第19章 二次根式（复习讲义）（解析版）-人教版(2024)八下

第十九章二次根式（复习讲义）1.了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之间的整体联系。2.能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。3.理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。4.掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类项）。5.理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能利用运算法则解决相关计算问题。一、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如a（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为非负数，即a有意义⇔a≥0；②二次根式无意义：被开方数为负数，即a无意义a<0.4.二次根式的性质①二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：二、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如三、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：a*b=ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①a*b*c=abc（a≥0；b≥0；c≥②ab*cd=acbd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：ab=a*b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：abcd=a*b*c*d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）题型一判断是否为二次根式【例1】下列是二次根式的是：（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数必是非负数成为解题的关键．根据二次根式的被开方数必是非负数逐项判定即可．【详解】解：A、无意义，不符合题意；B、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、，当时，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；D、，a为任意实数，，是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【变式1-1】下列式子是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二次根式有意义的条件【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意；B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意；故选：C．【变式1-2】下列各式中，不属于二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的概念和有意义的条件“二次根式的被开方数是非负数”求解即可．【详解】解：A、是二次根式，本选项不符合题意；B、，故是二次根式，本选项不符合题意；C、，故是二次根式，本选项不符合题意；D、当时，，故不是二次根式，本选项符合题意；故选：D．【变式1-3】下列式子中，不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】二次根式有意义的条件【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、是二次根式，不合题意；B、中，故不是二次根式，符合题意；C、是二次根式，不合题意；D、是二次根式，不合题意；故选：B．题型二根据二次根式有意义条件求范围【例2】要使式子有意义，则x的值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【知识点】二次根式有意义的条件【分析】根据“时，二次根式有意义”求解即可．本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，当时有意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：要使式子有意义，则，解得．故选：D．【变式2-1】若二次根式有意义，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二次根式有意义的条件【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，如果一个式子中含有二次根式，那么它们有意义的条件是：二次根式中的被开方数都必须是非负数．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，列式解答即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得：，故选：C．【变式2-2】在函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解．【详解】解：根据题意得：且，解得：且，故选：D．【变式2-3】若代数式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键．根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．【详解】解：代数式有意义，，．解得∶且．故选：D．题型三根据二次根式有意义求值【例3】已知x，y为实数，若满足，则的值为．【答案】5【知识点】已知字母的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可．本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．【详解】解：有意义，故，解得，故，故，故答案为：5.【变式3-1】若，求的值是．【答案】2【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答．【详解】解：根据题意得：，解得：，则，∴，故答案为：2．【变式3-2】若、都是实数，且，则．【答案】【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得出，求出，得到，代入计算即可得到答案．【详解】解：，，解得：，，，，故答案为：．【变式3-3】已知，则．【答案】【知识点】有理数的乘方运算、二次根式有意义的条件【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可．【详解】解：根据题意得，，解得，，，故答案为：．题型四最简二次根式的判断【例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解．【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；B、，不是最简二次根式，不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、，不是最简二次根式，不符合题意．故选：C．【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意；B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意；C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意；故选：A．【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可．【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意；C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．【变式4-3】下列二次根式是最简二次根式的为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】最简二次根式的判断【分析】本题考查最简二次根式定义与识别，最简二次根式必须满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母；根据最简二次根式定义逐项验证即可得到答案，熟记最简二次根式满足的条件是解决问题的关键．【详解】解：A、中被开方数含有能开方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；B、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、中被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；故选：C．题型五同类二次根式的判断与求参数【例5】下列二次根式中，不能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式、二次根式的加减运算【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．【详解】解：A．，能与合并，不符合题意；B．，不能与合并，符合题意；C．，能与合并，不符合题意；D．，能与合并，不符合题意；故选：B．【变式5-1】下列二次根式中，化简后能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意；B．，不能与合并，不符合题意；C．，不能与合并，不符合题意；D．，能与合并，符合题意；故选：D．【变式5-2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为．【答案】【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可．【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，∴与是同类二次根式，∴，解得，当时，，，二者均为最简二次根式，符合题意，故；故答案为：．【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则．【答案】4【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可．【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴被开方数相等，即，．故答案为4．题型六二次根式的混合运算【例6】计算题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；（2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式6-1】计算：(1)(2)【答案】(1)0(2)【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．（1）先计算绝对值、乘方、二次根式的除法，再计算加减法即可；（2）先计算完全平方公式、二次根式的化简、立方根，再去括号，计算乘法，最后计算加减法即可．【详解】（1）解：（2）解：．【变式6-2】计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键．（1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可；（2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可；【详解】（1）解：（2）解：【变式6-3】计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答．