，

抛物线的函数表达式为．（2）解：椅子的高度，宽度，

将代入，

得，

解得，

，

（把），

最多可撰放把椅子．33.【答案】此副眼镜对于小明来说不合适，理由见详解【解析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据点的纵坐标为，代入解析式建立方程，解出值，根据对称性质求出长与适合小明的镜框的跨度作比较即可得到结果．【解答】（1）解：由题意可知，，

设抛物线解析式为，

将坐标代入解析式得：，

解得，

抛物线的解析式为；（2）解：由题意可知，点的纵坐标为，

把代入得：，

，

解得，，

，

由对称性质可知，

，

此副眼镜对于小明来说不合适．34.【答案】，，或或【解析】（1）在解析式中，由，求得的对应值可得点的坐标；由，求得对应的的值可得点、的坐标；（2）根据可得到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，分类讨论得出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，即可求解．【解答】（1）在中，当时，，

点的坐标为．

当时，，解得：，

点的坐标为，点的坐标为；（2）存在点，使，

设直线的解析式为，代入，，

解得：

直线的解析式为

到的距离等于到的距离，设过点且与平行的直线为，

当时，直线的解析式为，代入

解得：

直线的解析式为

联立

解得：或

；

，

当点在上方时，将向左平移个单位时，则过点

直线的解析式为

联立

解得：或

或

综上所述，或或35.【答案】点的坐标是或【解析】（1）由待定系数法求二次函数表达式即可得到答案；（2）先求出关于轴对称得到抛物线，由题意可知，从而由题中和相似，分两种情况分类讨论求解即可得到答案．【解答】（1）解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，

，解得，

抛物线的函数表达式为；（2）解：抛物线关于轴对称得到抛物线，

抛物线的函数表达式为，

，抛物线的对称轴为，

，，

，

，

若和相似，则分两种情况：①；②；

设，则，

当时，

，则，

，则，

解得或（与重合，舍去），

为抛物线上一点且在轴上方，

；

当时，

，则，

，则，

解得或（与重合，舍去），

为抛物线上一点且在轴上方，

；

综上所述，当和相似时，符合条件的点的坐标是或．36.【答案】卷帘门调整后增加的高度为【解析】（1）设拋物线的函数表达式为，再利用待定系数法求解即可；（2）将代入函数解析式，求出的长，再根据题意得，即可求解．【解答】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，点，

故可设拋物线的函数表达式为，

将代入得：，

解得，

抛物线的函数表达式为（或）．（2）解：当时，，

，

由题意知，

，

卷帘门调整后增加的高度为．37.【答案】抛物线的函数表达式为小球最终能落到纸箱内，理由见解析【解析】（1）根据题意得到点为图中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可得到结论；（2）把代入得，解方程得到，由，得到，比较得到，于是得到结论．【解答】（1）解：点为图中抛物线的顶点，

设抛物线的函数表达式为，

把代入得，

，

抛物线的函数表达式为；（2）解：把代入得，

，

解得（负值舍去），

，

，

，

小球最终能落到纸箱内．38.【答案】王刚走了时，头顶恰好碰到这枝柳条【解析】（1）依据题意，得该抛物线经过点和点，进而建立方程组计算可以得解；（2）依据题意，在中，令，从而可得，求出后即可判断得解．【解答】（1）解：由题意知，该抛物线经过点和点，

，

解得，

该抛物线的函数表达式为．（2）在中，令，

．

（不合题意，舍去），．

王刚走了时，头顶恰好碰到这枝柳条．39.【答案】能飞过球网【解析】（1）由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法解答即可求解；

求出时的值，进而比较即可判断求解；

本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数表达式是解题的关键．【解答】（1）解：由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，

设抛物线的表达式为，

把代入得，，

解得，

羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式为；（2）解：当时，米，

，

此次发球能飞过球网．40.【答案】米根【解析】（1）根据题意，得到点，的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；再利用二次函数的性质，求出最值即可；（2）令，求出的值，进而确定可以搭建支架的土地面积，再乘以即可得到答案．【解答】（1）解：由题意知点坐标为，点坐标为，代入，得

