直线和圆的位置关系

2013中考全国1。0份试卷分类汇编

直线和圆的位置关系

1、(2013•常州)的半径是6,点O到直线1的距离为5,那么直线I与。O的位置关系是()

A.相离B.相切C.相交D.无法判断

考直线与圆的位置关系.

点：

分根据圆O的半径和圆心O到直线1的距离的大小，相交：d〈r；相切：d=r；相离：d>r；即可选

析；出答案.

解解：OO的半径为6,圆心O到直线1的距离为5,

答：•1-6>5,即：d<r,

・•・直线L与。O的位置关系是相交.

应选：C.

点此题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题

评：的关键.

2、(13年山东青岛、7)直线/与半径/•的圆O相交，且点。到直线/的距离为6,那么一的取值范围

是()

Asr<6B、r=6C、r>6Dxr>6

答案：C

解析•：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，所以选C。

3、(2013•黔东南州)RtAABC中,ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心，r为半径作圆,假设

圆C与直线AB相切，那么r的值为()

A.2cmB.2.4cmC.3cmD.4cm

考直线与圆的位置关系.

点：

分R的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长.根据直角三角形面积的不同表示方法，

析：即可求出r的值.

解解：Rl^ABC中，NC=90°,AC=3cm,BC=4cm；

答：由勾股定理，得：AB2=32+-42=25,

AAB=5；

XVAB是。C的切线，

ACD±AB,

.\CD=R；

*.*Sz\ABC=AC*BC=AB*r；

.*.r=2.4cnb

应选B.

点此题考查的知识点有：切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法；斜边上的高即为圆的半

评：径是此题的突破点

4、(2013凉山州)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1,I),B(-3,-I),C(-3,1),D(-

2.-2),E(0,-3).

(1)画出△ABC的外接圆。P,并指出点D与OP的位置关系；

(2)假设直线1经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线1与OP的位置关系.

考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系：作图一复杂作图.

专题：探究型.

分析：(1)在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与OP的位置关系即可；

(2.1连接OD,用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可.

解答：解：(1)如下图：△ABC外接圆的圆心为(-1,0),点D在。P上；

(2)连接OD,

设过点P、D的直线解析式为y=kx+b,

VP(-1,0)、D(-2,-2),

’0二-k+b

…-2=-2k+b'

解得(吃

lb=2

•••此直线的解析式为y=2x+2；

设过点D、E的直线解析式为y=ax+c,

,.D(-2,-2),E(0,-3),

'-2=-2a+c

••一,

-3=c

角竺得«2,

c二一3

「•此直线的解析式为y=・x・3,

V2x(-)=-I,

「•PDJLPE,

•.,点D在OP上，

/.直线1与OP相切.

点评：此题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.

圆的切线

1、12013济宁)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC十点E、D,DF是

圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.假设AF的长为2,那么FG的长为()

A.4B.35/3C.6D.273

考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理.

专题：计算题.

分析：连接OD,由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF,根据三角形ABC为等边三

角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60。，由OD=OC,得到三角形OCD

为等边三角形，进而得到OD平行与AB,由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF

中，利用30。所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB-

AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30。所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用

勾股定理即可求出FG的长.

解答：解：连接OD,

・•,DF为圆O的切线，

/.OD±DF,

・・・△ABC为等边三角形，

/.AB=BC=AC,ZA=ZB=ZC=60°,

OD=OC,

：.△OCD为等边三角形，

.".ODIIAB,

又。为BC的中点，

「.D为AC的中点，即0D为△ABC的中位线，

/.ODIIAB,

DF_LAB,

在RtAAFD中，ZADF=30°,AF=2,

/.AD=4,BPAC=8,

/.FB=AB-AF=8-2=6,

在RtZkBFG中，ZBFG=30°,

BG=3,

那么根据勾股定理得；FG=3%.

应选B

点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30。直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切

线的性质是解此题的关键.

