第20章 勾股定理（知识 10题型 分层检测）（复习讲义）（原卷版）-人教版(2024)八下

第二十章勾股定理（复习讲义）1.了解勾股定理的多种证明方法（如赵爽弦图、邹元治证法、总统证法），体会几何图形与代数关系之间的整体联系，感受数学文化的多样性。2.能用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的计算问题，能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。3.理解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，并能利用勾股定理及其逆定理解决实际问题（如测量、建筑等）。4.掌握将立体图形（如长方体、圆柱）的侧面展开转化为平面图形的方法，并能利用勾股定理求解最短路径问题。知识点01勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.知识点02勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点03勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.知识点04勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点05勾股定理的应用1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.2.平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解题型一勾股数的判断【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．，， B．，，1 C．4，5，6 D．9，40，41【变式1-1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3，【变式1-2】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．9，16，25 B．，，2 C．，2， D．5，12，13【变式1-3】（24-25八年级下·广东江门·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（）A．4，5，6 B．5，12，13 C．6，8，11 D．5，12，23题型二以直角三角形三边为边长的图形面积【例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（

）A．2 B．4 C．6 D．10【变式2-1】（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（

）A．7 B．10 C．20 D．34【变式2-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【变式2-3】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（）A．10 B．9 C．8 D．7题型三用勾股定理解三角形【例3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边．(1)已知，，求c；(2)已知，，求b．【变式3-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边，斜边，求这个直角三角形的周长．（2）在中，，，，求边上的高的长．【变式3-2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，、、是的三边长．(1)已知，，求的值；(2)若，，求，的值．【变式3-3】（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在中，为边上的高，边的“线高差”等于，记为．(1)若中，，则________；(2)如图②，在中，，求的值．题型四勾股定理与网格问题【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．(1)试判断的形状并说明理由；(2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为．【变式4-1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点．(1)请在网格中画出格点三角形，使，，；(2)求的面积．【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)__________．(2)连接，判断是什么三角形？请说明理由．(3)求四边形的面积．【变式4-3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为．(1)求四边形的面积；(2)是直角吗？题型五勾股定理与折叠问题【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长．【变式5-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求：(1)的长．(2)的面积．【变式5-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4．(1)求的长；(2)求的值；(3)求阴影部分的面积．【变式5-3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．(1)如图1，连接，当点落在上时，______；(2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；(3)当直线经过点D时，求的长．题型六勾股定理的应用【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米．(1)求观赏池边的长；(2)求草坪的面积．【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，．(1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）．【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？题型七判断能否构成直角三角形【例7】（25-26八年级上·全国·期中）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（24-25八年级下·广西·阶段练习）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）A．B．C．D．【变式7-3】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（

）A． B．C． D．题型八利用勾股定理的逆定理求解【例8】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长．【变式8-1】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：(1)的度数．(2)四边形的面积．（结果保留根号）【变式8-2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形中，．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．【变式8-3】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长．题型九勾股定理逆定理的应用【例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．【变式9-1】（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，．(1)求的长；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【变式9-2】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；(1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？【变式9-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)通过计算比较两条路线谁更短．题型十验证勾股定理的方法【例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．【变式10-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？【变式10-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．【初步探究】

（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）【结论运用】（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．①若，求的长．②若，的长比的长大2，求的长．【应用拓展】（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．

【变式10-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理；（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（

）；A．函数思想

B．整体思想

C．分类讨论思想

D．数形结合思想【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．基础巩固通关测基础巩固通关测一、单选题1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，82．（25-26八年级上·山西长治·期末）在中，a，b，c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．3．（25-26八年级上·四川雅安·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（

）A．24 B．16 C．12 D．64．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小明在小区玩秋千，静止时踏板离地面米．推动后踏板水平移动了4米，此时踏板离地面米．若秋千绳长不变且始终绷直，那么秋千的绳子长度为（

）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米5．（25-26九年级上·山东济宁·期末）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在数轴上A、B两点所表示的数是，，与数轴垂直，且，连接，以点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点所表示的数为．7．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为．8．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为米（旋梯宽度忽略不计）．9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，，分别是和的平分线，交于点，于点．若，，则的面积是．10．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为秒，连接，当为以为腰的等腰三角形时，的值为．三、解答题11．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)作的平分线交于点D，求的长．12．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．(1)请判断的形状，并说明理由；(2)过点作于点，求线段的长．13．（25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．(1)求渔船A与渔船B之间的距离．(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？14．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．能力提升进阶练能力提升进阶练一、单选题1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，112．（25-26八年级上·河南南阳·期末）在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（

）①；

②，，；③；

④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（

）A． B． C． D．4．（25-26八年级上·山西临汾·期末）下列选项中，正确的是（

）A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形C．在中，若，则是直角三角形D．的三边分别为，若，则是直角5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．点到直线的距离是2二、填空题6．（24-25八年级上·北京·期末）在中，．若，则长为，长为．7．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，CD平分，过点B作，垂足为点D，连接AD，若，则的面积为．8．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，一个直三棱柱盒子底面边长，高，是的中点，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是．9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：在一个三角形中，我们把一条边上的高与这条边的边长的比值叫做这条边的高比系数，记为．如果中，，，那么边的高比系数．10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒一个单位长度的速度向终点运动，连接．当点的运动时间为秒时，与的一边垂直．三、解答题11．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．(1)与垂直吗？请说明理由；(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．12．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，一动点D从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t．(1)求；(2)当时，求；(3)若平分，求t．13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）(1)求绳子的总长度；(2)如图2，若物体