解得：，

．

可得当时，有最大值，

大棚最高点到地面的距离为米；（2）解：令，则有

解得，．

，

大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米），

搭建支架部分的土地面积为（平方米）

共需要根竹竿．41.【答案】抛物线的最高点到地面的高度为米无人机落地点到始发点的水平距离为米【解析】（1）首先确定点坐标，进而确定，再根据抛物线的对称轴计算的值，即可获得答案；（2）令，求得的值，即可获得答案；（3）令，求得的值，根据题意即可获得答案．【解答】（1）解：米，

，

将点代入，可得，

最高点到始发点的水平距离为米，

抛物线的对称轴为，即，

，

抛物线的函数关系式为；（2）当时，，

抛物线的最高点到地面的高度为米；（3）令，得，

解得（不合题意，舍去），，

无人机落地点到始发点的水平距离为米．42.【答案】，四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为【解析】（1）当时，，然后求解即可；（2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可；（3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可．【解答】（1）解：抛物线与轴交于点和点

当时，

解得或

，；（2）解：

抛物线的顶点坐标为

抛物线与抛物线关于原点成中心对称

抛物线的二次项系数为，顶点坐标为

抛物线的表达式为；（3）解：如图所示，

当时，

，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称

，，

，，

四边形，是平行四边形

又，

四边形，是菱形

由图可得，菱形的面积大于菱形的面积

菱形的面积．43.【答案】【解析】（1）先根据点的坐标为求出直接从点起跳时的二次函数表达式，再令求出落地点的横坐标，进而得到落地点与起跳点的距离．（2）先求出从点起跳时落地点坐标，再根据条件得到从点起跳时落地点坐标，代入函数表达式求出的值，即起跳板的高度．【解答】（1）解：由题意可知，点的坐标为，

该学生站在点起跳时，与之间的函数关系式为，

将点，代入，

得，

解得，

该学生站在点起跳，与之间的函数关系式为，

当时，，

解得（舍去）或，

当该学生直接从起跳点起跳时，落地点与起跳点之间距离为；（2）解：由题意可知，从点起跳时，落地点与点的水平距离为，

落地点的坐标为，

由知，，

该学生站在起跳板上起跳时，抛物线的表达式为，

将点代入，

得，

解得，

该学生站在起跳板上起跳时，抛物线的表达式为，

当时，，

该学生需要借助高的起跳板可达到要求．44.【答案】需要的立柱总长度是米【解析】（1）由题意设设抛物线的函数表达式为，再利用待定系数法求解解析式即可；（2）求解的函数表达式为，以及，，证明，当时，，可得，从而可得答案．【解答】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，拋物线过点，

可设抛物线的函数表达式为，

将代入，得，解得：，

抛物线的函数表达式为．（2）解：所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，

的函数表达式为，

，

，，

点、关于抛物线的对称轴对称，

点、关于轴的对称点分别为点、，

，

当时，，，

需要的立柱总长度是米．45.【答案】点的坐标为，，，【解析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）画出图形根据平行四边形的性质进行解答即可．【解答】（1）解：，，，

将，，代入得：

，

解得，

该抛物线的函数表达式为；（2）点为抛物线上一点，

设，

点为上一点，

设，

当以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，

，解得或，

点的坐标为，，，．46.【答案】；仅钢支架一项，需要花费元．【解析】（1）根据题意得到顶点坐标为，再利用待定系数法即可得解；（2）先求得点的横坐标为，利用二次函数的性质求得，据此即可得解．【解答】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，

设抛物线的解析式为，

抛物线经过原点，

将代入得，，

解得：，

；（2）解：，四边形是矩形，

，

点的横坐标为，

当时，，

，

三根承重钢支架的长度为，

仅钢支架一项，需要花费元．47.【答案】把【解析】（1）由题意，可得点，，顶点坐标为．

设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可．（2）先将代入，计算出靠近两头的最远的两把椅子的自变量值，计算出安置椅子的有效距离，设最多可放置把椅子，根据题意，应小于等于有效距离，取整数解解答即可．

本题考查了待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值，求不等式的整数解，熟练掌握待定系数法，求不等式的整数解是解题的关键．【解答】（1）解：由题意，可得点，，顶点坐标为．

设抛物线的函数表达式为．

将点代入，得，

解得，

该抛物线的函数表达式为．（2）解：椅子的高度，宽度，

将代入，

得，

解得，，

，

设最多可放置把椅子，根据题意，，

解得，

根据椅子把数是正整数，

最多可摆放把这种椅子．48.【答案】抛物线的表达式为，直线的表达式为存在，点的坐标为或【解析】（1）将，，分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可；（2）分“点在轴的上方”和“点在轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用，的坐标表示出线段，求出的长度，利用平行四边形的对边相等得到，得出方程求解，得出的坐标即可．【解答】（1）解：抛物线经过，两点，，

