《高等数学（上册）》全套教学课件

第

1章映射与函数第1章

映射与函数.pptx第2章

极限与连续.pptx第3章

导数与微分.pptx第4章

微分中值定理与导数的应用.pptx第5章

不定积分.pptx第6章

定积分.pptx第7章

定积分的应用.pptx第8章

常微分方程.pptx全套可编辑PPT课件

(1)了解映射的相关概念.(2)理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值,会建立应用问题的函数关系.(3)掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.(4)理解分段函数、反函数和复合函数的概念.(5)掌握函数的四则运算与复合运算.(6)掌握基本初等函数的性质及图像,理解初等函数的定义.学习目标函数描述了客观世界中量与量之间的依赖关系,是高等数学的重要研究对象.本章将在中学数学中函数知识的基础上,介绍函数的概念、函数的性质、反函数、复合函数和初等函数等.随后,将进一步研究函数自变量在按某种方式变化的过程中因变量的变化规律,从而引出极限的概念.本章导语数学文化

函数概念的发展历史映射的相关概念1.11.1.1映射的概念定义1

原像像

1.1.1映射的概念注意

1.1.1映射的概念例1

1.1.1映射的概念例2

例3

1.1.2逆映射定义2

1.1.3复合映射定义3

注意

1.1.3复合映射例4

函数及其性质1.21.2.1区间与邻域1.区间半开区间

闭区间

开区间

有限区间

左端点右端点

1631.2.1区间与邻域

无限区间记号

有限区间和无限区间统称为区间.1.2.1区间与邻域2.邻域

1.2.1区间与邻域左邻域与右邻域

去心邻域1.2.2函数的定义及表示方法1.函数的定义引例1引例2

1.2.2函数的定义及表示方法定义1

注意

1.2.2函数的定义及表示方法

例1

1.2.2函数的定义及表示方法例2

由函数的定义可以看出,函数的定义域与对应法则是确定一个函数所必不可少的两个要素.也就是说,如果两个函数的对应法则和定义域相同,那么这两个函数就是相同的函数.1.2.2函数的定义及表示方法

例3

1.2.2函数的定义及表示方法2.函数的表示方法用等式来表示两个变量间的函数关系.把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数的关系.用图像来表示两个变量之间的函数关系.例4

(2)列表法:(3)图像法:(1)解析法:1.2.3分段函数

例5

例6

图1-11.2.3分段函数例7

图1-2定义2在自变量的不同变化范围内,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数,如例5、例6和例7中的三个函数.1.2.3分段函数例8

图1-31.2.4函数的性质1.函数的有界性定义3

1.2.4函数的性质

例9

1.2.4函数的性质2.函数的奇偶性定义4

奇函数的图像关于原点对称1.2.4函数的性质

例10

注意

1.2.4函数的性质3.函数的单调性定义5

注意作差与作商是判断函数单调性常用的方法.需要注意的是,作商判断单调性时,要考虑函数值的正负.1.2.4函数的性质

例11

1.2.4函数的性质4.函数的周期性定义6

注意

1.2.4函数的性质

例12

注意

1.2.5反函数定义7

由反函数的定义可知,在定义区间上单调的函数必有反函数.注意

1.2.5反函数

定理1.2.5反函数

例13

例14

初等函数1.31.3.1基本初等函数1.幂函数

图1-41.3.1基本初等函数

1.3.1基本初等函数2.指数函数

图1-51.3.1基本初等函数3.对数函数

图1-6注意1.3.1基本初等函数

1.3.1基本初等函数4.三角函数图1-7

1.3.1基本初等函数

1.3.1基本初等函数5.反三角函数图1-8(a)

图1-8(b)1.3.1基本初等函数图1-8(c)

图1-8(d)1.3.2双曲函数和反双曲函数1.双曲函数的定义(1)双曲正弦:

(2)双曲余弦:

(3)双曲正切:

1.3.2双曲函数和反双曲函数2.双曲函数的性质

图1-91.3.2双曲函数和反双曲函数图1-10

1.3.2双曲函数和反双曲函数图1-11

1.3.2双曲函数和反双曲函数3.反双曲函数

1.3.2双曲函数和反双曲函数图1-12

1.3.2双曲函数和反双曲函数图1-13

1.3.2双曲函数和反双曲函数图1-14

1.3.3复合函数定义1

1.3.3复合函数

提示:

1.3.3复合函数

例1

例2

1.3.4函数的四则运算

和函数

差函数

积函数

1.3.4函数的四则运算

1.3.5初等函数的定义定义2由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成的函数,称为初等函数.