2、(2013年武汉)如图，GM与©8外切于点。，PC,PD,分别是圆的切线，C,D,E是切点,假

A.

答案：

解析：

所以，

ZPDC

ZDPE=(180-2x-2z)0,NDPC=(180—2y—2z)0,

在aPEC中，2z°+(180-2x-2z)°+(180-2y-2z)°=180°,

化简，得：z=(90—x—y),

在四边形PRRD中,ZFRD=(1X0°-ZDPE)=1RO0-(180-2x-27.)°=+°=(2x+lR0

-2x-2y)=(180-2y)°,

所以，弧DE的长为：(18。—2)，)./?=乃(90-)派

18090

选B。

3、(2013•雅安)如图，AB是OO的直径，C、D是。O上的点，NCDB=30。，过点C作。0的切线交

AB的延长线于E,那么sinzE的值为()

A.B.C,D.

考切线的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数值.

点：

分首先连接OC,由CE是。0切线，可得OCJ_CE,由圆周角定理，可得NB0060。，继而求得NE

析：的度数，那么可求得sinNE的值.

解解：连接OC,

答：是OO切线，

/.OC±CE,

即NOCE=90%

•••zCDB=30°,

/.ZCOB=2ZCDB=60°,

zE=90n-zCOB=30n,

sinZE=.

应选A.

点此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值.此题难度不大，注意掌握辅助线

评；的作法，注意数形结合思想的应用.

4、(2013泰安)如图，AB是OO的直径，AD切。O于点A,点C是标的中点，那么以下结论不成立

的是()

A.OCIIAEB.EC=BCC.ZDAE=ZABED.AC±OE

考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

专题：计算题.

分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE,由AB为圆的直径，利用直径

所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE,即可确定出OC与AE平行，选项A正确；

由C为弧BE中点，即弧BC二弧CE,利用等弧对等弦，得到BC=EC,选项B正确；

由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA,进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE中两锐角互余,

利用同角的余角相等得到/DAE=ZABE,选项C正确；

AC不一定垂直于OE,选项D错误.

解答：解：A.•・•点C是标的中点，

/.OC±BE,

,「AB为圆O的直径，

/.AEXBE,

AOCIIAE,本选项正确；

B.VBC=CE，

BOCE,本选项正确：

C.TAD为圆O的切线，

AD±OA,

/.ZDAE+ZEAB=90%

•/ZEBA+ZEAB=90°,

・•.NDAE=ZEBA,本选项正确：

D.AC不一定垂直于OE,本选项错误，

应选D

点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是

解此题的关键.

5、12013•白银)如图，。。的圆心在定角Na(0o<a<l80o)的角平分线上运动，且OO与/a的两边

相切，图中阴影局部的面积S关于OO的半径r(r>0)变化的函数图象大致是()

考动点问题的函数图象：多边形内角与外角：切线的性质：切线长定理：扇形面积的计算：锐角三

点：角函数的定义.

专计算题.

题：

分连接OB、OC、0A,求出/BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC

析：的面积，即可求出答案.

解解：连接OB、OC、0A,

答：•••圆。切AM于B,切A、于C,

/.ZOBA=ZOCA=90°,OB=OC=r,AB=AC

NBOC=360°-90°-90°-a=(180-a)°,

AO平分/MAN,

ZBAO=ZCAO=a»

r

AB二AO------------，

tan2a

阴影局部的面积是：S豳形BACO-S扇形OBC=2XX--三—xr-080——♦)元r=(-----\--

碣a360

360

・「r>0,

・•.S与r之间是二次函数关系.

应选C.

N

点此题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形

评：的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键.

6、(2013•黔西南州)如下图，线段AB是OO上一点，ZCDB=20°,过点C作。O的切线交AB的延

长线于点E,那么NE等于()

A.50°B.40°C.60°D.70°

考切线的性质；圆周角定理.