解得：，

抛物线的表达式为，

直线经过，两点，

，

解得：，

直线的表达式为；（2）解：存在，，

抛物线的顶点的坐标为，

轴，在直线上，

，点的坐标为．

，

情况一：如图，若点在轴的上方，连接，

四边形为平行四边形，，

设，则，

，

，

解得：或（舍去），

，

；

情况二：如图，若点在轴的下方，连接，，，

四边形为平行四边形，，

设，则，

．

，

解得：，

取负值得：，

，

，

综上所述，点的坐标为或．49.【答案】当米时，造价最低，最低造价为元【解析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得米得到点的横坐标为，进而求得，根据二次函数的对称性求解点坐标即可；（3）设，则，，则，，设总长度为米，根据坐标与图形性质得到根据二次函数的性质求得的最小值，进而可求解．【解答】（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为，

将代入，得

，

抛物线的函数表达式为，（2）解：米，点的坐标为

（米），

点的横坐标为，

将代入中，得，

则，

抛物线对称轴为直线，且轨道上的点和到地面的距离相等，

（米），

点坐标为；（3）解：设，则，，

由题意，，，

设总长度为米，

则

，

，，

当时，最短，最短值为，此时，造价最低，最低造价为（元），

答：当米时，造价最低，最低造价为元50.【答案】的面积为．【解析】（1）设，则，，根据平行得出，再根据的面积为求解即可；（2）过点作交的延长线于点，得出，再求的面积最大值即可．【解答】（1）解：设，则，，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

，

的面积为，

的面积为，

的面积为；

过点作交的延长线于点，

设，则，，

，

，，，

，

，

，

，

当的面积最大时，的面积最大．

连接，取的中点为，

，经过点，

是所在圆的直径，点为该圆的圆心，

，，

，

，，

，

，即，

，

，

由题可得的最大值为的直径，即的最大值为，

．

烟花观赏区（即）的面积存在最大值，的最大面积是．51.【答案】【解析】（1）设圆心为，连接和，过点作，则求得，和，进一步可求得，结合垂径定理得，可得，利用弧长公式即可求得答案；（2）连接，交于点，连接，交于点，结合矩形的性质可知直线平分剩余木板面积．过点作于点，作于点．则，，根据题意得．延长交于点，则，那么，四边形为矩形，求得，，和．过点作，交于点，则，．在中，，利用勾股定理求得，证明，则即可．【解答】（1）设圆心为，连接和，过点作，如图，

，四边形为圆的内接四边形．

，解得，

则，，

，

，

，

，

则的弧长为，

故答案为：；（2）如图，连接，交于点，连接，交于点，直线平分剩余木板面积．

过点作于点，作于点．

则，，

圆与，相切，矩形木板内挖出一个直径为米的圆形部件，

．

延长交于点，则，

四边形为矩形，

，，

．

过点作，交于点，

四边形为矩形，

点为的中点，

，

．

在中，，．

，

，

，

，

．52.【答案】投资金额满足要求【解析】（1）连接，则，过点作，垂足为，则，，再根据三角函数求解即可；（2）将绕点顺时针旋转得，则，，,连接，证明得到，取的中点，连接、，根据直角三角形的斜边中线定理可得则米，得到，，，在以为直径的上，推出，即可求解．【解答】（1）解：如图，连接，则，

过点作，垂足为，则，．

；

（2）如图，将绕点顺时针旋转得，则，，,连接．

，

．

，，

，

，

取的中点，连接、，

则米，

，，，在以为直径的上．

，

米，

米，

，

投资金额满足要求．53.【答案】问题提出：；问题解决：①平方米；②平方米．【解析】问题提出：根据题意证明出，得到，进而求解即可；

问题解决：①首先求出，计算出的面积，然后得到鲜花区（阴影部分）的面积，得出当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值，连接，，过点作于点，当取得最大值时，最大，证明出，得到，求出米，然后得出点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点，，三点共线时，取得最大值，进而求解即可．

