第19章 二次根式（知识清单）（解析版）-人教版(2024)八下

第十九章二次根式一、二次根式1.二次根式的概念:一般地，我们把形如a（a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．如都是二次根式.2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数.3.二次根式有无意义的条件①二次根式有意义：被开方数为非负数，即a有意义⇔a≥0；②二次根式无意义：被开方数为负数，即a无意义a<0.4.二次根式的性质①二次根式（）的非负性（）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）．②二次根式的性质：（）③二次根式的性质：二、最简二次根式与同类二次根式1.最简二次根式（1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式2.同类二次根式（1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。（2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如三、二次根式的运算1.二次根式的乘法（1）二次根式的乘法法则：a*b=ab（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变）（2）二次根式的乘法法则的推广:①a*b*c=abc（a≥0；b≥0；c≥②ab*cd=acbd（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.（3）二次根式的乘法法则的逆用：ab=a*b（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）（4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：abcd=a*b*c*d（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0）2.二次根式的除法（1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）（2）二次根式的除法法则的推广：.3.二次根式的加减法（1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（2）二次根式加减运算的步骤：①化：将各个二次根式化成最简二次根式；②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。4.二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）易错点1利用二次根式的性质化简易错点总结忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简\sqrt{a^2}时，直接得出a，而未考虑a的正负；对二次根式性质的运用条件把握不准。注意事项化简前先明确被开方数的取值范围；运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。例1-1：（25-26八年级下·全国·周测）已知三角形的三条边的长分别为5，，，化简的结果是．【答案】【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号转化为绝对值，结合的范围化简绝对值，最后计算式子结果．根据三角形三边关系确定的取值范围，再利用绝对值的性质化简表达式．【详解】解：由三角形三边关系，得．，．∴原式．故答案为：．例1-2：（25-26八年级上·安徽宿州·期中）归纳与探究：（1）计算：_____，_____，，_____；（2）猜想：对于任意实数，一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？（3）应用：已知实数，在数轴上的位置如图所示，计算：【答案】（1）3，5，，；（2）对于任意实数a，不一定等于a，；（3）【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键．（1）分别计算各式的值即可；（2）根据（1）中各式运算结果，归纳出探究结果即可；（3）根据字母a、b在数轴上的位置得出，然后根据（2）的结论化简即可．【详解】解：（1），，，．故答案为：3，5，，；（2）由（1）各式计算结果可以发现：对于任意实数a，不一定等于a，；（3）由数轴得，，∴，∴．易错点2隐含条件下的二次根式化简易错总结1.忽视定义域：未从隐含条件（如a<0）判断字母符号，导致开方后未加绝对值或符号处理错误。2.公式机械套用：直接套用a2=a，忽略a3.条件利用不全：仅利用部分条件，未综合判断整个式子的正负。4.注意事项：化简前先根据条件确定各字母符号；严格遵循a2=|a|)例2-1：（25-26八年级上·上海·月考）化简二次根式．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件，解题的关键是先根据二次根式的被开方数非负确定的范围，再将根号外的因式移到根号内化简．先由得，从而确定的符号；再将变形为负的形式，移到根号内进行化简．【详解】解：由二次根式有意义的条件，得，，即，．原式．故答案为：．例2-2：（25-26八年级上·上海·月考）化简：当时，．【答案】【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简．由条件且平方根内表达式非负，推出且，再将平方根内的表达式分解为平方因子和非平方因子进行化简，即可求解．【详解】解：∵，且为实数，∴，∵和，∴，即，∵，∴且．∴．故答案为：．易错点3复合二次根式的化简易错点总结一是忽略对被开方数整体的分析，盲目拆分。二是没有考虑化简结果的形式，化简不彻底，或者在开方运算时，没有注意到算术平方根的非负性，出现符号错误。注意事项化简前仔细观察被开方数的特征，寻找合适的拆分组合；牢记算术平方根的非负性，在开方运算时，对结果进行符号判断和验证，确保化简结果最简且符合数学规则。例3-1：（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，例如，，那么，我们可以利用完全平方公式来解决下面的问题：例1

