2026年河南开封高级中学高三高考一模数学试卷（含解析）

秘密★启用前学情调研(一)数学注意事项:1.答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872,963,742,682,1322,1244,674,548,884,993,则这组数据的中位数为A.872B.878C.884D.12832.已知复数z=3+4i,i为虚数单位,z为A.8-4iB.8+4iC.283.已知集合A={x∣ln2xA.{4,C.{4,4.已知向量a=2,1,b=2A.25B.16C.5D.45.已知函数fx是定义在R上的偶函数,当x≤0时,fx=x2+ax+5aA.-3或-9B.3或9C.-3或3D.9或-96.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,A.4B.-4C.14D.7.已知A4,0,B0,−6,动点P满足PA⋅PB=3,若直线l:3xA.18B.27C.36D.548.已知函数fx=2x+2+1，函数gx=3x+1+1，若y=fx与A.mt<C.mt>二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.对于函数fx=sin2x和函数A.fx与gx有相同的最小正周期B.fx与C.fx在区间0,π2上单调递增D.fx10.已知椭圆C:x225+y2m=1A.当m=9时,M的虚轴长为B.当m=9时,C与M的离心率之积为C.当n=12时,过F1作与x轴垂直的直线与C交于A,D.当n=12时,若点P为C与M的其中一个交点,则△PF11.已知正四棱台ABCD−A1B1CA.此四棱台的侧面积为32B.若M是A1D1的中点,则平面BDMC.若点P为平面A1ACC1截此四棱台所得截面上的动点,且DP=25D.若点E为棱CC1上的动点,则BE+ED三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.过点2,a作曲线y=1x2图象的切线l,若直线l与直线13.已知数列an为正项等比数列,数列bn满足bn=lnan,若14.甲箱中有7个除颜色外完全相同的球,其中有2个红球、2个蓝球、3个黄球;乙箱中有5个除颜色外完全相同的球,其中有3个红球、2个黄球.现从两个箱子中同时各随机摸出1个球进行交换，则交换后甲箱中恰有3个黄球的概率为_____；若交换后甲箱中黄球的个数为X，蓝球的个数为Y，设随机变量ξ=X+Y，则四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(13分)某游泳馆运营商发现，当日最高气温x(单位:摄氏度)与当日收入y(单位:百元)之间有如下的对应数据,由散点图知,当日最高气温x(单位:摄氏度)与当日收入y(单位:百元)呈线性相关.x(单位:摄氏度)2830323436y(单位:百元)2234506074(1)从表中给出的当日收入的5个数值中任取1个，求其高于当日收入平均值的概率;(2)由上面数据判断，当日最高气温每升高1摄氏度，当日收入大约增加多少元?(3)气象台预报后天的最高气温为39摄氏度，则后天的收入大约为多少元？参考数据:对于一组具有线性相关关系的数据xi,yii=1,2,⋯,16.(15分)已知函数fx(1)若数列an=fn，求数列an的前n(2)已知函数fx在x=nn∈N∗处的切线为直线ln，直线ln在y轴上的截距为bn,求数列17.(15分)如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=12,AD=BC=5,CD=4,DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F,将(1)证明:平面PEF⊥平面DCFE(2)求四棱锥P−DCFE(3)求平面PDC与平面PFC夹角的余弦值.18.(17分)过椭圆D:x24+y23=1的右焦点作倾斜角为π2的直线,此直线与抛物线(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知M5,0，N−3,0，F是抛物线C的焦点，点P在第一象限，且在C上，若PM2+PN(3)已知T4,0，过抛物线C的焦点F作直线l,l交C于A，B两点，记直线TA，TB的斜率分别为k1,k219.(17分)已知a为实数，函数fx=ln−2x+(1)若fx在区间−π4,0(2)求函数gx(3)当a=4时,证明:∀x1∈学情调研(一)数学参考答案1.B将这10个数据从小到大排列,依次为548,674,682,742,872,884,963,993,1244,1322,故中位数为872+故选B.2.A因为z=3+4i故选A.3.D因为A=x∣ln2x−故选D.4.C因为a⊥b,a//c,所以4+λ=0,2μ故选C.5.B双曲线C:x2−y29=1的渐近线方程为y=±3x.