2025-2026学年下学期四川德阳高三数学3月第二次诊断考试试卷（含答案）

德阳市高中2023级第二次诊断考试数学试卷说明:1.本试卷分第I卷和第II卷,共4页,考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第I卷(选择题58分)一.选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合P={x∣−2≤x≤3},QA.a≤−2B.a<02.当12<m<1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量m=−1,2,n=A.0或−1C.−124.若两条直线l1:y=2x+m,l2A.0B.1C.2D.45.若1−tanθ1+tanA.−12B.12C.6.某知识过关题库中有A、B、C三种难度的题目数分别为300、200、100，其中小明完成A、B、C型题目的正确率分别为45、A.34B.35C.27.若log2aA.a>2bB.a<2b8.过点Px0,y0作曲线y=lnx+1的两条切线,记两切点分别为MxA.0,1B.(0,二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有几项是符合题目要求的.9.下列命题中正确的是A.若a⋅b<0，则向量a与B.若a=2,3,b=0,1，则向量C.两个非零向量a,b,若a−b=a+b,则D.若O为△ABC的外心，且PA+PB+PC=2PO，则10.设函数fx=3x−19A.数列an的首项为1B.数列an的前10C.数列−1nan的前10项和为−49D.数列11.已知关于x的方程:x+1ex−1A.−1<Cx1第II卷(非选择题92分)三.填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分12.已知随机变量X服从正态分布Nu,δ2,若PX13.P是抛物线y2=4x上一动点，则P到直线14.eix=cosx+isinx被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式,可以推导出倍角公式如cos2x+isin2x=e四.解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分)在△ABC中，内角A,B,CS(1)求角B的大小；(2)若b=4时，求△16.(本题15分)如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E在线段A1D1上，且(1)求证:平面BCC1B1⊥(2)若EF与底面ABCD不垂直，直线ED与平面EBC所成角为45∘,且EB=AB=2,求点A17.(本题15分)东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园.公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人、公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点,使游人感到典雅、古朴、和谐自然.她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵,成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地.出入东湖山公园有三道门供游客自由选择,分别是东门、西门、南门,若每位游客选择东门入园的概率是35(1)从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；(2)东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天,在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为Pn①求P1②求Pn18.(本题17分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A−3,0、B3,0,F为椭圆C(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△PAQ(3)若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，是否存在常数λ，使得k1+λk2=19.(本题17分)已知a>0,函数fx=asinx+cosxx∈[0,+∞)(1)当a=1时,求x(2)若g证明:(i)数列gxn(ii)若a≥1e2−1德阳市高中2023级第二次诊断考试数学参考答案及评分标准一.单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号12345678答案CBAACCAD二.多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有几项是符合题目要求的.)91011BCDBDACD三.填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.213.214.16四.解答题(共77分.解答应写出文字说明、证明过程或法算步骤.)15.解:(1)在△ABC中，S=12acsinB=12a2+c2−b∴B=(2)由(1)知，B=π3，a2+∴16=a3+c2−ac∴△ABC的面积S=∴当a=c=4时,△ABC16.解:(1)证明:∵∠EDA=∠RAD,G∴EA=ED,EG⊥AD∵底面ABCD是正方形,∴BC∵F,G分别是BC,AD的中点,又EG∩GR=∴BC⊥平面BCF，又BCC平面BCC∴平面BCC1B1⊥(2)以F为坐标原点，过F作与平面ABCD垂直的直线为z轴，以FC，GF的方向为x,y轴则D1,−2,0则BD=1设平面EBC的法向量为n=则n⋅EB=−x−ay−hz=∴n=又BB=设直线BD与平面BBC所成角为θ,则sinθ=又∵∴解得a=−∴点B到平面ABCD的距离为32,则点A到平面A1B1C117.解:(1)随机变量X的可能取值为0,1,2,3.且X∼B3,35，其中n1分∴P∴随机变量x的分布列为X0123P253612554271255分∴均值为EX=np=37分(2)①由题意可知，P1=②当n≥3时，∴P0∴数列P0−P0,1是以P∴P0∴Pn18.解:设P(1)由题知a=3，P在椭圆C∴x∵∴y1x1+将②代入①整理得b∴椭圆C的标准方程为x29(2)由(1)知F又∵P不闭于∴直线PF的斜率不为0不妨设直线PF的方程为x=my+2,将其带入椭圆5Δ=900mS令fx∴fx在[∴SMN<253(当∴△PAQ面积的最大值为253(3)假设存在常数λ，使得k1由2知y又∵∴λ又∵x2∴=即λ=−15,所以存在常数,使得19.解:(1)当a=1时f由fx=0解得∴xn(2)证明:(i)因a>0，由fx=∴x4=nπ−φ∵∴gx∴又∵gx∴数列gxn是以sinφeαn−v(ii)欲证:xn<g