辽宁省沈阳市沈北新区2025-2026学年初三下学期4月考数学试题理试卷含解析

辽宁省沈阳市沈北新区2025-2026学年初三下学期4月考数学试题理试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式中，正确的是（）A．﹣（x﹣y）=﹣x﹣y B．﹣（﹣2）﹣1= C．﹣ D．2．化简÷的结果是()A． B． C． D．2(x＋1)3．下列说法正确的是（）A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式4．2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大载客人数168人，最大航程约5550公里．数字5550用科学记数法表示为（）A．0.555×104 B．5.55×103 C．5.55×104 D．55.5×1035．下列运算结果是无理数的是（）A．3× B． C． D．6．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A．参加本次植树活动共有30人 B．每人植树量的众数是4棵C．每人植树量的中位数是5棵 D．每人植树量的平均数是5棵7．关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a值为()A．1 B．﹣1 C．±1 D．08．安徽省在一次精准扶贫工作中，共投入资金4670000元，将4670000用科学记数法表示为（）A．4.67×107 B．4.67×106 C．46.7×105 D．0.467×1079．如图，若a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40° B．60° C．120° D．150°10．如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=1．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A． B．1 C． D．11．图为一根圆柱形的空心钢管，它的主视图是()A． B． C． D．12．已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A．3.1；B．4；C．2；D．6.1．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____．14．一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．15．两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1，BG=3，则CH的长为__________．16．分解因式：__________.17．已知，（），请用计算器计算当时，、的若干个值，并由此归纳出当时，、间的大小关系为______.18．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的度数是____.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解不等式组，并写出其所有的整数解．20．（6分）【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．【类比引申】（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；【联想拓展】（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．21．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x是不等式组的整数解22．（8分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．（1）求△ABC的面积；（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．23．（8分）如图山坡上有一根旗杆AB，旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=1：．小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45°，旗杆底部B的仰角为20°．（1）求坡角∠BCD；（2）求旗杆AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）24．（10分）先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．25．（10分）已知正方形ABCD的边长为2，作正方形AEFG（A，E，F，G四个顶点按逆时针方向排列），连接BE、GD，（1）如图①，当点E在正方形ABCD外时，线段BE与线段DG有何关系？直接写出结论；（2）如图②，当点E在线段BD的延长线上，射线BA与线段DG交于点M，且DG＝2DM时，求边AG的长；（3）如图③，当点E在正方形ABCD的边CD所在的直线上，直线AB与直线DG交于点M，且DG＝4DM时，直接写出边AG的长．26．（12分）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．求证：∠BAC＝∠AED；在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：．27．（12分）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，则PB=．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解析】

A.括号前是负号去括号都变号；B负次方就是该数次方后的倒数，再根据前面两个负号为正；C.两个负号为正；D.三次根号和二次根号的算法．【详解】A选项，﹣（x﹣y）=﹣x+y，故A错误；B选项，﹣（﹣2）﹣1=，故B正确；C选项，﹣，故C错误；D选项，22，故D错误．本题考查去括号法则的应用，分式的性质，二次根式的算法，熟记知识点是解题的关键．2、A【解析】

原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】原式=•（x﹣1）=．故选A．本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3、B【解析】

利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．【详解】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；C、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B．本题考查方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义，掌握基本概念是解题关键．4、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：5550=5.55×1．故选B．本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5、B【解析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A选项：原式＝3×2＝6，故A不是无理数；B选项：原式＝，故B是无理数；C选项：原式＝＝6，故C不是无理数；D选项：原式＝＝12，故D不是无理数故选B．考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．6、D【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选D．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．7、B【解析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出：a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可．【详解】解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，解得：a＝±1，∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．故选：B．本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，不要漏掉对一元二次方程二次项系数不为0的考虑．8、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】将4670000用科学记数法表示为4.67×106，故选B.本题考查了科学记数法—表示较大的数，解题的关键是掌握科学记数法的概念进行解答.9、C【解析】如图：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故选C.点睛：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质是解题的关键.平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，两条平行线之间的距离处处相等.10、B【解析】分析：只要证明BE=BC即可解决问题；详解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，∴∠BCE=∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，∴BE=BC=1，∵AB=2，∴AE=BE-AB=1，故选B．点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．11、B【解析】试题解析：从正面看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，故选B.12、A【解析】∵数据组2、x、8、1、1、2的众数是2，∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、1、1、8，∴这组数据的中位数是：(2+1)÷2=3.1.故选A.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、（2，0）【解析】【分析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE≌△PAF，根据PE=AF=3，列式可得结论．【详解】连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），∴OE=1，AF=3，∵∠ACB=45°，∴∠APB=90°，∴∠BPE+∠APF=90°，∵∠BPE+∠EBP=90°，∴∠APF=∠EBP，∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB，∴△BPE≌△PAF，∴PE=AF=3，设P（a，0），∴a+1=3，a=2，∴P（2，0），故答案为（2，0）．【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．14、1800°【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．考点：多边形内角与外角．15、【解析】

依据∠B=∠C=45°，∠DFE=45°，即可得出∠BGF=∠CFH，进而得到△BFG∽△CHF，依据相似三角形的性质，即可得到=，即=，即可得到CH=．【详解】解：∵AG=1，BG=3，∴AB=4，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=4，∠B=∠C=45°，∵F是BC的中点，∴BF=CF=2，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∴∠CFH=180°﹣∠BFG﹣45°=135°﹣∠BFG，又∵△BFG中，∠BGF=180°﹣∠B﹣∠BFG=135°﹣∠BFG，∴∠BGF=∠CFH，∴△BFG∽△CHF，∴=，即=，∴CH=，故答案为．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.16、a(a－4)2【解析】

