第8章 实数能力提升自测卷（解析版）-人教版(2024)七下

第8章实数能力提升自测卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列各数中，是无理数的是（

）A．π4 B．0.1 C．9 D【答案】A【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…【详解】解：A、π4B、0.1C、9=3D、-22故选：A．2．下列说法正确的是（

）A．4的平方根是2 B．1的立方根是-C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根【答案】D【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误．【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，∴4的平方根是±2，选项A错误；∵负数没有平方根，0只有一个平方根，∴选项C错误；∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，∴1的立方根是1，选项B错误，任何实数都有一个立方根，选项D正确；故选：D．3．下列计算正确的是（

）A．-16=4 B．25=±5 C．-【答案】D【分析】本题考查了立方根和算术平方根的求解，根据算术平方根和立方根的定义分别判断各选项即可．【详解】解：A、负数没有算术平方根，故错误；B、25=5C、-3D、3-故选：D．4．估计10+2的值应在（

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【答案】A【分析】本题考查无理数的估算．通过确定10的取值范围，再计算10+2【详解】解：∵9<10<16，∴9<即3<10∴3+2<10即5<10∴10+2的值在5和6故选：A．5．已知322=1024, 332=1089, 342A．35 B．34 C．33 D．32【答案】B【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得1089<【详解】解：∵332=1089, ∴1089<1147<∵n-∴n=34故选：B6．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数-2，0，1，2，3，则表示数5-1A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上【答案】C【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出5的取值范围，从而求出5-【详解】解：∵2<5∴2-1<5-1<3-1由数轴可知表示5-1的点P应落在线段故选：C．7．-6，-2，-7A．-2>-6>-C．-7>-6【答案】A【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键．比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小.通过比较6、2、7的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系.【详解】解：∵-6<0，-2<0，且7>6∴-7<-即-2>-故选：A.8．若实数a，b同时满足a-A．ab>0 B．|b|-b=1 C【答案】B【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减．根据题意得出a>0，因此题干条件|a|-【详解】解：∵a-∴a>0∴a∴b即|b故选：B．9．若实数x的平方根为±7，y的立方根为-2，则代数式x+A．-1 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可．【详解】解：∵实数x的平方根为±7，y的立方根为-∴x=±7∴x+故选：A．10．对任何正实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1，6.6=6．对一个正实数先取算术平方根，再将结果取不超过算术平方根的最大整数，叫作一次操作．如对72进行如下操作：72→第一次72=8→第二次8=2→第三次2=1．这样对72只需进行3A．256 B．255 C．225 D．224【答案】B【分析】本题考查了算术平方根、估算无理数的大小的应用，根据a表示不超过a的最大整数，对各选项进行操作，找出只需进行3次操作变为1的最大整数即可解答．【详解】解：A、256第一次操作256=16，第二次操作16=4，第三次操作4=2∴256需要进行4次操作才变为1，不符合题意；B、255第一次操作255=15，第二次操作15=3∴255需要进行3次操作才变为1；C、225第一次操作225=15，第二次操作15=3，第三次操作∴225需要进行3次操作才变为1；D、224第一次操作224=14，第二次操作14=3，第三次操作∴224需要进行3次操作才变为1；∵255>225>224，∴只需进行3次操作变为1的所有整数中，最大的是255．故选：B．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）11．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是．【答案】5【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a【详解】解：分割图形如下：这个正方形的面积为：5×1故这个正方形的边长是：5．故答案为：5．12．设7的整数部分为m，19的整数部分为n，则m+n【答案】6【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数．估算7和19的整数部分，通过比较相邻平方数确定m和n的值，最后代入m+【详解】解：∵4<7<∴7的整数部分m=2∵16<19<∴19的整数部分n=4则m+故答案为：6．13．新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：运算（一）：f-2=-2-1=-3，f-1=-1-1=-2，f0=0-1=-1运算（二）：f-13=-3，f-1利用以上规律计算：f-2024【答案】0【分析】本题考查了新定义运算．根据新运算的定义，当输入x为整数时，fx=x-1；当输入x为形如1k【详解】解：f-f-则f-故答案为：0．14．若实数x，y，z满足x+|y-1|+z【答案】±2【分析】本题考查的是算术平方根、平方根，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．根据非负数的性质，平方根和绝对值均为非负数，它们的和为零时，每个部分均为零，从而求出x，【详解】解：∵x∴x=0，|y解得x=0，y=1，则x-∴(x-yz)2∴(x-yz故答案为：±2．三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）（1）计算：9+-（2）求x的值：x-【答案】（1）7；（2）x【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，根据立方根解方程．