因为函数fx是定义在R上的偶函数,当x≤0时,fx=x2+ax+5,故f1=f故选B.6.D由tanB=3tan3sinAcosB4444故选D.7.B设Px,y,由PA⋅PB=3,得4−x,−y⋅−x4的圆上,点E2,−3到l:3x+4y−19=0的距离d=3×2+4×−3−故选B.8.B在y=mx上任意取点x,y,x,y关于直线y=x的对称点为y,x,因为此点在fx=2x+2+1上,故x=得mt<nt<0故选B.9.ABD函数y=sin2x的最小正周期为π,正弦函数加绝对值后，最小正周期变为原来的12，所以fx的最小正周期为π2,y=tan2x的最小正周期为π2，正切函数加绝对值后，最小正周期不变,所以g令fx=sin2x=0得2x=kπ,k∈Z,解得x=kπ2,k∈Z,令gx=tan函数fx=sin2x的对称轴为2x=kπ2,解得x=kπ4,k∈Z,函数g故选ABD.10.BC由题意得25−m=9当m=9时,n=7,M的虚轴长为2C的离心率为25−m5=45,M的离心率为9+n3=43,故C当n=12时,m=4,由x225+y24=1,得F1(−21,0),x225+y24=1与x29−y212=1联立,消x故选BC.11.ACD对选项A，如图，记上、下底面的中心分别为O1,O，取AD的中点为N,取A1D1的中点为M,连接OO1,O1M,MN,ON,则MN为梯形MN=OO1​2+ON−O1M2=23,所以梯形对选项B，取A1B1的中点G，连接GM，GM的中点设为T,连接则B1D1//BD,B1D1//GM,所以GM//BD,所以平面BDM截此四棱台所得的截面为BDMG,因为GM对选项C,因为DO⊥AC,DO⊥OO1,OO1∩ AC=O,所以DO⊥平面A1ACC1,且DO=32,因为DP对选项D,由题意得侧棱CC1=4,所以∠BCC1= ∠C1CD=π3,如图,将侧面B1BCC1和C1CDD1沿棱CC1展开,连接BD故选ACD.12.-1设切点为x0,1x02x0≠0,对函数求导可得y′=−2x3x≠0,则−2x03=−2,解得13.20因为数列an为正项等比数列,数列bn满足bn=lnan,所以数列bn为等差数列,设公差为d,则b314.1835,16435甲、乙两个箱子中各有一个球交换后,甲箱中恰有3个黄球有两种情况:一种情况是甲、乙两个箱子中取出的均是黄球,此时概率P1=C31C由题知ξ=X+Y的取值可能为4,5,6,当ξ= X+Y=4时,甲箱中取出的是蓝球或黄球,乙箱中取出的是红球,此时概率P=C51C31C7115.解:(1)由题可知y=1当日收入高于48的有50,60,74,共3个,从当日收入的5个数值中任取1个，其高于当日收入平均值的概率为P=3(2)由题可知x=15×i=1b=i=1nxi−xyi−(3)a=y−bx=48−6.5×32=−160，(10所以经验回归方程为y=(13分)16.解:(1)因为an=2n+2n(2)f′x=2直线ln的方程为y−令x=得y=2n+2n−令数列n⋅2n的前n项和为Q2两式相减得−Qn=2+2又数列2n的前n项和为2n+1−2,所以数列bn的前n17.解:(1)证明:在梯形ABCD中，DE⊥AB于点E，故翻折后DE⊥PE，又因为PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩ EF=E,所以因为DE⊂平面DCFE所以平面PEF⊥平面DCFE.(3(2)在梯形ABCD中，因为AB//CD,AB=12，AD=BC=5,CD=4,DE⊥因为PE=取EF的中点M,连接PM,则PM⊥EF,且因为DE⊥平面PEF,PM⊂平面PEF,故PM⊥DE所以以M为原点,过点M与DE平行的直线为x轴,以直线EF为y轴,以直线PM为z轴,建立空间直角坐标系如下图所示,所以M0,0,因为四边形DCFE为矩形,所以EC与DF的交点O′到D,所以四棱锥P−DCFE外接球的球心O在过O′且与平面设O32,0,t,外接球的半径为R,由OP= OD=所以R=9112,所以四棱锥P−DCFE(3)由(2)得DC=0,4设平面PDC的法向量为n1则n1⋅DC=令x1=3,得一个法向量(12分)设平面PFC的法向量为n2则n2⋅PC=令z2=1,得一个法向量设平面PDC与平面PFC的夹角为θ,则cosθ所以平面PDC与平面PFC夹角的余弦值为2114.(1518.解:(1)椭圆D中,a2=4,b2=3,所以c2=a2− b2=1,得c=所以PQ=22p=4故抛物线C的标准方程为y2=(2)设点Px,y，因为PM2+PN2=82因为y2=4x,所以x2+2x−24=0因为P在第一象限,所以点P的坐标为4,因为F1,0,所以直线FP的斜率为故直线FP的方程为y=4同y2=4x联立整理得4x2−17x+4=0,解得两根分别为4和14,所以直线(3)由题意知直线AB的斜率不为0，设其方程为x=my+1,同y2=4x联立,整理得不妨设Ax1,y1,由k1=y1x1−4又y1y2=−4故1k1−1k2=3y1+3因为△ABT的面积由y1y2=−4,得y1=1当y1=4时,y2=−故△ABT的面积为15219.解:(1)因为fx=ln−2x+ax若fx在区间−π4,0上单调递减,则x∈ −π4,0因为x∈−π4,0时,y=2cos2x−1x单调递增,所以x=−π4时,y=2(2)求函数gx极值点的个数，即求g′x在区间因为g′x令g′则h′x=1x−exx>0,因为h′x在区间0,+∞