湖南省益阳市部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 答案

2025年下学期高一年级十二月月考数学时间：100分钟总分：150分姓名：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定形式可得答案.【详解】命题“”的否定是.故选：A.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由被开方数大于等于零和分母不为零列不等式组求解即可.【详解】由题意可得，解得且，所以函数的定义域为.故选：C3.小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率.【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为.根据以上判断，只有B吻合，故选：B.4.已知，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由指数函数的单调性可判断充分性，举反例可判断必要性.【详解】由指数函数的性质，当“”可以推出“”，故充分性成立；取，，则，但，所以必要性不成立，综上，，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：周）的关系为（为常数），则下列说法中正确的是（）A.浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值B.时，浮萍面积就会超过C.浮萍每周增加的面积都相等D.若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，，，则【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可.【详解】由图可得：函数过点，则，解得，即.对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为，为定值，故A错误；对于选项B：若时，则，所以浮萍面积不会超过，故B错误；对于选项C：第二周比第一周增加，第三周比第二周增加，即，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误；对于选项D：由题意可得：，则，所以，故D正确.故选：D.7.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解.详解】故所以，故，故选：D8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则（）A.2B.C.1D.-1【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出当时的解析式，再求出及目标值.详解】当时，，令，则，，因此当时，，由函数是上的奇函数，，得，则，解得，所以.故选：C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】举反例可得A错误；作差可判断BC，由不等式的性质可得D.【详解】对于A，取，则满足，但，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.关于函数，下列结论正确的是（）A.若函数，则与是同一个函数B.是奇函数C.的图象关于点对称D.的值域为【答案】CD【解析】【分析】利用函数相等的概念可判断A选项；利用函数奇偶性的概念可判断B选项；利用函数对称性可判断C选项；利用对数函数的值域可判断D选项.【详解】对于函数，有，解得或，所以，函数的定义域为，对于函数，有，解得，所以函数的定义域为，所以这两个函数的定义域不相同，A错；对于B选项，因为函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数不是奇函数，B错；对于C选项，因为，所以函数的图象关于点对称，C对；对于D选项，因为当时，，则，此时，，当时，，则，，此时，综上所述，函数的值域为，D对.故选：CD11.已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（）A.B.的图象关于轴对称C.在上单调递减D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集.【详解】A选项，中，令得，解得，令得，解得，A正确；B选项，中，令得，，故的图象关于轴对称，B正确；C选项，中，令，其中，则，因为当时，，且，所以，所以，，所以在上单调递增，C错误；D选项，因为，所以，故，即，由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数，，且，两边平方得，解得，且，所以不等式的解集为，D正确.故选：ABD【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知幂函数的定义域是，则______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.【详解】因为函数为幂函数，则，即，解得或，当时，函数的定义域为，合乎题意；当时，函数的定义域为，舍去.综上所述，.故答案为:13.函数的值域是_____．【答案】【解析】【分析】利用指数函数的性质求出，进而求得的值域.【详解】，，故，所以函数的值域为.故答案为：.14.设函数，若，则的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】先分段讨论得出的范围，再结合的单调性求最大值即可.【详解】若，则，即，得；若，则，得；所以或，则，由于单调递减，所以当时，的最大值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.计算：（1）；（2）．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．16.已知，且．（1）证明：；（2）求的最小值．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】已知，且，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，证毕；【小问2详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为17.已知集合．（1）若，求；（2）若，且集合中恰有3个整数元素，求的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出具体集合，再利用集合的混合运算求解即可.（2）结合题意建立不等式，进而求解参数范围即可.【小问1详解】当时，，而或，则或．【小问2详解】当时，由得．若，则，此时中的整数元素可能为1和2，不可能有3个，不符合条件；若，则，若中恰有3个整数元素，则这3个元素为2，3，4，则，解得，即实数的取值范围为．18.当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.（1）按照医嘱，护士给患者甲注射了药品两小时后，患者甲血液中药品的残存量为，求的值；（2）另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射药品和药品，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）参考值：，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出方程，结合对数运算代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，注射药品两小时后药品的残存量为，所以，解得，即注射了药品，的值为.【小问2详解】设药物注射量为，则小时后残余量为，设药物注射量为，则小时后残余量为，又题可知，药物注射量为，药物注射量为，设小时后残余量相同，则，即，两边取对数可得，即，即，即，即，即，解得，所以注射小时后两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.19.已知函数．（1）当时，求的单调递增区间．（2）如果函数的最小值与函数的最小值相等，就称满足“性质”．（i）当时是否满足性质？请说明理由．（ii）若满足性质，求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）不满足性质，理由见解析；（ii）【解析】【分析】（1）结合二次函数求解分段函数单调递增区间；（2）（i）利用单调性求出的最小值为和的最小值为5，然后根据新定义即可判断；（ii）由题意取最小值时的值在的值域内，然后、、分类讨论，分析单调性求解其值域，进而利用新定义列不等式求解即可．【小问1详解】当时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．易知的图象在处连续不断，故的单调递增区间为．【小问2详解】（i）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，