点：

分连接OC,由CE为圆O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CE,即三角形OCE为直角三角

析：形，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角NCDB的度数，求出圆心角NCOB

的度数，在直角三角形OCE中，利用直角三角形的两锐角互余，即可求出/E的度数.

解解：连接OC,如下图：

答：・「圆心角/BOC与圆周角/CDB都对弧BC,

/.ZBOC=2ZCDB,又NCDB=20°,

ZBOC=40\

又CE为圆。的切线，

OC±CE,即NOCE=90。，

那么/E=90°-40°=50°.

应选A.

C

O//]B

D

点此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及直角三角形的性质，遇到直线与圆相切，连接圆心与

评：切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质兴解决问题.熟练掌握性质及定理是解此

题的关键.

7、（2013•毕节地区）在等腰直比三角形ABC中，AB=AC=4,点O为BC的中点，以O为圆心作。O

交BC于点M、N,0O与AB、AC相切，切点分别为D、E,那么。。的半径和NMND的度数分别为

I：）

A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30°

考点：切线的性质；等腰直角三角形.

分析：首先连接AO,由切线的性质，易得OD_LAB,即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的

长：根据圆周角定理即可求出NMND的度数.

解答：解：连接OA,

•••AB与。O相切，

OD±AB,

・•・在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,O为BC的中点，

AO±BC,

ODIIAC,

・•,O为BC的中点，

/.OD=AC=2；

ZDOB=45°,

/.ZMND=ZDOB=22.5C,

应选A.

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、切线长定理以及等腰直角三角形性质.此题滩度适中，

注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

8、（2013台湾、17）如图，圆。与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点.假

设圆O的半径为5,且AB=II,那么DE的长度为何？（）

A.5B.6C.V30D--

2

考点：切线的性质；正方形的性质.

分析：求出正方形ANOM,求出AM长和AD长，根据DE=DM求出即可.

3/

D

解答：解：B

连接OM、ON,

,•・四边形ABCD是正方形，

/.AD=AB=11,NA=90°,

,•・圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，

NOMA=ZONA=90°=ZA,

/OM=ON,

四边形ANOM是正方形，

/.AM=0M=5,

DE与圆O相切于E点，圆。的半径为5,

/.AM=5,DM=DE,

DE=11-5=6,

应选B.

点评：此题考查了正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的应用，关键是求出AM长

和得出DE=DM.

9、（2013年江西省）平面内有四个点A、。、B、C,其中NAO8=120°,ZACB=60°,AO=BO=2,那

么满足题意的0C长度为整数的值可以是.

【答案】2,3,4.

【考点解剖】此题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知

识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探

究能力.

【解题思路】由NAO3=120°,A9=30=2画出一个顶角为120“、腰长为2的等腰三角形，由60。与12（）。

互补，60。是120。的一半，点C是动点想到构造圆来解决此题.

【解答过程】

当点C在以。为圆心的优弧•上时，^ZACiB=-£AOB=W.

此时0032当点位过4。、8三点的圆的忧丸4B上时，

总有乙仁/乙13=1800,此时OCOT长随点CW位置不同而改变.

且有力即2«C*..・.OC长度的整数值为2、3或4.

【方法规律】构造恰当的图形是解决此类问题的关键.

【关键词】圆整数值

10、（2013•苏州）如图,AB切。。于点B,0A=2,ZOAB=30°,弦BCIIOA,劣弧萩的弧长为Lt.（结

果保存司

考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算.

专题：计算题.

分析：连接OB,OC,由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30

度所对的直角边等于斜边的一半,由OA求出OB的长,且NAOB为60度.再由BC与OA平

行，利用两宜线平行内错角相等得到NOBC为60度，又OB=OC,得到三角形BOC为等边三角

形，确定出NBOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长.

解答：解：连接OB,OC,

VAB为圆O的切线，

ZABO=90°,

在ABO中，0A=2,ZOAB=30°,

/.OB=1,ZAOB=60°,

•/BCIIOA,

ZOBC=ZAOB=60°,

又OB=OC,

△BOC为等边三角形，

/.zBOC=6（）°,

^么劣^箴长为60兀X］二..

