2026年初等数论期末考试易错题型题库及答案详解

2026年初等数论期末考试易错题型题库及答案详解

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若整数a满足a≡5(mod7)且a≡3(mod11)，则a在0～100内最小正整数解为A.38B.61C.83D.942.设p为素数，则模p的原根个数为A.p−1B.φ(p−1)C.pD.φ(p)3.若n>1且2n+1为素数，则n必为A.偶数B.奇数C.素数D.2的幂4.同余式x²≡−1(mod17)的解的个数为A.0B.1C.2D.45.若a,b为正整数且gcd(a,b)=1，则gcd(a²+b²,a−b)的所有可能值为A.1B.2C.1或2D.1或56.设p≡3(mod4)为素数，则−1是模p的A.二次剩余B.二次非剩余C.0D.无法判定7.若n=3×5×7，则欧拉函数φ(n)等于A.48B.64C.80D.968.设p为素数，则模p²的原根个数为A.p−1B.p(p−1)C.φ(p²)D.φ(p−1)9.若a≡b(modm)且d|m，则A.a≡b(modd)B.a≡b(modd²)C.a≡b+1(modd)D.无法确定10.若n>2且2n−1为素数，则n必为A.偶数B.奇数C.素数D.2的幂二、填空题（每题2分，共20分）11.满足x²≡1(mod24)且在1≤x≤24内的解共有________个。12.若p=13，则模p的最小正原根为________。13.若a=2026，则a在模100下的逆元为________。14.若n=2⁴×3²×5，则φ(n)=________。15.若p为素数且p≡1(mod4)，则(−1/p)=________。16.若a≡7(mod9)且a≡4(mod5)，则a在0～100内最大解为________。17.若x²≡2(mod17)有解，则(2/17)=________。18.若gcd(a,m)=1且ord_m(a)=12，则a⁶≡________(modm)。19.若n=2k+1且n|2ⁿ+1，则k最小正整数为________。20.若p=17，则模p的所有二次剩余之和为________。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.若a≡b(modm)，则a²≡b²(modm²)。22.若p为素数，则模p必有原根。23.若n为合数，则2n−1必为合数。24.若a≡0(modp)，则a不存在模p的逆元。25.若p≡3(mod4)，则x²≡−1(modp)无解。26.若gcd(a,b)=1，则gcd(a+b,a−b)≤2。27.若n>2，则φ(n)必为偶数。28.若p为素数，则φ(p²)=p²−p。29.若a为模m原根，则a²也是模m原根。30.若n=2k+1且n|2ⁿ−1，则n必为素数。四、简答题（每题5分，共20分）31.叙述中国剩余定理并给出唯一性说明。32.证明：若p为奇素数，则模p的二次剩余恰有(p−1)/2个。33.说明原根与指数的关系，并给出模25的一个原根。34.解释欧拉函数φ(n)的积性性质并举例验证。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论：为何p≡1(mod4)时−1才是模p二次剩余，结合勒让德符号说明。36.讨论：若n为卡迈克尔数，则对任意与n互素的a都有aⁿ⁻¹≡1(modn)，其构造思路如何。37.讨论：利用原根如何快速求解高次同余xᵈ≡a(modp)，并给出算法步骤。38.讨论：为何RSA指数e必须与φ(n)互素，若e与φ(n)不互素会出现何种风险。答案与解析一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.C6.B7.A8.B9.A10.D二、填空题11.812.213.2614.32015.116.9417.118.−119.120.68三、判断题21×22√23×24√25√26√27√28√29×30×四、简答题（每题约200字）31.中国剩余定理：设m₁,…,m_k两两互素，则对任意整数a₁,…,a_k，同余组x≡a_i(modm_i)有唯一解模M=∏m_i。唯一性由模M的完全剩余系保证。32.考虑乘法群F_p^，其阶为p−1。平方映射x↦x²为二倍同态，核{±1}，故像即二次剩余子群阶为(p−1)/2。33.原根g生成整个乘法群，任意a≡g^k(modm)，k称为指数。模25原根需阶φ(25)=20，经检验g=2满足。34.若gcd(m,n)=1，则φ(mn)=φ(m)φ(n)。例φ(3)=2，φ(5)=4，φ(15)=8=2×4。五、讨论题（每题约200字）35.由欧拉判别法(−1/p)=(−1)^{(p−1)/2}，仅当(p−1)/2为偶数即p≡1(mod4)时值为1，故−1成二次剩余。36.卡迈克尔数无平方因子且对任意素因子p有p−1|n−1，由Korselt准则保证aⁿ⁻¹≡1(modn)恒成立，构造时选多个满足p−1|n−1的素数乘积。37.取原根g，将x≡g^y，a≡g^c(modp)，则dy≡c(mo