课时2数学归纳法的应用课件-高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列1.5课时2数学归纳法的应用

注意：数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，②式成立”为条件，得出“当n=k

+1时，②式也成立”的命题，证明时必须使用上上述条件！练一练

1：用数学归纳法证明1+2+3+⋯+4n=8n2+2n(n∈N*)，则当n=k+1时，等式左端应在n=k的基础上加上（）A.4k+1B.8(k+1)2

+2(k+1)

C.4(k+1)D.(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)提示：当n=k(k∈N*)时，左侧=1+2+3+⋯+4k；当n=k+1时，左侧=1+2+3+⋯+4k+⋯+

4(k

+1)；故左端应在n=k

的基础上加上的项为(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4).D例2：已知数列{an}满足a1=0，2an+1–anan+1=1，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.

“归纳——猜想——证明”的一般步骤：计算归纳猜想证明根据条件，准确计算前若干项（归纳、猜想的基础）通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论对一般结论用数学归纳法进行证明（两步骤缺一不可）例3：设x

为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n–1，…的前n

项和为Sn，试比较

Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.解法1：由已知可得Sn=1+(1+x)

+(1+x)2+···+(1+x)n–1.当n=2时，S2

=1+(1+x)

=

2+x；由x>0，可得S2

=2+x

>2；当n=3时，S3

=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2；由x>0，可得S3

>3；由此，猜想：当x∈R*，n∈N*且n>1时，Sn>n；已知：x∈R*，n∈N*且n>1，数列1，1+x，(1+x)2，…，(1+x)n–1，…的前n

项和为Sn；猜想：Sn>

n.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立；（2）假设当n=k(k∈N*，且k

≥2)时，不等式成立，即

Sk>k；所以当n=k+1时，不等式也成立；由x>0，可得1+x>1，所以(1+x)k

>1；于是Sk+1=Sk

+(1+x)k>k

+(1+x)k

>k+1，即Sk+1>k+1

由（1）（2）可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立.解法2：由已知可得所给数列是等比数列，公比为1+x，

由此，猜想：当x>0，n∈N*，且n>1时，Sn>n；试着用不同的解法，比较

Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

猜想：Sn>

n.（1）当n=2时，由上述过程知，不等式成立；

所以当n=k+1时，不等式也成立；由

x>0，可得(1+x)k

>xk+1；又x

>0，所以Sk+1>k+1，

由（1）（2）可知，不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立.

3练一练3：观察下列两个数列{an}，{bn}：数列{an}：1，4，9，16，25，36，49，64，81，···；数列{bn}：2，4，8，16，32，64，128，256，512，···.猜想从第几项起an

小于bn，并证明你的结论.解：通过观察，猜想：从第5

项起an

<

bn，即n2<2n(n∈N*，n

≥5).（1）当n

=5时，有52<25，命题成立；（2）假设当n

=k

(k∈N*，k

≥5)时，命题成立，即有k2

<2k；则当n=k+1时，(k+1)2

=

k2+2k+1<k2+2k+k=k2+3k<

k2+k2=

2k2<2×2k=

2k+1；

即当n=k+1时，命题也成立；由（1）（2）可知，不等式n2

<2n对任何大于4的正整数n都成立.1.运用数学归纳法解题时一定要“用上假设，递推才真”；2.灵活运用