1803

故答案为：-in

点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解

此题的关键.

1k2013•咸宁）如图，在RSAOB中，OA=OB=3沈，。。的半径为1,点P是AB边上的动点，过

点P作。O的一条切线PQ（点Q为切点），那么切线PQ的最小值为，加.

考点：切线的性质；等腰更角三角形.

分析：首先连接OP、OQ,根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ?,可得当OP_LAB时，线段OP最短，即线

段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案.

解答：解：连接OP、OQ.

二PQ是OO的切线，

/.OQ±PQ；

根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2,

.•.当POJLAB时，线段PQ最短，

在RSAOB中，OA=OB=3加，

/.AB=V2OA=6,

.OP=0A・0B=3,

AB

^VoP2-OQ^Vs2-

故答案为：2沈.

点评：此题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助

线的作法，注意得到当PO_LAB时，线段PQ最短是关键.

12、12013♦恩施州）如下图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60。的扇形，那么扇形的周长为65

考点：相切两圆的性质：含30度角的直角三角形；切线的性质；弧长的计算.

分析：首先求出扇形半径，进而利用扇形弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形周长.

解答：解：如下图：设。0与扇形相切于点A,B,

那么NCAO=90%ZAOB=30%

一半径为1的圆内切于一个圆心角为60。的扇形，

AO=1,

CO=2AO=2,

二BC=2=1=3,

扇形的弧长为：6。儿"凡,

180

那么扇形的周长为：3+3+兀=6+儿

故答案为：6+n.

点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长公式等知识，根据得出扇形半径是解题关键.

13、（2013哈尔滨）如图，直线AB与。0相切于点A,AC、CD是。0的两条弦，且CD〃AB,假设。0的

半径为2,CD=4,那么弦AC的长为.

2

考点：垂径定理；勾股定理。区线的性质。

分析：：此题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角

形是解答此题的关键。

解答：连接0A,作0E_LCD于E,易得0AJLAB,CE=DE=2,由于CD〃AB得E0A三点共线,连0C,在直角三角

a

形0EC中，由勾股定理得DE=—，从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=2芯

2

14、（2013杭州）射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交「点M,N,且ACIIQN,AM=MB=2cm,

QM=4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心,心m

为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）

考点：切线的性质；等边三角形的性质.

专题：分类讨论.

分析：求出AB=AC=BC=4cm,MN=AC=2cm,ZBMN=ZBNM=ZC=ZA=60°,分为三种情况：画出图

形，结合图形求出即可：

解答：解：ABC是等边三角形，

/.AB=AC=BC=AM+MB=4cm,ZA=ZC=ZB=60°,

,/QNIIAC,AM=BM.

「.N为BC中点，

/.MN=AC=2cm,ZBMN=ZBNM=ZC=ZA=60°,

分为三种情况：①如图L

当。P切AB于M，时，连接PM',

那么PM,=V3cm,ZPM,M=90°,

•./PMM'=NBMN=60°,

/.M'M=lcm,PM=2MM'=2cm,

QP=4cm-2cm=2cm,

即t=2；

②如图2,

当。P于AC切于A点时，连接PA,

那么NCAP=/APM=90°,ZPMA=ZBMN=60°,AP二七m,

PM=lcm,

QP=4cm-lcm=3cin,

即1=3,

当当OP于AC切于C点时，连接PC,

那么NCP'N:NACP'=9（r,NP'NC=NBNM=6（r,CP^VScm,

.".PzN=lcm,

QP=4cm+2crn+1crn=7cm,

即当3虫＜7时，OP和AC边相切；

③如图I,

当。P切BC于Nz时，连接PN3

那么PNf=V3cm,ZPM\N,N=90°,

.NPNN'=ZBNM=60°,

N'N=lcm,PN=2NN/=2cm,

QP=4cm+2cm+2cm=8cm,

即t=8；

故答案为：t=2或34M7或t=8.

