陕西榆林市2026届高三模拟预测数学试题（含解析）

2026年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试(五)本试卷共150分考试时间120分钟注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z=1−iaA.-1B.0C.1D.22.若全集U={1,2A.⌀B.{C.{2,3.如图所示，每个小菱形的边长均为1,向量a与b的夹角为π4,则A.−B.2C.2D.44.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,cA.1B.3C.4D.65.甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下:两人同时从自己的袋子中随机取出一个球，若取出的球同色,则甲获胜,反之则乙获胜.已知甲的袋子中有3个黑球和3个红球,乙的袋子中有3个黑球和2个红球,则乙获胜的概率为A.15B.C.25D.6.如图所示,在正三棱柱ABC−A1B1C1中,BC=CC1=2,D,E分别为线段BBA.2B.1C.1D.27.将双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0绕原点O逆时针旋转3π8A.1B.2C.6D.28.已知函数fx的定义域为Z,若fx+y=fxfA.0B.1C.10D.20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，点Mx0,y0在抛物线C上,若A.x0=C.OM=63D.点F到直线OM10.已知直线y=1与函数fx=tanωx+π6ω>A.ωB.函数fx的定义域为C.点5π12,0是函数D.函数fx与函数gx=13x11.一封闭圆锥容器(容器厚度忽略不计)的轴截面是边长为10的等边三角形,一个半径为3的小球在该容器内自由运动,则A.该圆锥的侧面积为50πB.小球的球心到圆锥顶点的距离的最小值为2C.小球在圆锥内部移动时,球心之间的最大距离为4D.小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为20π题序1234567891011答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数fx=f−x13.已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，n14.若∀x∈R,4cos3x+2cos2x−1−15.(13分)某果树种植基地为了调研A品种橘子树的结果情况,随机采摘了100个橘子,称重后得到的数据分成六组,分别为[40,50),[(1)估算样本的中位数;(2)已知[60,70)上的平均重量是65克,方差是6,[70,80)上的平均重量为16.(15分)如图所示，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E(1)求点B1到平面A1(2)求二面角A−E17.(15分)已知等差数列an的前n项和为Sn.且(1)求an(2)求数列1S2的前n(3)证明:1S18.(17分)在平面直角坐标系中,已知点A0,1,B0,−1直线AP与BP(1)求动点P的轨迹方程；(2)直线l1:x−2y+1=0与动点P的轨迹交于C(3)若动点P的轨迹为闭合曲线，点T2,0，动点P的轨迹上存在不关于x轴对称的两点M,N、使得∠MTN恰好被x19.(17分)已知函数fx(1)讨论函数fx在区间1,+∞(2)设函数gx=fx+exx+a−1ln(i)求实数a的取值范围;(ii)证明:x22026年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试(五)参考答案1.A因为(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i为纯虚数，所以a+2.C因为∁UN={2,3.B由图可知,c=−2a+2b,4.B由于tanC=24,且C∈设△ABC外接圆的半径为R因为c=2,所以2R=csin5.D总事件数为6×5=30，乙获胜的事件数是则乙获胜的概率是15306.C如图所示,取AC的中点G,连接BG,∵E为线段A1∴BG∴EG⊥平面ABC,∵AC⊂∵BG∩EG=G∴AC⊥平面B1BGE,∵∵BF⊥AD,∴BF∵三棱柱ABC−A1B1C∴∠BDGB如图所示,易知直线A1A2的倾斜角为则直线A1A2的斜率则直线A1A2:y=2+1则a2由题意可知,函数fx图象的另一条渐近线为直线x过点A1,A2分别作直线A1A2的垂线分别交直线bab8.A令x=y=0,则f0=0,令令y=1,则fx+1=f−x+令y=−1,则fx−1=fxf2+f故fx+2=f−x=−fx,则fx+4=−fx+9.BC由抛物线的定义，得MF=x。+3=9，所以x0=因为点Mx0,y0在抛物线C上，所以y02=OM=x设点F到直线OM的距离为d，则OF×y0=OM×d，故10.BCD因为x1−x2=π2,所以数学卷参考答案(五)第2页(共8页)因为fx=tan2x+π6，所以2x+π6≠kπ+π2，k令2x+π6=kπ2,k∈Z,解得k=2，故5π12,0是fx画出函数fx与函数gx的图象(图略)，易知两函数图象在x∈−2,11.AC该圆锥的侧面积为π×5在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示，因为小球的半径O1E=O2G=O因为AB=△AFE,△AGD都是等边三角形,所以则圆台的上、下底面圆的半径分别为EF2母线长FG=AG球心之间的最大距离O1O圆台的侧面积为π×在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为JK2=BC−2BJ则圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为20π+4π12.1f−13.2n易知nSn+1=得Sn+1n+1=Snn所以Snn=n+1,即Sn=n2+n,所以当n≥2时,14.(一∞，-3)易知a<4cos3x+2令fx=4cos3所以f′t=4t3t+1.当−13<t<0时，f′t<0，当−1≤t<−13由f−1=−3<f0因为a<4cos3x15.(1)10×0.005+0.010×2样本的中位数约为70+0.5(2)因为60所以总平均重量z=65×2所以s2=16.(1)设点B1到平面A1EC1的距离为解得d=33,故点B1到平面A1(2)以BC，BA,BB1所在的直线分别为x，y，因为AB=1,AA所以EC设m=x1,y1所以m⋅EC1=0,m⋅EA1=所以平面A1EC1的一个法向量为设n=x2,y2所以n⋅EC1=0,n⋅EA=0,所以平面AEC1的一个法向量为n因为cos⟨m所以二面角A−EC1−A17.(1)设等差数列an的公差为d,由题意可知解得a1=3,d=(2)由(1)得Sn=n3+3n数列1Sn的前n项和为2(3)由(2)知1Si=23i当n≥2时,1S1+1S2+1综上所述，1S118.(1)设交点P的坐标为(x,y)，因为直线AP与BP的斜率之积为−所以y−1x⋅y+1x=−故动点P的轨迹方程为x22(2)由l1:x−2y+1=0设CxC,yC,所以弦长CD=1(3)设直线MN的方程为x=my+tm≠0，由x=my+t,y1+y2=−2mtm2+2,y1易知直线MT的斜率kMT与直线NT的斜率kNT存在且即y1整理得2my1y2+因为m≠0，所以当t=1时符合题意，即直线MN经过定点所以△MTN的面积2当且仅当m2+1=1m因为m≠0,所以△MTN面积的取值范围是19.(1)因为fx=x−2a若a≤1,当x∈1,+∞则函数fx在1,+∞上单调递增,无极值点.若a>1,当x∈1,a时,f′x<0当x∈a,+∞时,f′x>0,函数故x=a是函数fx的极小值点，且函数等上可知，当a≤1时，函数fx在区间1当a>1时，函数fx在区间1,+∞(2)(i)由题意知gx=所以g′x当0<x<1时,g′x<0;所以gx在0,1上单调递减，在则gx因为函数gx存在两个不同的零点,所以e+1−2a<所以实数a的取值范围为e+12(ii)下面找两个点m,n0<m注意到4a2−2a−12a−1下面我们证明:g2a①g2a>0，则e2a2a−