（2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答．【详解】（1）解：（2）解题型七利用二次根式的性质化简【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，化简：．【答案】【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将被开方数因式分解，然后再根据二次根式性质结合，进行化简求值即可．【详解】解：原式．，，，原式．【变式7-1】（25-26八年级下·全国·周测）若三角形两条边的长分别为3和5，第三条边的长为，化简：．【答案】【分析】本题考查了三角形的三边关系与二次根式的化简，掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，及的化简规则是解题的关键．先利用三角形三边关系求出第三条边的取值范围，再将根号内的式子化为完全平方式，结合的范围判断根号内式子的正负，去掉根号后进行化简．【详解】解：由三角形的三边关系，得，，，原式．【变式7-2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．(1)求的值；(2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两点间的距离公式确定的值，再代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可；（2）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于、的方程，解方程求出、，继而得到的值，再根据平方根的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵点表示，且一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，∴，∴；（2）∵与互为相反数，，，∴，∴，，解得：，，∴，∴的平方根是．【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分）化简：．解：隐含条件，解得．所以．所以原式．【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：．【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简．【答案】（1）

(2)【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键．（1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．（2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答．【详解】（1）∵，∴，∴，∴原式，，，．（2）∵实数在数轴上的位置如图所示，∴，，∴原式，，．题型八二次根式中的新定义型问题【例8】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”．(1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____．(2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由．【答案】(1)；；④(2)是；理由见解析【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．（1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”；（2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断．【详解】（1）解：∵，∴与是关于的“实验数”；∵，∴与是关于的“实验数”，即；∵，∴，∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④；（2）解：与是关于的“实验数”．理由如下：∵，∴，∴与是关于的“实验数”．【变式8-1】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且．(1)求的值；(2)化简．【答案】(1)4(2)【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算【分析】本题考查二次根式的混合运算．（1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可；（2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式8-2】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．(1)若与是关于6的美好二次根式，求的值：(2)若与是关于的美好二次根式，求和的值．【答案】(1)；(2)，．【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解【详解】（1）解：由题意可得，，∴；（2）解：由题意可得，，整理得，，，∴∴，∴．【变式8-3】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：如：，．根据上述定义，解决下列问题：(1)______，______；(2)若，求x的值．【答案】(1)，(2)【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算、二次根式的混合运算、解分式方程（化为一元一次）【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程：（1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可；（2）分和，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：，∵，∴；故答案为：，；（2）当，即：时，则：，解得：，经检验，是原方程的解，∵，∴（舍去）；当，即：时，则：，∴或（舍去）；∴．题型九二次根式中的分母有理化【例9】【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式．【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化．例：．结合上述材料，解决问题：(1)的有理化因式是，的有理化因式是；(2)利用分母有理化化简：．【答案】(1)；(2)【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是解题的关键．（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；（2）利用分母有理化进行化简即可求得答案．【详解】（1）解：∵，∴的有理化因式是，∵，∴的有理化因式是；故答案为：；；（2）解：．【变式9-1】像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．(1)化简：①．②．(2)计算(3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由．【答案】(1)①，②(2)(3)【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键．（1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可；（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；（3）由题意得，同理：，，则，进而可得．【详解】（1）解：①，故答案为：；②解：，故答案为：；（2）解：．（3）解：；理由如下；∵，∴，同理：，，∴，∴．【变式9-2】观察下列式式子的化简过程：①；②；③；…(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；(2)求的值．【答案】(1)，；(2)．【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键．（1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；（2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；（3））由将原式化简，再进行加减运算即可．【详解】（1）解：第四个等式为，；（2）∵∴．【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程：（Ⅰ）；（Ⅱ）；请完成下列问题：(1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简）(2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________；(3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是：；(4)试利用上面所提供的思路，解方程：．【答案】(1)，(2)(3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）(4)【知识点】分母有理化【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；（2）根据平方差公式，进行分母有理化即可；（3）根据分母有理化的方法即可求解；（4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案．【详解】（1）解：；故答案为：，．（2）（3）①可以利用平方差公式进行分母有理化；②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数；③，等等.（结论合理、正确就行）故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）．（4）解：题型十二次根式中的规律探究问题【例10】观察下列各式及其验证过程：．验证：．．验证：(1)按照上述规律，直接写出的结果是___________(2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明．【答案】(1)(2)（n为自然数，且），证明见解析【知识点】二次根式的混合运算【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．（1）根据规律，可得到答案．（2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：（n为自然数，且），证明：【变式10-1】；；；(1)写出_________；(2)猜想：_________；(3)由以上规律，计算的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解；（）根据规律直接得出结果即可；（）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可；本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键．【详解】（1）∵；；；；；（2）；；；；；（3）由（）可得，．【变式10-2】观察下列等式：①，②，③，…解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．（1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案；（2）根据，，，，得出规律，从而得到答案．【详解】（1）解：由第①个等式，得由第②个等式，得由第③个等式，得∴第⑤个等式应为：，得．（2）解：第1个等式中分母为，第2个等式中分母为，第3个等式中分母为，第4个等式中分母为，得第个等式中分母为应为：∴第个等式为：，∵左边，右边，∴左边右边．【变式10-3】观察下列各式①；②；③……请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题：(1)_________；(2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________；(3)用上述规律计算：．【答案】(1)或或(2)(3)【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键．（1）根据所给算式的规律可直接得出答案；（2）根据所给算式得出一般性规律即可；（3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算．【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得（或或）（2）解：根据题干所给算式的规律，可得（3）解：基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（