点评：此题考杳了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线

的性质的应用，主要考杳学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊.

15、（2013•天津）如图，PA、PB分别切OO于点A、B,假设/P=70。，那么NC的大小为551度）.

考点：切线的性质.

分析：首先连接OA,OB,由PA、PB分别切0O于点A、B,根据切线的性质可得：OAJ_PA,

OB±PB,然后由四边形的内角和等于360。，求得NA0B的度数，乂由圆周角定理，即可求得

答案.

解答：解：连接OA,OB,

「PA、PB分别切。0于点A、B,

:OAJ_PA,OB±PB,

即/PAO=ZPBO=90°,

:ZAOB=3600-ZPAO-ZP-ZPBO=360°-900-70*-90°=110°,

ZC=LAOB=55°.

2

故答案为：55.

点评：此题考查了切纹的性质以及圆周角定理.此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数

形结合思想的应用.

16、(2013•白银)如图，在OO中，半径OC垂直于弦AB,套足为点E.

(I)假设OC=5,AB=8,求tan/BAC；

(2)假设NDAO/BAC,且点D在OO的外部，判断直线AD与OO的位置关系，并加以证明.

考点：切线的判定；勾股定理；垂径定理.

专题：计算题.

分析：(1)根据垂径定理由半径0C垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出0E=3,那么

EC=2,然后在RtAAEC中根据正切的定义可得到tan/BAC的值；

(2)根据垂径定理得到AC弧二BCM,再利用圆周角定理可得到NAOC=2NBAC,由于

ZDAC=ZBAC,所以/AOC=ZBAD,利用/AOC+ZOAE=90。即可得至lj

ZBAD+ZOAE=90\然后根据切线的判定方法得AD为60的切线.

解答：解：(1),••半径OC垂直于弦AB,

AE=BE=AB=4,

在RsOAE中，OA=5,AE=4,

OE"7OA2-AE2"3,

EC=OC-OE=5-3=2,

在RtaAEC中，AE=4,EC=2,

tanzBAC=-^==：

AE

(2)AD与OO相切.理由如下:

••・半径OC垂直于弦AB.

ACM=BC弧，

ZAOC=2ZBAC,

■/ZDAC=ZBAC,

ZAOC=ZBAD,

ZAOC+ZOAE=90°,

ZBAD+ZOAE=90°,

OA±AD,

・•・AD为OO的切线.

点评：此题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股

定理以及垂径定理、圆周角定理.

17、(2013四川宜宾)如图,A8是。。的直径，ZB=ZCAD.

(1)求证：AC是。。的切线；

〔2J假设点七是位的中点，连接交8c于点人当8〃=5,CO=4时，求的值.

考点：切线的判定；相似二角形的判定与性质.

分析：［1）证明△AOCs/s/xc,可得/B4C=NAQO90。，继而可判断AC是。。的切线.

（2）根据（1）所得△AOO^BAC,可得出CA的长度，继而判断NC四=NCAF,利用等腰三角

形的性质得出A尸的长度，继而得出。尸的长，在心△A尸。中利用勾股定理可得出A/的长.

解答：解：m,••4B是OO的直径，

ZADB=^ADC=90°,

,.1ZB二，CAD,ZC=ZC,

：.△ADC-△BAC,

：.ZBAC=NAQC=90°,

/.BA.LAC,

二.AC是OO的切线.

（2）v△ADC-△BAC（已证），

.•.迪-旦，HPAC2=BCXCD=36,

BCAC

解得：AC=6,

在AMMC。中，AD=d耽2—CD-V^,

,/ZCAF=ZCAD+Z.DAE=Z.ABF+Z.BAE=NAFD,

/.CA=CF=6,

Dr=CA-CD=2,

在心△A尸。中，4产=而陷后=2证.

