复分析考试题及答案

复分析考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.函数$f(z)=z^2$在$z=1+i$处的导数是（）A.$2i$B.$2+2i$C.$2-2i$D.$-2i$2.若$z=x+iy$，则$\sinz$的实部是（）A.$\sinx\coshy$B.$\cosx\sinhy$C.$\sinx\sinhy$D.$\cosx\coshy$3.设$C$为正向圆周$|z|=2$，则$\oint_{C}\frac{1}{z-1}dz$的值为（）A.$0$B.$2\pii$C.$\pii$D.$4\pii$4.函数$f(z)=\frac{1}{z(z-1)}$在$z=0$处的奇点类型是（）A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.解析点5.幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}z^n$的收敛半径是（）A.$0$B.$1$C.$\infty$D.$2$6.若$f(z)$在区域$D$内解析，则$f(z)$在$D$内（）A.可导但不连续B.连续但不可导C.可导且连续D.既不可导也不连续7.设$z=re^{i\theta}$，则$\lnz$的主值支为（）A.$\lnr+i\theta$，$-\pi\lt\theta\leq\pi$B.$\lnr+i\theta$，$0\leq\theta\lt2\pi$C.$\lnr+i\theta$，$\theta\inR$D.以上都不对8.函数$f(z)=e^z$的周期是（）A.$2\pii$B.$\pii$C.$2\pi$D.$\pi$9.设$C$为正向圆周$|z|=3$，则$\oint_{C}\frac{z}{z^2-1}dz$的值为（）A.$0$B.$2\pii$C.$4\pii$D.$\pii$10.若$f(z)$在$z_0$处解析，则$f(z)$在$z_0$的某邻域内（）A.可展成幂级数B.不可展成幂级数C.只能展成洛朗级数D.以上都不对二、多项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在复平面内解析的有（）A.$f(z)=z^3$B.$f(z)=\sinz$C.$f(z)=\frac{1}{z}$D.$f(z)=e^z$2.关于留数，下列说法正确的有（）A.留数是一个复数B.可去奇点处留数为0C.极点处留数一定不为0D.本性奇点处留数可能为03.幂级数的性质有（）A.在收敛圆内绝对收敛B.在收敛圆内一致收敛C.和函数在收敛圆内解析D.可逐项求导和积分4.若$f(z)$在区域$D$内解析，则（）A.$f(z)$满足柯西-黎曼方程B.$f(z)$的实部和虚部都是调和函数C.$f(z)$在$D$内有任意阶导数D.$f(z)$在$D$内的积分与路径无关5.下列关于复变函数积分的说法正确的有（）A.若$f(z)$在单连通区域$D$内解析，则$\oint_{C}f(z)dz=0$B.复变函数积分与路径有关C.柯西积分公式可用于计算积分D.留数定理可用于计算积分6.函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$的奇点有（）A.$z=1$B.$z=2$C.$z=0$D.$z=\infty$7.设$C$为正向简单闭曲线，$f(z)$在$C$所围区域内解析，则（）A.$\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\piif(z_0)$（$z_0$在$C$内）B.$\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz=\frac{2\pii}{n!}f^{(n)}(z_0)$（$z_0$在$C$内）C.$\oint_{C}f(z)dz=0$D.$\oint_{C}\frac{1}{z-z_0}dz=2\pii$（$z_0$在$C$内）8.下列函数中，周期为$2\pii$的有（）A.$e^z$B.$\sinz$C.$\cosz$D.$\tanz$9.若$f(z)$在区域$D$内解析且$f^\prime(z)=0$，则（）A.$f(z)$为常数B.$f(z)$的实部为常数C.$f(z)$的虚部为常数D.$f(z)$的模为常数10.关于洛朗级数，下列说法正确的有（）A.洛朗级数包含正幂项和负幂项B.可用于表示在圆环域内解析的函数C.收敛域为圆环域D.可通过洛朗级数求留数三、判断题（每题2分，共20分）1.若$f(z)$在$z_0$处可导，则$f(z)$在$z_0$处解析。（）2.复变函数的积分与路径一定有关。（）3.可去奇点处的留数为0。（）4.幂级数在收敛圆上一定收敛。（）5.若$f(z)$在区域$D$内解析，则$f(z)$的实部和虚部在$D$内都是调和函数。（）6.函数$f(z)=\frac{1}{z^2}$在$z=0$处的奇点类型是本性奇点。（）7.设$C$为正向圆周$|z|=1$，则$\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pii$。（）8.若$f(z)$在区域$D$内解析且$f(z)$恒为实数，则$f(z)$为常数。（）9.复变函数的导数与实变函数的导数定义形式相同。（）10.洛朗级数的收敛域一定是圆环域。（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述柯西-黎曼方程的内容。2.说明留数定理的主要内容。3.幂级数收敛半径的求法有哪些？4.简述解析函数的性质。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论函数$f(z)=\frac{1}{z^2-1}$的奇点类型和留数。2.讨论幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$的收敛性与和函数的性质。3.讨论复变函数积分与实变函数积分的联系与区别。4.讨论解析函数在复分析中的重要性。答案一、单项选择题1.B2.A3.B4.B5.B6.C7.A8.A9.C10.A二、多项选择题1.ABD2.ABD3.ACD4.ABCD5.ACD6.AB7.ABCD8.ABC9.ABCD10.ABCD三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$内有定义，则$f(z)$在$D$内一点$z=x+iy$可导的充要条件是$u(x,y)$和$v(x,y)$在点$(x,y)$可微，且满足$\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}$，$\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}$。2.设$C$是一条正向简单闭曲线，函数$f(z)$在$C$所围区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外解析，在闭区域$\overline{D}=D+C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外连续，则$\oint_{C}f(z)dz=2\pii\sum_{k=1}^{n}\text{Res}[f(z),z_k]$。3.有两种求法：一是公式法，若$\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$（$\rho\neq0,\infty$）；二是根值法，若$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho$，则$R=\frac{1}{\rho}$（$\rho\neq0,\infty$）。4.解析函数在其解析区域内可导且连续，满足柯西-黎曼方程，其实部和虚部是调和函数，有任意阶导数，可展成幂级数，积分与路径无关等。五、讨论题1.令$z^2-1=0$，得奇点$z=\pm1$，均为一阶极点。由留数公式$\text{Res}[f(z),z_0]=\lim_{z\rightarrowz_0}(z-z_0)f(z)$，可得$\text{Res}[f(z),1]=\frac{1}{2}$，$\text{Res}[f(z),-1]=-\frac{1}{2}$。2.幂