）A． B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于，列不等式求解即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴，∴，∴．选项中只有符合题意，故选：D．2．（上海市浦东新区几校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项．【详解】解：∵选项A：==，含完全平方因数4，不符合题意；选项B：被开方数含分母，不符合题意；选项C：被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意；选项D：=被开方数含分母，不符合题意；故选C．3．（重庆市大渡口区2025-2026学年九年级上学期第一次适应性考试数学试卷）估计的值应在（

）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间【答案】C【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为，通过估算的取值范围，确定整体值的区间即可．【详解】解：，又，，且，，，故选：C．4．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的乘法，二次根式的加法，二次根式的减法，根据运算法则逐项分析即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意；B、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意；C、，故原选项计算错误，不符合题意；D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：A．5．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答．【详解】解：由图知，，，∴，，∴．故选：A．二、填空题6．（25-26八年级上·上海松江·期末）要使有意义，则的取值范围是．【答案】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于列不等式，即可求解．【详解】解：要使有意义，∴被开方数，解不等式得，即．故答案为：．7．（25-26八年级上·河北张家口·月考）若与最简二次根式能合并，则的值为．【答案】1【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果．【详解】解：，∴被开方数为2，∵与最简二次根式能合并，又∵是最简二次根式，∴的被开方数与2相同，即，解得，故答案为：1．8．（25-26八年级上·全国·期末）若，则的值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件先确定x的值，再求y的值，最后计算即可．【详解】解：根据题意得：，且，解得，∴，∴，故答案为：2．9．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）已知，化简的结果是．【答案】1【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，先根据判断绝对值和根号内表达式的正负，再进行化简计算．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案为：1．10．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．例如：，则．【答案】【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键．根据新运算规则列出算式计算即可求解，【详解】解：由题意得，，故答案为：．三、解答题11．（25-26八年级下·全国·周测）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．12．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键．先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项．【详解】解：由图可知，，，，，，原式．13．（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值．(1)(2)【答案】(1)35(2)【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可；（2）根据平方，结合，再开算术平方根即可．【详解】（1）解：，，故，，；（2）解：，且，．14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下．，即请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】：(1)计算：．(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键．（1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可；（2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可．【详解】（1）解：，，，，原式．（2）解：，，，即，，．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，属于同类二次根式的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】B【分析】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同．把四组式子化成最简二次根式后根据同类二次根式的定义进行判断．【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；B、与被开方数相同，是同类二次根式；C、与被开方数不同，不是同类二次根式；D、与，被开方数不同，不是同类二次根式．故选：B．2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列计算中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的运算，根据算术平方根，立方根，二次根式的运算逐一进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：、，该选项计算错误，不符合题意；、由，则，该选项计算错误，不符合题意；、，该选项计算正确，符合题意；、，该选项计算错误，不符合题意；故选：．3．（25-26九年级上·四川内江·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知识点是解题的关键。根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可.【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴有意义，要求，即；有意义，要求，即.∴且.故选B.4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式．【详解】∵3，4，为三角形的三边长，∴,即，∴，，∴原式，故选：A．5．（25-26八年级上·重庆南岸·月考）算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：①化简：，一共有4种不同的形式；②化简：，一共有4种不同的结果；③若（n为正整数），则当时，．以上说法中正确的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题考查了算术平方根的性质，掌握其性质是关键；根据算术平方根的性质化简表达式，说法①有4种结果，说法②结果有3种，说法③先计算出，计算当时，即可判断．【详解】解：①∵，，，∴，由于a和b符号组合，有4种结果：，故①正确；②∵要求，即，∴原式，当时，原式，当时，原式，当时，原式，结果有3种不同结果，故②错误；③∵，∴，当时，均为负，均为正，，当时，，故③错误；综上，①正确；故选B．二、填空题6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）化简．【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．提取根号下的完全平方因子进行化简．【详解】解：．故答案为：．7．（2026·山东临沂·模拟预测）如果式子有意义，那么的取值范围是．【答案】【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，且二次根式中被开方数非负，列出不等式组求解即可．【详解】解：根据题意，得，解得．故答案为：．8．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是．【答案】6【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式混合运算，先估算的值，确定整数部分和小数部分，再代入表达式利用平方差公式计算即可．【详解】解：∵，∴的整数部分，小数部分，则，，∴．故答案为：6．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系．先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算．【详解】解：①计算长方形的面积：．根据二次根式乘法性质可得：．②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则：，．∵半径，∴．10．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算：．【答案】【分析】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式．【详解】解：∵，∴；∵，∴。原式=．故答案为：．三、解答题11．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先根据二次根式的性质化简各式，然后合并同类二次根式即可；（2）先将各二次根式化为最简二次根式，然后按照先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序进行计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．12．（25-26八年级上·上海静安·期末）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．（1）先化简二次根式，分母有理化，再合并同类二