点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是熟练掌握切线的判定定理、

相似三角形的性质，勾股定理的表达式.

18、（13年北京5分20）如图，AB是。。的直径，PA,PC分别与0O相切于点A,C,PC交AB的

延长线于点D,DE_LP。交PO的延长线于点E。

（1）求证：ZEPD=ZEDO

3

（2）假设PC=6,tanZPDA=-,求OE的长。

4

解析：

考点：圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）

19、（13年北京8分25）对于平面直角坐标系X0），中的点P和。C,给出如下定义：假设0c上存在

两个点A.B.使得NAPB=60°,那么称P为G）C的关联点。

点D(L,-),E[0,-2],F(2V3,0)

22

(1)当。O的半径为1时，

①在点D,E,F中，。0的关联点是:

②过点F作直线交)，轴正半轴于点G,使NGFO=30°,假设直线上的点P(加，〃)是。O

的关联点，求〃2的取值范围；

(2)假设线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径，•的取值范围。

解析：【解析】(1)①/XE;

②由题意可知，假设P点要刚好是圆。的关联点;

需要点P到圆C的两条切线24和之间所夹

的角度为60。；

由图1可知NAPH=60。，那么NCPB=30。，

连接8C,那么PC=———=2BC=2r;

sin/CPB

・•・假设P点为为C的关联点;那么需点尸到圆心的距离4满足0W4W2厂;

由上述证明可知，考虑临界位置的。点，如图2;

点P到原点的距离OP=2x\=2;

过O作x轴的垂线O”，垂足为“；

/CCF°F2V3rr

tanZOGr=----=------=v3;

OG2

・•・NOG尸=60。;

・•・OH=OGsin60°=V3：

OHC

/.sinNOP”

~0P~~2

JNOP〃=60。；

易得点A与点G重合，过P?作鸟M_Lx轴于点M；

易得/鸟0/=30。；

・•・O历=08cos30。=6：

从而假设点尸为圆O的关联点，那么尸点必在线段片巴上;

・•・0<//2<V3；

(2)假设线段所上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小,

那么这个圆的圆心应在线段所的中点；

考虑临界情况，如图3;

即恰好E、F点为圆K的关联时，那么

KF=2KN=-EF=2\

2

・・.此时r=1；

图3

故假设线段石厂上的所有点都是某个圆的关联点，

这个圆的半径「的取值范围为厂之1.

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自巳熟悉的知识，通过第(2)问开

头局部的解析，可以看出此题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半

径的点.

了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.

考点：代儿综合(“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合)

2()、(2013福省福州20)如图，在△ABC中，以AB为直径的OO交AC于点M,弦MNIIBC交AB

于点E,且ME=1,AM=2,AE=V5

(1)求证：BC是OO的切线；

(2)求嬴的长.

考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形.

分析：(1)欲证明BC是。0的切线，只需证明OBLBC即可；

(2)首先，在RtZkAEM中，根据特殊角的三角函数值求得NA=3()。；

其次，利用圆心角、弧、弦间佗关系、圆周角定理求得NBON=2/A=60。，由三角形函数的定义求得

ON=EN匹

sinZEON3

最后，由弧长公式上里县计算衣的长.

180

解答：门)证明：如图，

/ME=1,AM=2,AE=V3，

ME2+AE2=AM2=4,

「.△AME是直角三角形，且NAEM=90。.

又二MNIIBC,

•.NABC=ZAEM=90°,即OB±BC.

义•「OB是G)O的半径,

BC是。O的切线：

(2)解:如图，连接ON.

在RtAAEM中，sinA=J^-，

AN2

/.ZA=30°.

•/AB±MN,

•••褊前EN=EM=I,

•••ZBON-2ZA-60°.

在RSOEN中，sinzEON二旦N

ON

...ON二EN二空,

sinZEON3

的长度是：区三二包37r.

18039

点评：此题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等.要证某

线是圆的切线,此线过圆上某点，连接圆心与这点［即为半径).再证垂直即可.