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．例2

求的算术平方根．解：，所以的算术平方根是．请根据上面的方法化简：(1)___________；(2)___________；（直接写出化简结果）(3)化简：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了复合二次根式，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答．（2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答．（3）同理得，，再分别代入进行化简，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，即；（2）解：依题意，，∴；（3）解：依题意，，∴；依题意，，则．例3-2：（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】∵．∴；∵，∴．【初步探索】（1）化简：；；（2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得，；【解决问题】（3）若，且，均为正整数，求的值；【答案】（1），；（2），；（3）【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键．（1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算；（2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可；（3）将所给式子两边平方求解即可．【详解】解：（1），，故答案为：，．（2）由题意可知：，∵，，，均为正整数，∴，，故答案为：，．（3）∵，∴，∴，∴，∴．易错点4与二次根式运算有关的新定义型题易错点总结一方面，对新定义理解不透彻，没准确把握运算规则就盲目套用。比如新定义中规定了特定的运算优先级，却按常规四则运算顺序进行计算。另一方面，忽略新定义的适用条件，在不符合条件的情况下使用新定义运算，导致结果错误。注意事项拿到题目后，反复研读新定义，圈画关键信息，明确运算规则与适用范围。在解题过程中，每一步运算都对照新定义检查，做完后再次核对是否符合新定义的要求，确保运算的准确性。例4-1：（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：(1)如果，则；如果，则；(2)①如果，求b的值；②若，求m与n的关系．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）根据倒数的定义求解即可；（2）①先根据倒数的定义求解，再分母有理化即可；②根据倒数的定义列式求解即可．【详解】（1）∵a、b互为倒数，，∴．∵a、b互为倒数，，∴．故答案为：；（2）①∵a、b互为倒数，，；②∵a、b互为倒数，，∴，即．例4-2：（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)已知：，则______；(2)化简：______；(3)计算：．【答案】(1)2(2)(3)【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化．（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；（2）分母有理化即可得答案；（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．【详解】（1）解：因为，所以．故答案为：2；（2）解：原式，故答案为：；（3）原式，．易错点5与二次根式运算有关的分母有理化易错总结1.有理化因子选错：对含多项式的分母，未使用共轭式进行有理化，导致无法消去根号。2.过程不完整：仅分子分母同乘有理化因子，忽略后续化简与合并同类项，结果非最简。3.符号错误：使用共轭式时，中间项的符号易出错。4.注意事项：先分析分母结构（单项式用同乘，二项式用共轭式）；运算过程清晰书写，避免跳步；最后检查结果是否为最简二次根式。例5-1：（25-26八年级上·上海·假期作业）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化：(1)；(2)；(3)（）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键．（1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可；（2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可；（3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）解：，，故．例5-2：（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，．(1)化简：__________．(2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________．(3)利用分母有理化计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化；（2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子；（3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果【详解】（1）解：分子分母同乘：原式．（2）解：分子分母同乘​：原式．（3）解：原式．易错点6与二次根式运算有关的规律题易错点总结其一，归纳规律时样本数量不足，仅依据少数几个计算结果就匆忙得出结论，导致规律总结错误。例如，只计算了前两三个二次根式的运算结果就总结通用规律。其二，没有深入分析数字或式子结构的特征，忽略了隐藏条件或变化趋势，像没发现根式中被开方数的底数或指数的变化规律。注意事项尽可能多地列举运算结果，扩大观察样本，提高规律准确性。同时，仔细剖析二次根式的结构，包括被开方数、系数等部分的变化，从多角度思考，确保准确归纳出规律。例6-1：（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”新湘教版八年级《数学》上册84页第10题描述了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等．【猜想】（1）______；【推理证明】（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确．【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值．【答案】（1）；（2）（，且n为正整数），见解析；（3）14或34或71【分析】本题考查二次根式的化简与求值，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可；（2）根据“穿墙”的定义，用表示即可；（3）根据“穿墙”的定义得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案．【详解】解：（1），证明如下，，故答案为：；（2），证明如下，；（3）∵∴根据（2）规律可得：∴∴∵a，b为正整数∴或或∴或或．例7-2：（25-26八年级上·山西晋中·期末）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有．请仿照上面的方法，解决下列各题：(1)化简：_____________，_____________；(2)若求的值；(3)根据以上规律计算下列式子的值：．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧．（1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理；（2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可；（3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果．【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得；对于，分子分母同乘，得．故答案为：，；（2）解：∵，，∴，，∴；（3）解：．一、单选题1．若，则可化简为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式有意义判断出，根据进一步确定出，，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：，，，，，，，故选：D．2．现对实数，定义一种运算：，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根和立方根，再依据新定义规定的运算计算可得．【详解】解：，，故选：A．3．一组数据按一定规律排列：，2，，，，，，…这组数据的第n项是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字的变化规律及二次根式的化简，解题的关键是从符号变化和根号内数字的规律两方面分析数据的排列特征．观察数据的符号，奇数项为负、偶数项为正，可确定符号规律；将各项化为统一的二次根式形式，分析根号内数字与项数的关系，进而得出第n项的表达式．【详解】将数据统一化为二次根式形式：第1项：；第2项：；第3项：；第4项：；由此可见，符号规律为，根号内的数字为2n，∴这组数据的第n项是．故选：C．二、填空题4．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是．【答案】33【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键．根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答．【详解】解：第1个数：；第2个数：；第3个数：；第4个数：；……第9个数是．故答案为：33．5．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为．【答案】/【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义运算计算即可．【详解】解：，故答案为：．6．已知实数a的取值范围是，化简代数式．的值为【答案】6【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质，结合，进行化简即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：6．三、解答题7．观察下列各式：；；．(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：________；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m（m为正整数，）表示的等式：__________；(3)利用上述规律计算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键．（1）（2）根据已知等式的规律可得结论；（3），在根据已知等式的规律可得答案．【详解】（1），故答案为：；（2）；故答案为：；（3）．8．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，；(3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数．【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息(2)，(3)见解析【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解；（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答