（1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算加法即可；（2）先移项，再根据立方根得到x-【详解】（1）解：9+（2）解：x-x-x-解得：x=416．（8分）已知a-3+3-a=0，3b(1)求a,(2)求3a【答案】(1)a(2)±【分析】本题主要考查平方根，算术平方根及其非负性，立方根的计算，理解题意，掌握平方根，立方根的计算是关键．（1）根据算术平方根及其非负性，可得a-3=0，可求出a的值，再由立方根的性质可得3b+2=-1，可求出b的值，再估算出（2）把a=3,b=-1,【详解】（1）解：∵a-∴a-∴a-3=0，解得：∵3b+2的立方根是∴3b解得：b=-1∵9<10<16，∴3<10∵c是10的整数部分，∴c=3（2）解：当a=3,b=-1,∴3a+b17．（8分）观察下表，并用所得的规律解决问题：a0.00111000100000030.1110100(1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位；(2)应用：①已知30.000456≈0.07697，则3②已知33000≈14.42，则3(3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：6≈2.449，60【答案】(1)三；一(2)①7.697；②1.442；(3)0.7347．【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律．（1）根据题干中的例子总结规律即可；（2）根据总结的规律即可求得答案；（3）将原式变形后根据规律计算即可．【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位，故答案为：三；一；（2）解：根据总结的规律可得：345633故答案为：①7.697；②1.442；（3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位，∵6≈2.449，∴0.5418．（8分）根据物理学原理可知，用电器的电阻R（单位：Ω）、功率P（单位：W）与它两端的电压U（单位：V）之间有如下关系：P=U2R．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为【答案】该灯泡两端的电压是120【分析】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用．根据P=U2【详解】解：根据题意得R=12Ω，代入P=U2整理，得U2∵U>0∴U=答：该灯泡两端的电压是120V19．（8分）我们规定，若实数a,b满足a-m=m-(1)若a与8是关于4的对称数，则a的值是____________；(2)若25-1与11-25是关于(3)若有理数x,y满足2×x+3=y【答案】(1)0(2)5(3)是关于7的对称数【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义可得a-（2）根据新定义可得25（3）根据题意可得3x-2+y-2x=0，根据x、y都是有理数，得到x【详解】（1）解：∵a与8是关于4的对称数，∴a-解得a=0（2）解：∵25-1与11-2∴25∴25解得m=5（3）解：∵2×x∴2x∴3x∵x、y都是有理数，∴x-∴x-∴x=2∴x+2=2+∴x+∴x+∴x+2与3y20．（8分）小斌对书本第99页第14题进行了改编，如下：如图，一个瓶子的容积为540mL，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20cm；倒放时，空余部分的高度为请解答下列问题：(1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？(2)求正方体容器的棱长．【答案】(1)432立方厘米；(2)6厘米．【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．（1）设瓶内溶液的体积为xmL，则空余部分的体积为520xmL，根据瓶子的容积为（2）设正方体的棱长为y厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为xmL，则空余部分的体积为5依题意，得：x+解得：x=432432mL答：瓶内溶液的体积为432立方厘米．（2）解：设正方体的棱长为y厘米，据题意，得：2y解得：y=6答：正方体容器的棱长为6厘米．21．（8分）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式1+112+1(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；(3)对于任何实数a，a表示不超过a的最大整数，如3=3，5=2，计算：【答案】(1)1+(2)1+(3)2023【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．（1）根据题中所给信息可判结果；（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；（3）根据规律将原式进行正确变形求解；【详解】（1）解：∵第一个等式1+1第二个等式1+1第三个等式1+1∴根据规律可猜测第五个等式为1+1（2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为1+1（3）解：依题意，根据规律可化简：原式========2023．22．（10分）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究2的近似值，以下是他的探究过程：面积为2的正方形边长为2，可知2＞1，因此设2＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即2≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究7的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的7的近似值的基础上，再探究一次，使求得的7的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；(3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜b＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示b的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)b【分析】（1）设7＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（2）设7＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案；（3）设b=n+r，面积为b的正方形由一个边长为【详解】（1）解：∵2.62∴7＞2.6，设7＝2.6＋r，如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，∴S正方形∵r2较小故略去，得5.2r＋6.7