21、12013廿肃兰州10分、27）,如图，直线MN交。。于A.B两点,AC是直径.AD平分/CAM

交OO于D,过D作DE_LMN于E.

（I）求证：DE是。O的切线；

（2）假设DE=6cm,AE=3cm,求OO的半径.

考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相彳以三角形的判定与性质.

专题：几何综合题.

分析：（I）连接OD,根据平行线的判断方法与性质可得NODE=NDEM=90。，且D在OO上，故DE

是OO的切线.

（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACDsZ\ADE.根据相似三角形的性质列出比

例式，代入数据即可求得圆的半径.

解答：（1）证明：连接OD.

•「OA=OD,

ZOAD=ZODA.（1分）

ZOAD=ZDAE,

/.ZODA=ZDAE.12分）

DOHMN.（3分）

「DE_LMN,

•.NODE=ZDEM=90°.

即OD_LDE.（4分）

「D在。O上，

「.DE是OO的切线.（5分）

（2）解：••,/AED=90°,DE=6,AE=3,

AD=7DE2+AE2=V62+32=3V5-6分）

连接CD.

*/AC是OO的直径,

.,.ZADC=ZAED=90°.（7分）

'/ZCAD=ZDAE,

「.△ACD”△ADE.（8分）

.AD^AC

AE^AE'

.诟一AC

那么AC=15（cm）.（9分）

••.00的半径是75cm.（10分）

点评：此题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生

掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.

22、（2013年广东省9分、24）如题24图，00是RtAABC的外接圆，ZABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,

BE1DC交DC的延长线于点E.y----、

⑴求证：ZBCA=ZBAD;\

⑵求DE的长；R\

⑶求证:BE是。O的切线.\

解析：VAZ/

（1）VAB=DB,/.ZBDA=ZBAD,又；ZBDA=ZBCA,AZBCA=ZBAD.

⑵在RtAABC中，\C=ylAB2+BC2-A/122+52—13,易证△ACBS^DBE,得点■殷，

ABAC

12x12144

，DE=-----------=——

1313

⑶连结OB,那么OB=OC,AZ0BC=Z0CB,

V四边形ABCD内接于。0,・•・ZBAC+ZBCD=180°,

又•・•/BCE+NBCD=18(r,・•・NBCE=NBAC,[fa(1)feZBCA=ZBAD,AZBCE=Z0BC,AOB/ZDE

•；BE_LDE,・・・OB_LBE,.「BE是。0的切线.

23、（2013年广东湛江）如图，A8是。。的直径，。为。。外一点，且OP//BC,

NP=4BAC.

[1）求证：PA为。O的切线；

95

（2）假设0区=5,0尸=二，求AC的长.

3

解：（1）・・・A8是。。的直径，.•.NAC8=90°

•：OPIIBC,:"B=4A0P,又NP=NBAC,

..^ABC^^POA,:.ZPAO=^ACB=9（f',「.PA为。。的切线。

i：2）•.OB=5,/.OA=5,AB=2OB=10,由（1）知，zlA5cs△尸。从，

ABBCAB-AO/%n202c

------=,.*.BC=--------------=6，在Rnt△4xcB中，AC=7—BC=8，

POAOPO

二•AC的长为8。

24、（2013•湖州）如图,P是00外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦ABJ_OC,劣弧AB的度

数为120。，连接PB.

（I）求BC的长;

[2）求证：PB是OO的切线.

考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理.

分析：（1）首先连接OB,由弦AB_LOC,劣弧AB的度数为120。，易证得△OBC是等边三角形，那

么可求得BC的长；

（2）由00cp=2,△OBC是等边三角形，可求得BOCP,即可得/P=/CBP,又由等边三角

形的性质，ZOBC=60°,ZCBP=30°,那么可证得OB_LBP,继而证得PB是0O的切线.