②首先求出，然后由求出，求出，然后求出，最后；利用宠物活动区的占地面积求解即可．【解答】问题提出：，，

又

，即

；

问题解决：①米，为中点

米，

是等腰直角三角形

米，

的面积（平方米）

鲜花区（阴影部分）的面积

当最大时，鲜花区（阴影部分）的面积取得最大值

如图所示，连接，，过点作于点

米

当取得最大值时，最大

，

是等腰直角三角形

，

为中点，

，即

（米）

点在以点为圆心，为半径的圆上运动

如图所示，当点，，三点共线时，取得最大值

此时（米）

此时（米）

此时（平方米）

鲜花区（阴影部分）的面积最大值为平方米；

②米，米，

（平方米）

，即

（平方米）

为中点，

（平方米）

（米），米，

（米）

（平方米）

宠物活动区的占地面积

（平方米）．54.【答案】

存在；位置见解析；【解析】（1）如图中，取的中点，连接，．求出，．再利用两点之间线段最短解决问题；（2）存在．如图中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点作交于点，点即为所求．过点作的垂线交于点，连接，，过点作于点，则四边形是矩形，解直角三角形求出，，可得结论．【解答】（1）解：如图中，取的中点，连接，．

四边形是正方形，

，．

，，

．

．

，

的最小值为；（2）存在．如图中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点作交于点，点即为所求．

过点作的垂线交于点，连接，，过点作于点，

，

则四边形是矩形．

，

，

，

，

，

，．

是等边三角形，

．

．

，

．

．

，

．

，

．

四边形是平行四边形，．

．

．

，

．

的面积的最小值．55.【答案】米【解析】（1）根据圆内接四边形的性质求出结果即可；（2）过点作于点，作的外接圆，连接，作于点于点，证明，得出，解直角三角形得出，求出，根据勾股定理求出，证明四边形为矩形，求出，根据勾股定理求出，即可；（3）过点作于点，如图，则米，作的外接圆，连接，作于点于点，证明，得出，米．解直角三角形得出，根据勾股定理求出米．证明四边形为矩形，得出米，根据勾股定理求出米，米．【解答】（1）解：四边形内接于，

，

，

；（2）过点作于点，如图四边形为矩形，，

四边形为矩形，，

作的外接圆，连接，作于点于点，如图，

则，

又，

，

，

，

，

即，

，

，

，

四边形为矩形，

，

，

，

，

，

．（3）点在同一个圆的圆周上，

，

即，

过点作于点，如图，则米，

平方米，米，

米，

作的外接圆，连接，作于点于点，如图，

则．

又，

，

米．

，

，

即，

米，

米．

，

四边形为矩形，

米，

米，

米，米，

米，

米，米，

米，米，

的周长为米，

即评估中心的周长为米．56.【答案】；米【解析】过作，垂足为，根据已知得出，进而根据含度角的直角三角形的性质得出，求得半径，再根据弧长公式，即可求解．

根据三角形内心的性质得出，进而证明，得出，作的外接圆，连接，，，设的半径为，的最小值即为．过点作交的延长线于点，然后求得的长，即可求解．【解答】解：如图①，过作，垂足为．

，，

．

，，

．

劣弧的长为

，

．

．

点是的内心，

，分别平分，．

．

．

，，，

．

，

如图②，作的外接圆，连接，，，设的半径为，

则的最小值即为．过点作交的延长线于点．

，

优弧所对的圆心角为．

．

，

．

，

．

四边形是正方形，

，．

又，

．

．

，

．

．

．

．

水管的最小值为米．57.【答案】【解析】（1）连接，，，过点作于点，作于点，作于点，利用内心的性质得出，利用勾股定理逆定理得出，再利用，即可求出；（2）过点作延长线于点，过点作于点，于点，利用含角的直角三角形的性质求出，利用角平分线性质得出，，再利用求出，再利用含角的直角三角形的性质求出；（3）连接，，过点作于点，交于点，先利用角平分线和三角形内角和定理求出，再判定四边形是平行四边形，得出，再利用定角定弦模型构造的外接圆，即可得点的轨迹，则可得出到边的最大距离，再进行计算即可．【解答】（1）如图，连接，，，过点作于点，作于点，作于点，