首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【详解】故答案为：本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.17、【解析】试题分析：当n=3时，A=≈0.3178，B=1，A＜B；当n=4时，A=≈0.2679，B=≈0.4142，A＜B；当n=5时，A=≈0.2631，B=≈0.3178，A＜B；当n=6时，A=≈0.2134，B=≈0.2679，A＜B；……以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，A、B的关系始终是A＜B.18、60.【解析】

首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC＝∠ABC＝60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．【详解】设半圆的圆心为O，连接OE，OA，∵CD＝2OC＝2BC，∴OC＝BC，∵∠ACB＝90°，即AC⊥OB，∴OA＝BA，∴∠AOC＝∠ABC，∵∠BAC＝30°，∴∠AOC＝∠ABC＝60°，∵AE是切线，∴∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠ACO＝90°，∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，，∴Rt△AOE≌Rt△AOC(HL)，∴∠AOE＝∠AOC＝60°，∴∠EOD＝180°﹣∠AOE﹣∠AOC＝60°，∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°，故答案为：60.本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、不等式组的解集为1≤x＜2，该不等式组的整数解为1，2，1．【解析】

先求出不等式组的解集，即可求得该不等式组的整数解．【详解】由①得，x≥1，由②得，x＜2．所以不等式组的解集为1≤x＜2，该不等式组的整数解为1，2，1．本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．20、（1）DF=EF+BE．理由见解析;（2）CF=1．【解析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AEF≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（2）根据旋转的性质的AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；关键全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF.解：（1）DF=EF+BE．理由：如图1所示，∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC=∠ABE=90°，∴点C、D、G在一条直线上，∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°，∵∠EAF=15°，∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣15°=15°，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∵FD=FG+DG，∴DF=EF+BE；（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；又∵∠EAF=15°，而∠EAG=90°，∴∠GAF=90°﹣15°，在△AGF与△AEF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，∴CF=1．“点睛”本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．21、x=3时，原式=【解析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到x的值,代入计算即可求出值.【详解】解：原式=÷=×=，解不等式组得，2＜x＜，∵x取整数，∴x=3，当x=3时，原式=．本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解．22、（1）12（2）y=（0＜x＜5）（3）或【解析】试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据cosB=求得BH的长，从而根据已知可求得AH的长，BC的长，再利用三角形的面积公式即可得；（2）先证明△BPD∽△BAC，得到=，再根据，代入相关的量即可得；（3）分情况进行讨论即可得.试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB=90°，∴cosB=，∵cosB=，AB=5，∴BH=4，∴AH=3，∵AB=AC，∴BC=2BH=8，∴S△ABC=×8×3=12（2）∵PB=PD，∴∠B=∠PDB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠PDB，∴△BPD∽△BAC，∴，即，解得=，∴，∴，解得y=（0＜x＜5）；（3）∠APD＜90°，过C作CE⊥AB交BA延长线于E，可得cos∠CAE=，①当∠ADP=90°时，cos∠APD=cos∠CAE=，即，解得x=；②当∠PAD=90°时，，解得x=，综上所述，PB=或.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、底在同一直线上且高相等的三角形面积的关系等，结合图形及已知选择恰当的知识进行解答是关键.23、旗杆AB的高度为6.4米.【解析】分析：（1）根据坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα进行计算；（2）根据余弦的概念求出CD，根据正切的概念求出AG、BG，计算即可．本题解析：(1)∵斜坡BC的坡度i=1:，∴tan∠BCD=，∴∠BCD=30°；(2)在Rt△BCD中,CD=BC×cos∠BCD=6×=9，则DF=DC+CF=10(米)，∵四边形GDFE为矩形，∴GE=DF=10(米)，∵∠AEG=45°，∴AG=DE=10(米)，在Rt△BEG中,BG=GE×tan∠BEG=10×0.36=3.6(米)，则AB=AG−BG=10−3.6=6.4(米).答：旗杆AB的高度为6.4米。24、.【解析】

先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．【详解】,====，当x=0时，原式=.25、（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．理由见解析；（1）AG＝1；（3）满足条件的AG的长为1或1．【解析】

（1）结论：BE＝DG，BE⊥DG．只要证明△BAE≌△DAG（SAS），即可解决问题；（1）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．由A，D，E，G四点共圆，推出∠ADO＝∠AEG＝45°，解直角三角形即可解决问题；（3）分两种情形分别画出图形即可解决问题；【详解】（1）结论：BE=DG，BE⊥DG．理由：如图①中，设BE交DG于点K，AE交DG于点O．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∴∠AEB=∠AGD，∵∠AOG=∠EOK，∴∠OAG=∠OKE=90°，∴BE⊥DG．（1）如图②中，连接EG，作GH⊥AD交DA的延长线于H．∵∠OAG＝∠ODE＝90°，∴A，D，E，G四点共圆，∴∠ADO＝∠AEG＝45°，∵∠DAM＝90°，∴∠ADM＝∠AMD＝45°，∴∵DG=1DM，∴∵∠H＝90°，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∴GH＝DH＝4，∴AH＝1，在Rt△AHG中，（3）①如图③中，当点E在CD的延长线上时．作GH⊥DA交DA的延长线于H．易证△AHG≌△EDA，可得GH＝AB＝1，∵DG＝4DM．AM∥GH，∴∴DH＝8，∴AH＝DH﹣AD＝6，在Rt△AHG中，②如图3﹣1中，当点E在DC的延长线上时，易证：△AKE≌△GHA，可得AH＝EK＝BC＝1．∵AD∥GH，∴∵AD＝1，∴HG＝10，在Rt△AGH中，综上所述，满足条件的AG的长为或．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26、见解析【解析】

（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；【详解】证明（1）∵AD∥BC，