解答：（1）解：连接OB,

•弦ABXOC,劣弧AB的度数为120°,

.•.弧BC与弧AC的度数为：60°,

ZBOC=60°,

,/OB=OC,

△OBC是等边三角形，

二BC=OC=2；

(2)证明：「OC=CP,BC=OC,

二BC=CP,

ZCBP=ZCPB,

・「△OBC是等边三角形，

/.ZOBC=ZOCB=60°,

zCBP=30°,

ZOBP=ZCBP+ZOBC=90".

OB±BP,

二.点B在OO上，

二PB是OO的切线.

点评：此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注

意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

25、(2013•泰州)如图,AB为OO的直径,AC、DC为弦,NACD=60，P为AB延长线上的点,NAPD=30°.

(1)求证：DP是OO的切线；

(2)假设OO的半径为3cm,求图中阴影局部的面积.

考点:切线的判定；扇形面积的计算.

分析:(1)连接OD,求出NAOD,求出NDOB,求出NODP,根据切线判定推出即可;

(2)求出OP、DP长，分别求出△DOB和三角形ODP面积，即可求出答案.

解答:(1)证明：连接OD,

ZACD=60°,

.・由圆周角定理得：ZAOD=2ZACD=120°,

•.ZDOP=180°-I2O°=6G°,

/ZAPD=30°,

•.ZODP=180°-30°-60°=90°,

•.OD_LDP,

OD为半径，

DP是OO切线；

(2)解：•••NP=30°,ZODP=90°,OD=3cm,

OP=6cm,由勾股定理得：DP=3

2

如形DOB=x3x3元-60兀・3—=(*^3~n:cm2

360

点评:切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生

的推理和计算能力.

26、(2013•南宁)如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AB是OO的直径，OO交BC于点D,

DEJ_AC于点E,BE交OO于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.

(1)求证：DE是OO的切线；

(2)求tan/ABE的值：

(3)假设OA=2,求线段AP的长.

考点：切线的判定：圆周角定理：解直角三角形.

专题：证明题.

分析•：(1)连结AD、0D,根据圆周角定理得NADB=90。，由AB=AC,根据等腰三角形的直线得

DC=DB,所以OD为ABAC的中位线，那么ODIIAC,然后利用DE,AC得至UODJ_DE,

这样根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan/ABE的值；

(3)由AB是。0的直径得NAFB=90。，再根据等角的余角相等得NEAP=NABF,那么

tanzEAP=tanZABE=-1,在RQEAP中，利用正切的定义可计算出EP,然后利用包股定理可计

2

算出AP.

解答：(1)证明：连结AD、0D,如图，

・••AB是OO的直径，

/.ZADB=90°,

AB=AC,

•••AD垂直平分BC,即DC=DB,

二0口为4BAC的中位线，

/.ODIIAC,

而DE±AC,

ODJ-DE,

二•DE是。O的切线；

(2)解：/OD±DE,DE±AC,

四边形OAED为矩形，

而OD=OA,

四边形OAED为正方形，

AE=AO,

tanZABE=—=—；

AB2

(3)解：:AB是OO的直径，

二ZAFB=90。，

/.ZABF+ZFAB=90°,

而/EAP+ZFAB=90°,

ZEAP=ZABF,

tanzEAP=tanZABE」，

2

在RtaEAP中，AE=2；

/tanzE^P=—=—,

AE2

/.EP=1,

AP=VAE2+EP2=^,

c

点评；此题考查r圆的切线的判定；过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查r圆周角

定理和解直角三角形.

27、（2013•钦州）如图，在RSABC中，/A=90。，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相

切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,BD=2,AE=3,tanZBOD=-?.

3

（1）求。O的半径OD；

（2）求证：AE是OO的切线；

[3）求图中两局部阴影面积的和.

考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算.

专题：计算题.

分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB,在直角三角形BDO中，利用

锐角三角函数定义，根据tan/BOD及BD的值，求出OD的值即可；

（2）连接OE,由AE=OD=3,且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四