点是的内心，

点是三条角平分线的交点，

，

，，，

，

，

又，

，

解得：，

故答案为：；（2）如图，过点作延长线于点，过点作于点，于点，

，

，

，

，

，，

，

平分．，，

，，

，

，

解得：，

，

，；（3）如图，连接，，过点作于点，交于点，

点是的内心，

平分，平分，

，，

，

，

，

，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，，

过点作于点，如图，

四边形是矩形，，

，，，

利用“定角定弦，”，则构造的外接圆，如图，连接，，

取弦所对的优弧上任一点，连接，，

，

，

过点作于点，延长交于点，

，，

，

，，

点是固定点，为固定长，

点的轨迹为以点为圆心，为半径长的圆，

过点作于点，

四边形是矩形，

，

由图可知，且当在点时，取最大值，

，

当在点时，取最大值，

的最大值为，

即到边的最大距离为．

58.【答案】，；存在，最大值为千米【解析】当为的直径时，取最大值，连接，过点作于，利用三角函数可得，进而由等腰三角形的性质即可求解；

设所在圆的圆心为，连接，连接并延长，交于点，在上取点，使得，连接，取的中点，连接，证明四边形是的内接四边形，得出，进而即可求解．【解答】解：点在弦所对的优弧上移动，

当为的直径时，取最大值，

的半径为，

边的最大值为，

连接，过点作于，则，

，，

，

在中，，

，

，

故答案为：，；

解：存在，最大值为千米，理由如下：

如图，设所在圆的圆心为，连接，连接并延长，交于点，在上取点，使得，连接，取的中点，连接，

则千米，

千米，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

,

，，

千米，

，

，

，，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

点在上，

四边形是的内接四边形，

，，

，

是等边三角形，

，，

，，，

，

，

，

当是直径时，取最大值，最大值为，

四边形周长，

四边形的周长最大值千米，

即四条跑道总长度最大值为千米．59.【答案】玻璃桥的长度存在最小值，玻璃桥长的最小值是【解析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，由点是的中点，得到，得到，根据等腰三角形得到，根据勾股定理得到；（2）根据三角形的外角的性质得到，，三角形的内角和定理，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，，推出点，，，四点共圆，如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点，根据圆周角定理得到是直径，根据圆周角定理勾股，求得，则，得到，要使得最小，即最小，而是直径，，当时，取得最小值，此时最小，得到是等腰直角三角形，于是得到玻璃桥长的最小值为．【解答】（1）解：如图，连接，

为直径，

，，

点是的中点，

，

，

，，

，

，

，

，

；（2），，

，，

，

，

过作于，如下图，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

点，，，四点共圆，

如图②，设圆心为点，半径为，连接，，连接，过点作于点，

，

是直径，

，

，

又，则，

，则，

，

要使得最小，即最小，而是直径，，

当时，取得最小值，此时最小，

此时是等腰直角三角形，

，

，

，

，

故玻璃桥长的最小值为．60.【答案】见解析，米【解析】本题考查了三角形外角性质，勾股定理，圆周角的定理以及对称性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是利用相关性质进行角度转化和线段关系推导．

连接，利用三角形外角性质和同弧所对圆周角相等来证明角度大小关系；

先根据三角形面积公式求出的长度，再利用米，根据当最大时，最大，通过计算求得小路长度的最大值．【解答】证明：如图，连接

，

，

，

；

解：平方米，且米，

米，

由对称性可知是等腰三角形，米，

当最大时，最大，

此时，，

点轨迹在平行于的直线上，距距离米，

最大时是与直线相切，以为弦的圆的弦切角，

当为等腰三角形时，最大，

此时米，米，

，，，

，

过点作于点，

，米，米，

最大为米．

61.【答案】；存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖，四边形的面积最大值为【解析】如图所示，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，证明，得到，再由三线合一定理得到，则．

先由勾股定理得到，求出；如图所示，作的外接圆，过点作于，过点作于，延长交于，连接，根据，可得当最大时，最大，再由，得到当点与点重合时，有最大值，最大值为；由垂径定理可得垂直平分，则，，证明是等边三角形，求出，则，即可得到最大；如图所示，延长交于，则四边形是矩形，可得，；设，则，证明，得到，在中，由勾股定理得，解得或（舍去），则，，；如图所示，连接，由勾股定理得，则，证明三点共线，由勾股定理得，证明，得到点在矩形内部，即可得到存在符合设计要求的画积最大的四边形人工湖，四边形的面积最大值为．【解答】