2026年江苏扬州市高三一模高考数学试卷试题（答案详解）

扬州市2026届高三第一次调研测试注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.32B.16C.83.展开式中的常数项为()A.20B.-205.用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是()7.已知函数f(x)=cos3x-cos2x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x,x₂(x₁<x₂),则cosx₁cosx₂的值为()8.已知双曲的右焦点为F,过点F且斜率为k(k≠0)的直线1交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D.若|AB|≥√3DF|,则双曲线的离心率取值范围是()二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一组数据x₁,x₂,x₃,…,x₁o满足x,-x;₋1=2(2≤i≤10),若去掉x₁,x₁₀后组成一组新数据.则新数据与原数据相比()A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小10.在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为1,D为BC的中点，则()A.AD⊥DC₁D.三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球表面积为11.已知logb>0(a>0且a≠1),若b<a,且ae<be“(e为自然对数的底数),则()A.lnb<a-1B.(a+1)ln(b+1)>(b+1)In(aC.ba-¹>ab-1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆柱I₁与圆锥T₂的高的比为√3,底面半径的比为,若圆锥I₂的体积为1,则试卷第2页，共4页13.已知抛物线x²=2y上距离点A(0,a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是— .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12345App在线用户数y(单位：万)17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+2bcosC=0.(3)若b=2,当角A最大时，求VABC的面积18.已知函数的一个极值点是x=2.(2)求出f(x)的单调区间；(3)设a>0,g(x)=a²eˣ⁻²,若存在x,x₂∈[0,3],使成立，求实数a的取值范围.19.过双曲线1(a>0,b>0)上一点A(-1,0)作两渐近线的垂线，垂足为D、E,且(2)过点B(m,0)(m>a)的直线与双曲线右支交于P、Q两点，连接AP、AQ,直线x=n(m>n)(i)若m=2,求n的值；(ii)求n的最小值.试卷第4页，共4页【分析】先求出集合B,再结合交集、子集的定义，即可求解.【详解】由B={x|log₂(x-1)≤2}={x|1<x≤5},则A∩B={2,3,4},元素个数为3个，则集合A∩B的子集个数为2³=8个；故选：C【详解】若复数z满足(1-i)z=3-2i,故复数z的虚部为【分析】将给定式子变形，再结合二项式定理求解作答.则展开式的通项公式由6-2r=0解得r=3,所以展开式中的常数项为T₄=(-1)³C6=-20.故选：B【分析】由条件，根据数量积定义求,再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论.【详解】因为e,e₂是夹角为120°的两个单位向量，所以e²=e₂²=1,设θ为a,b的夹角，故选：A.答案第1页，共18页【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率.【详解】将3个偶数排成一排有A³种，再将3个奇数分两种情况插空有2A种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有2A³A³=72种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有A²A²=4种；2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2,在2的两侧选一个位置放1,最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有C₂C₂C₂A²=16种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数.【分析】令导函数为0可得方程，由极值点为方程的根可得a₂+a₇,再由等差数列性质可得.【详解】由令f'(x)=0,得x²-3x+1=0,且x=0不是该方程的根.易知判别式大于0,a₂+a₇=3,因为{a,}为等差数列，所以a₄+a₅=3.结合两角和差的余弦公式化简，进而可求得x₁,x₂,再根据二倍角的正弦公式化简可得.答案第2页，共18页答案第3页，共18页【点睛】关键点点睛：根据和差角公式得,是解决本题的关键.【分析】根据题意利用韦达定理求|AB|以及【详解】设双曲线的右焦点为F(c,0),A(x,y₁),B(x₂,y₂),则直线l:y=k(x-c),则可设线段AB的中点M(x,y%),则答案第4页，共18页且k≠0,线段AB的中垂线的斜率为则线段AB的中垂线所在直线方程为即整理得2a≥√3c,则注意到双曲线的离心率e>1,∴双曲线的离心率取值范围是故选：A.【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把b用a,c代换，求e的值(或范围).【详解】由题意可知，原数据x₁,x₂,,x₁0是公差为2的等差数列，设x₁=a,则x;=a+2(i-1),去掉x₁,x₁0后，新数据为x₂,x₃……,x,共8个数.选项A:原极差：x₁₀-x₁=(a+18)-a=18,选项B:原平均数：新平均数：平均数不变，B错误；选项C:原平均数和新平均数均为a+9,选项D:原数据共10个：10×25%=2.5,向上取整得第25百分位数为第3个数x₃=a+4新数据共8个：8×25%=2,第25百分位数为第2、3个数的平均百分位数变大，D错误.