20.1 勾股定理及其应用 课件（内嵌视频） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学（2024）第二十章

勾股定理20.1勾股定理及其应用20.1.1勾股定理1.理解勾股定理的内容，能说出勾股定理的文字语言和符号语言.2.能运用勾股定理进行简单的计算，解决直角三角形中已知两边求第三边的问题.3.能在实际情境中抽象出直角三角形模型，提升数学应用意识和建模能力，体会“数与形”的转化思想.4.通过《周髀算经》、赵爽弦图等历史素材的学习，感受中国古代数学的智慧，增强文化自信，激发对数学探究的兴趣和严谨治学的态度.学习目标同学们，在我国最古老的数学典籍《周髀算经》里，记载了三千多年前一段非常有名的对话.345ABC

问题1：直角三角形作为一种特殊的三角形，它有什么性质呢？①

有一个直角，∠C=90°.②

两个角互余，∠A+∠B=90°.问题2：对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢?商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系?34516925

如图，每个小方格面积为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？探究A1B1C1A2B2C2A3B3C3A1B1C1A2B2C2A3B3C3SA1=

，SB1=

，SC1=

，面积之间的关系：

.14C的面积如何计算？方法一：分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.

C新知探究A1B1C1A2B2C2A3B3C3SA1=

，SB1=

，SC1=

，面积之间的关系：

.145SA1+SB1=SC1A1B1C1A2B2C2A3B3C3SA3=

，SB3=

，SC3=

，面积之间的关系：

.92534SA3+SB3=SC3A1B1C1A2B2C2A3B3C3SA2=

，SB2=

，SC2=

，面积之间的关系：

.4913SA2+SB2=SC2如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.BCAabc证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽(约3世纪)的证法.观察发现：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积.数学表达赵爽弦图黄实朱实朱实朱实朱实BAcabC如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).尝试验证：a2+b2=c2.如图，边长为a和b的两个正方形拼接在一起它的面积为两个正方形面积之和将两个正方形剪切成四个全等三角形和一个小正方形三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c将底下两个三角形旋转到上面去可得到一个大正方形，边长为c大正方形的面积为边长的平方前后面积相等，所以可得：a2+b2=c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a2+b2aba2+b2aba2+b2ababcc2a2+b2=c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这样就证明了前面的猜想.它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.abc勾股弦公式变形：a2+b2=c2a2=

c2

－b2b2=

c2

－a2

概念学习：勾股定理在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.BCA68(1)FED1715(2)解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2=AC2+BC2=82+62=100，所以AB=10.(2)在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2+EF2=DF2，从而DE2=DF2-EF2=172-152=64，所以DE=8.例2在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a：b=1：2，c=5，求a；(2)若b=15，∠A=30°，求a，c.

已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.例3在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.

当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.BCA43①BAC43②1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，

求c；(3)已知b=15，c=25，求a.

【教材第25页练习第1题】2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.ABCDE解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，由勾股定理和正方形的面积公式，得SE=SM+SN，而SM=SA+SB，

SN=SC+SD,∴SE=SA+SB+SC+SD=122+162+92+122=625.【教材第26页练习第2题】3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0