第7章 相交线与平行线章末培优测试卷（必考点分类集训）（教师版）-人教版(2024)七下

第七章相交线与平行线章末测试卷能力提升培优测（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：相交线与平行线（人教版2024）。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A． B． C． D．【分析】两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可．【解答】解：A、∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；C、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；故选：A．2．（3分）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（）A．BC可能为1.95m B．BC可能为1.8m C．AB可能为1.85m D．AB可能为1.95m【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，∴1.85m≤BC＜1.95m，∵AB＞BC，∴AB可能为1.95m，故选项D符合题意．故选：D．3．（3分）如图，直线AB与直线CD被直线EF所截，分别交AB、CD于点F、M，过点M作射线MN，则图中∠1的同位角有（）A．∠3 B．∠2或∠DME C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME【分析】根据同位角的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：由题意可知，∠1的同位角为∠2，或者∠DME．故选：B．4．（3分）如图，下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠A+∠ABC＝180°，④∠A＝∠5，其中能判定AB∥DC的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据平行线的判定定理，能够判定AB∥DC是②④，而条件①③是判定AD∥BC．【解答】解：①∠1＝∠2，内错角相等，两直线平行，则AD∥BC．②∠3＝∠4，内错角相等，两直线平行，则AB∥DC．③∠A+∠ABC＝180°，同旁内角互补，两直线平行，则AD∥BC．④∠A＝∠5，同位角相等，两直线平行，则AB∥DC．故选：B．5．（3分）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（）A．两个角互为邻补角 B．α＝90°，α的补角β＝90°，β＝α C．α＝120°，α的补角β＝60°，β＜α D．α＝80°，α的补角β＝100°，β＞α【分析】根据“任何一个角的补角都不小于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角小于这个角，进行判断作答即可．【解答】解：由题意知，“任何一个角的补角都不小于这个角”反证法的假设是，至少有一个角的补角小于这个角，A中互为邻补角可以是∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α，错误，故不符合要求；B中∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α，错误，故不符合要求；C中∠α＝120°，∠α的补角∠β＝60°，∠β＜∠α，正确，故符合要求；D中∠α＝80°，∠α的补角∠β＝100°，∠α＜∠β，错误，故不符合要求；故选：C．6．（3分）下列说法中：①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据邻补角、角平分线以及垂直的定义分析即可；②根据平行线的性质分析即可；③根据点到直线的距离的定义分析即可；④根据平行线公理分析即可．【解答】解：①互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直，故①正确；②两条直线被第三条直线所截，同位角不一定相等，故②错误；③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，故③错误；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④错误．故选：A．7．（3分）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝12，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．60 B．96 C．84 D．42【分析】由题意可得S△ABC＝S△DEF，故S阴影＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO，再根据平移的性质得到BE＝6，OE＝DE﹣OD＝AB﹣OD＝8，最后根据梯形的面积公式即可解答．【解答】解：由题意可得S△ABC＝S△DEF，DE＝AB＝12，梯形ABEO是直角梯形，∴S阴影＝S△DEF﹣S△OEC＝S△ABC﹣S△OEC＝S梯形ABEO．∵DE＝AB＝12，DO＝4，∴OE＝DE﹣DO＝8，∵平移距离为6，∴BE＝6，∴S阴影故选：A．8．（3分）将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°，∠A＝30°．若∠1＝α°，则∠3﹣∠2的大小为（）A．30° B．60° C．（30+α）° D．（30+2α）°【分析】过B作BK∥MN，得到BK∥PQ，推出∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，得到∠2+α°＝60°，因此2∠2+2α°＝120°，由三角形内角和定理得到∠3+∠2＝150°，即可求出∠3﹣∠2＝（30+2α）°．【解答】解：过B作BK∥MN，∵MN∥PQ，∴BK∥PQ，∴∠5＝∠1＝α°，∠6＝∠2，∴∠2+α°＝∠5+∠6＝∠ABC＝60°，∴2∠2+2α°＝120°，∵∠3+∠4＝180°﹣∠A＝150°，∠4＝∠2，∴∠3+∠2＝150°，∴∠3+∠2﹣（2∠2+2α°）＝150°﹣120°，∴∠3﹣∠2＝（30+2α）°．故选：D．9．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α﹣∠β+∠γ＝180° C．∠γ+∠β﹣∠α＝90° D．∠α+∠β+∠γ＝180°【分析】根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，进而利用角的关系解答即可．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF＝∠β+∠COF，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∴∠α﹣∠β+∠γ＝180°，故B正确．故选：B．10．（3分）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（）A．20° B．50° C．70° D．120°【分析】当点H在点P左侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利用内角和定理求出∠PHA即可；当点H在点P右侧时，C作CQ∥MN，求出∠PCB，利用反射定律求出∠HAP，再利用内角和定理求出∠PHA．