【分析】对于A,由条件分别证明CC₁IAD,AD⊥BC,由线线垂直证明AD⊥平面BCC₁B₁,再由线面垂直的性质即可证得；对于B,假设BC₁⊥平面AB₁C,由此推出BC₁^AC,结合条件证得AC⊥平面BCC₁B₁,由此得到AC⊥BC,产生矛盾，排除B;对于C,结合锥体体积公式推由此可求体积，排除C;设O为△A₁B₁C₁的外心，O₂为VABC的外心，0为0O₂的中点，说明0为三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球球心，求出外接球的半径，即得外接球的表面积【详解】对于A,因为多面体ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，则CC₁⊥平面ABC,因ADc平面ABC,故CC₁⊥AD,又因正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为1,D为BC的中点，则AD⊥BC,因CC₁∩BC=C,CC₁,BCc平面BCC₁B₁,故AD⊥平面BCC₁B,对于B,假设BC₁⊥平面AB₁C,ACc平面AB₁C,则BC₁^AC,又AC⊥CC₁,CC₁∩BC₁=C₁,CC₁,BC₁C答案第5页，共18页这与VABC为等边三角形矛盾，故B错误；故三棱锥D-AB₁A的体积等于三棱锥D-ABB₁的体积，,BB₁=1,对于D,设O₁为△A₁B₁C₁的外心，O₂为VABC的外心，0为O₁O₂的中点，则O₁O₂与两底面垂直，因O₁A₁=O₁B₁=O₁C₁,O₂A=O₂B=O₂C,故OA=OB=OC=OA₁=OB₁=OC₁,即O为三棱柱ABC-A₁B₁C₁外即外接球的半径故ABC-A₁B₁C₁外接球表面,D正确.,即可判断B;利用导数说明函数的单调性，得到即可判断C;,x∈(1,+∞),利用导数说明函数的单即可判断D.答案第6页，共18页答案第7页，共18页又aeᵗ<be“,因a,b同正，两边同除以ab可得又a>b>1,所以,则答案第8页，共18页所以,即loga+1a>log,+1b,故D【分析】设圆柱I₁的高为H,底面半径为R,则其体积V₁=πR²H,设圆锥T₂的高为h,底的体积为1,得到圆柱I的体积.【详解】设圆柱I₁的高为H,底面半径为R,则其体积V₁=πR²H,设圆锥T₂的高为h,底面半径为r,则其体积所以答案为：【分析】设P(x,y)为抛物线x²=2y上任意一点，则|PAl=√[y-(a-1)²+2a-1,根据二次函数的性质求解即可.【详解】设P(x,y)为抛物线x²=2y上任意一点，所以对称轴a-1>-1,又由于y≥0,且|PA|最小时，y=0,所以-1<a-1≤0,所以0<a≤1.当n=2时，x∈(0,2),可得[x]=0或1,x[x]=0或x,{x[x]}=0或1或2,即a₂=3,当n=3时，x∈(0,3),可得[x]=0或1或2,x[x]=0或x或2x,{x[x]}=0或1或2或4或5或6,即a₃=6,所以a=a<₋+k(k-1)-(k-1)²+1=a<₋₁+时，成立，则,则②答案第9页，共18页答案第10页，共18页(2)利用线面角求出线段的长度，建立坐标系，求出法向量可求二面角【详解】(1)解法一：取线段OB的中点N,连接MN,PN.因此四边形PCBN是平行四边形，所以PN//CB.因为AN=3NB,AM=3MD,所以MN//BD.所以平面PMN//平面CDB,所以四边形PCEM是平行四边形，所以PM//CE,因为平面PAB⊥平面ABD,平面PAB∩平面ABD=答案第11页，共18页所以∠DPF就是直线PD与平面PAB所成的角，所以∠DPF=30°,所以DF=PDsin30°=√3.则A(2,0,0),P(0,0,2√2),B(-2,0,0),D(-1,√3,0),设平面APD的法向量为n₁=(x,y,z),则得取x=√2,可得n=(√2,√6,1).设平面PDB的法向量为n2=(x₂,y₂,z₂),则XP【详解】(1)由题意，由|r接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系.则故X的分布列为：XP答案第12页，共18页答案第13页，共18页【分析】(1)由正弦定理结合sinA=sin(B+C)得到sinCcosB+3sinBcosC=0,推导出(2)方法1:由三角形的面积可得3asinB=c,结合正弦定理和三角恒等变换可得,结合(1)可求B;方法2:同方法1可得3sinAsinB=sinC,结合(1)sinA=-2sinBcosC,可得tanC=-3tanB,进而可得tanC=-6sin²B,结合(1)可得-,可求B;(3)方法一：由余弦定理可得,可得,利用基本不等式可求A的最大值，进而可求SABC;方法二：结合(1)可得,结合基本不等式求出A的最大值，进而可求【详解】(1)∵a+2bcosC=0,由正弦定理可得：sinA+2sinBcosC=0,两边同时除以cosBcosC,可得：tanC+3tanB=0.(2)方法1:,则3asinB=c,结合正弦定理得，3sinAsinB=sinC,,即tan²B-2tanB+1=0,解得tanB=1,又B∈(0,π),所以方法2:同方法1可得3sinAsinB=sinC,由(1)可得sinA=-2sinBcosC,所以-6sinBcosCsinB=sinC,(3)方法1:∵a+2bcosC=0,∴方法2:由(1)知tanC+3tanB=0,则tanC=-3tanB,【分析】(1)求出f'(x),利用极值点是x=2,得到f'(2)=0,从而求出b=a≠-2;【详解】(1)因为答案第14页，共18页答案第15页，共18页所以f'(2)=0,即b=a;当a=-2时，函数f(x)在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意.所以b=a≠-2.(2)由(1)可知a≠-2.①当a<-2时，令f'(x)=0x20+0②当a>-2时，令f'(x)=0得x=2或x=-a,列表如下：x20+0满足x=2是函数f(x)的极值点.(3)由(1)(2)知，所以f(x)在[0,3]上的最大值为,最小值为f(0)=-a答案第16页，共18页又当a>0时，函数g(x)=a²eˣ-²在[0,所以g(x)在[0,3]上的最大值为g