【解答】解：当点H在点P左侧时，当ABM＝20°时，过点C作CQ∥MN，如图1所示，∵MN∥EF，MN∥CQ，∴MN∥EF∥CQ，∴∠PCQ＝∠EPC＝30°，∵∠BCQ＝∠ABM＝20°，∴∠PCB＝50°，依据反射定理可知，∠PCB＝∠HCA＝50°，∴∠HAP＝80°，∴∠PHC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，当点H与点P重合时，认为∠PHC＝150°，∴当点H在点P左侧时，70°≤∠PHG≤150°；当点H在点P右侧时，当∠ABM＝70°时，如图2所示，过点C作CQ∥MN，∴∠PCQ＝∠EPG＝30°，∵∠BCQ＝∠ABM＝70°，∴∠PCB＝100°，依据反射定理可知，∠PCA＝∠HCB＝100°，∴∠HAP＝200°﹣180°＝20°，∴∠PHC＝180°﹣20°﹣150°＝10°，当点H与点P重合时，认为∠PHC＝30°，∴当点H在点P右侧时，10°≤∠PHC≤30°，由上述解答可知，70°≤∠PHC≤150°或10°≤∠PHC≤30°，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）请将命题“平行于同一直线的两直线互相平行”改成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．【分析】先找出命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式即可．【解答】解：题设是平行于同一直线的两直线，结论是这两直线互相平行，因此写成如果……那么……的形式为：如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线互相平行，故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行．12．（3分）如图，将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，连结BE，若CD＝3，AF＝7，则BE的长为2．【分析】根据平移的性质得到BE＝AD，DF＝AC，结合图形计算，得到答案．【解答】解：由平移的性质可知，BE＝AD，DF＝AC，则DF﹣DC＝AC﹣DC，即CF＝AD，∴AD=∴BE＝2，故答案为：2．13．（3分）如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝70°时，木条a与b平行．【分析】由同位角相等，两直线平行，即可求解．【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b，∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°，∴∠3＝∠1，∴a∥b，故答案为：70．14．（3分）已知∠A与∠B一边互相垂直，另一边互相平行，且∠A比∠B大30°，则∠A的度数为60°或150°．【分析】如图所示，根据平行线的性质和垂直的性质分两种情况进行讨论求解即可．【解答】解：①如图所示，∠CPE＝∠A，即OB∥PE，CP⊥OD，∴∠B＝∠EPD，∠CPE+∠EPD＝90°，∴∠A+∠B＝90°，又∵∠A比∠B大30°，∴∠A+∠A﹣30°＝90°，∴∠A＝60°．②如图所示，∠CPE＝∠A，即OB∥PE，CP⊥OD，∴∠B＝∠EPD，∠CPD＝90°，∴∠A＝∠EPD+90°＝∠B+90°，∴∠A比∠B大90°（不符合题意），如图，BH∥AF，BG⊥AE，设∠A＝x．则∠ABH＝180°﹣x，∠GBH＝90°+180°﹣x＝1＝270°﹣x，∵x﹣（270°﹣x）＝30°，∴x＝150°．故答案为：60°或150°．15．（3分）如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是15°．【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF＝∠CFE＝55°，根据平角定义，则图②中的∠DEG＝70°，进一步求得图③中∠GEF＝55°，进而求得图③中的∠DEF的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．故答案为：15°16．（3分）如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°，165°，135°．【分析】根据题意，分别作出能使三角板ABC有一条边与DE平行的图形，要点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，再根据平行线的性质，得到结果．【解答】解：①图1，DE∥AB，∴∠ABD＝∠D＝45°；②图2，DE∥AC，延长DB交CA的延长线于F点，∴∠F＝∠D＝45°，∴∠ABF＝∠CAB﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，∴∠ABD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣15°＝165°；③图3，DE∥BC，∴∠CBD＝∠D＝45°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°+45°＝135°；综上所述，使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°，165°，135°，故答案为：45°，165°，135°．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，C是河岸AB外一点．（1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示；（2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．【分析】（1）根据平行线的定义画出直线l即可；（2）根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带．（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短．设计的理由是垂线段最短．18．（8分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵∠COA＝40°，∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，设∠AOC＝x，则∠COE=32∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，∴x+32x+90°＝解得：x＝36°，∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，∴2∠DOF+36°＝180°，解得：∠DOF＝72°．19．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△A'B'C'；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是AA'∥CC'，AA′＝CC′，线段AC扫过的图形的面积为10．（4）在AB的右侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有8个．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据三角形高的定义画出图形即可．（3）利用分割法求解即可．（4）构造菱形ACBQ，利用等高模型解决问题即可．【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．（2）如图，线段BD即为所求作．（3）AA′∥CC′，AA′＝CC′．线段AC扫过的图形的面积为2×10﹣2×12×1×4﹣2×12×故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′.10．（4）满足条件的点Q有8个，故答案为：8．20．（8分）请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据：AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？解：BE∥DF，理由如下：∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC＝90°，即∠3+∠4＝90°（等量代换），又∵∠1+∠2＝90°（已知），且∠2＝∠3，∴∠1＝∠4（等角的余角相等），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：BE∥DF，理由如下：∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC＝90°，即∠3+∠4＝90°（等量代换），又∵∠1+∠2＝90°（已知），且∠2＝∠3，∴∠1＝∠4（等角的余角相等），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：90；90；等量代换；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．21．（8分）如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD与EC平行吗？请说明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝76°，求∠FAB的度数．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出AB∥CD，进而得出∠ADC+∠3＝180°，即可得出答案；（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FAD＝∠AEC＝90°，即可得出答案．【解答】（1）AD与EC平行，证明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代换），∴AD∥CE（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC=12∠BDC＝∴∠2＝∠ADC＝38°（已证），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定义），∵AD∥CE（已证），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（两直线平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．22．（10分）铁一陆港七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，AB∥CD，M是AB、CD之间的一点，连接BM，DM，则有∠B+∠D＝∠BMD．请你证明这个结论．（2）如图2，M、N是AB、CD之间的两点，且2∠M＝3∠N，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，直接写出∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系．【分析】（1）如图，过M作MN∥AB．得AB∥MN∥CD，故∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，因此∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD；（2）过点N作CD的平行线NE，设∠M＝x，则∠N=2【解答】（1）证明：如图，过M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠B＝∠BMN，∠D＝∠BMN，∴∠B+∠D＝∠BMN+∠DMN＝∠BMD；（2）解：∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：13理由如下：如图：过点N作CD的平行线NE．∵AB∥NE，∴由“猪蹄模型”知∠B+∠MNE＝∠M，设∠M＝x，则∠N∴∠MNE＝x﹣∠B，∠1=∠N∵NE∥CD，∴∠1＝∠C，∴∠B∴13即：13∴∠B、∠C、∠M三者之间的数量关系：1323．（10分）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣8|+（b﹣2）2＝0．（1）a＝8，b＝2；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？【分析】（1）依据非负数的性质即可得到a，b的值；（2）依据∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射线AM、射线BQ第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM′′，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．【解答】解：（1）∵|a﹣8|+（b﹣2）2＝0，|a﹣8|≥0，（b﹣2）2≥0，∴a﹣8＝0，b﹣2＝0，∴a＝8，b＝2，故答案为：8；2；（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直，如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，又∵∠OBQ＝2t°，∠OAM＝8t°，∴2t+8t＝90，∴10t＝90，∴t＝9，∴至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直；（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM′的位置，则∠MAM′＝15×8＝120°，∴∠M′AB＝180°﹣45°﹣120°＝15°；分两种情况：①当180°-45°-120°8=1.875＜t＜7.5时，∠QBQ′＝2t°，∠M∵PQ∥MN，∴∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝∠M′AM″﹣∠M′AB＝8t°﹣15°，当∠ABQ′＝∠BAM″时，BQ′∥AM″，∴45﹣2t＝8t﹣15，∴10t＝60，解得t＝6；②当7.5＜t＜13.125时，∠QBQ′＝2t°，∠NAM″＝8（t﹣7.5）°＝8t°﹣60°，∴∠ABQ′＝45°﹣2t°，∠BAM″＝45°﹣（8t°﹣60°）＝105°﹣8t°，当∠ABQ′＝∠BA