应用拓展

THANKS感谢您的聆听第

2章极限与连续(1)理解数列和函数的极限概念,掌握极限思想,能够熟练运用极限运算法则求解极限.(2)理解极限存在的夹逼准则,掌握数列极限收敛准则,能够应用两个重要极限求解极限.(3)理解无穷小、无穷大及无穷小比较的概念,能够进行无穷小的阶的比较,掌握利用等价无穷小代换的方法求极限.(4)理解函数在一点处的连续性和在区间上的连续性的概念,理解间断点及其类型,能够判断函数的连续性、间断点及其类型.(5)理解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(有界定理、介值定理、最大最小值定理、零点定理).学习目标极限不仅是微积分的基石,也是高等数学理论研究的重要基础,其思想和方法贯穿整个微积分的学习过程.连续函数是微积分研究的主要对象.本章将介绍极限与连续的基础知识和相关的基本方法,为今后的学习打下必要的基础.本章导语数学文化割圆术是极限思想在几何学上的一个典型应用.它利用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积,并以此求取圆周率.“圆”可以理解为:平面内到某一定点距离相等的点的集合.早在先秦时期,《墨经》中就已对圆作出类似描述,指出圆形是到同一中心距离相等的点的集合.公元前11世纪,西周时期数学家商高曾与周公讨论过圆与方的关系.对圆形有了初步认识之后,人们便开始进行与圆有关的各种计算,特别是圆面积的计算.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”中给出了圆田的计算方法,其实质上与我们现在熟悉的圆面积公式是一致的.为了证明这一公式,我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年前后撰写《九章算术注》,在圆田一节后写下了一篇1800余字的长注,这篇注记记载的正是数学史上著名的“割圆术”.他指出:“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”意思是通过不断细分圆内接正多边形,使其周长越来越接近圆周,就可以得到较为精确的圆周率.如图2-1所示,内接正多边形的边数越多,其各边越接近圆弧.割

圆

术数学文化中国古代自先秦时期起,长期采用“周三径一”(把圆周长与直径之比取为3∶1)的数值来进行与圆有关的计算.但用这一数值计算往往误差较大.正如刘徽所指出的,用“周三径一”计算出来的所谓圆周长,实际上对应的是圆内接正六边形的周长,其数值明显小于真实的圆周长.东汉科学家张衡对这一结果并不满足,他从研究弦和外接正方形等图形之间的关系入手,推算出更接近实际的圆周率取值,其结果比“周三径一”更接近圆周长.但刘徽认为,这样得到的圆周长必然大于实际的圆周长,也并不精确.数学文化刘徽以极限思想为指导,提出用“割圆术”来求圆周率,既大胆创新,又严密论证,从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路.在他看来,既然“周三径一”得到的圆周长实为圆内接正六边形的周长,与真正的圆周差距较大,那么可以在圆内接正六边形的基础上,将圆周先等分为六段弧,再将每段弧对半分割,作出圆内接正十二边形,其周长就比正六边形的周长更接近圆周.如果继续细分弧段,作成圆内接正二十四边形,其周长又比正十二边形的周长更加接近圆周.这说明,圆周分割得越细,误差就越小,内接正多边形的周长就越接近圆周.如此不断分割下去,在极限意义下,当边数无限增多时,圆内接正多边形的周长就可以看作与圆周完全重合.按照这一思路,刘徽将圆内接正多边形的边数有效推进到相当于3072边的精度,并由此得到圆周率的两个近似值:3.14和3.1416.这一结果在当时已经达到了世界领先的精确程度.刘徽对自己创造的“割圆术”极为自信,并将其推广到圆有关的各种计算之中,从而大大推动了自汉代以来中国数学的发展.刘徽在《九章算术注》自序中表明,把探究数学的根源作为自己从事数学研究的最高任务.他注《九章算术》的宗旨是“析理以辞,解体用图”.刘徽通过分析数学之理,建立起中国传统数学较为系统的理论框架.“割圆术”系统地运用了极限和无限分割的思想,将几何直观与严格推理结合起来,成为中国古代数学史上的重要里程碑,也在人类文明史上留下了不朽的一页.数列的极限2.12.1.1数列与数列极限的定义引

例

2.1.1数列与数列极限的定义

注意

2.1.1数列与数列极限的定义定义1

2.1.1数列与数列极限的定义定义2

2.1.1数列与数列极限的定义例1

2.1.1数列与数列极限的定义例2

2.1.2收敛数列的性质

定理1(数列极限的唯一性)2.1.2收敛数列的性质

定理2(收敛数列的有界性)2.1.2收敛数列的性质推

论无界数列必定发散.注意

2.1.2收敛数列的性质

定理3(收敛数列的保号性)2.1.2收敛数列的性质推

论

2.1.2收敛数列的性质定义3

注意

2.1.2收敛数列的性质

定理4(收敛数列与其子数列间的关系)2.1.2收敛数列的性质

定理5(数列极限的四则运算)注意2.1.2收敛数列的性质推

论

定理5可以推广至有限多个收敛数列的情形.利用定理5及其推论可以计算一些稍复杂的数列极限.2.1.2收敛数列的性质例3

2.1.2收敛数列的性质例4

2.1.2收敛数列的性质定理6(夹逼准则)

2.1.2收敛数列的性质例5

2.1.2收敛数列的性质例6

2.1.2收敛数列的性质定义4

定理7(单调有界定理)单调有界数列必有极限.2.1.2收敛数列的性质例7

例8

函数的极限2.22.2.1函数极限的定义

2.2.1函数极限的定义定义1

2.2.1函数极限的定义定义2

2.2.1函数极限的定义

例1

2.2.1函数极限的定义2.单侧极限

定理1

2.2.1函数极限的定义

例2

2.2.1函数极限的定义

例3

2.2.1函数极限的定义定义3

2.2.1函数极限的定义定义3

2.2.1函数极限的定义注意

2.2.1函数极限的定义例4

例5

2.2.2函数极限的性质定理2(函数极限的唯一性)定理3(函数极限的局部有界性)

2.2.2函数极限的性质定理4(函数极限的局部保号性)

2.2.2函数极限的性质推

论

注意

2.2.2函数极限的性质定理5(夹逼准则)

2.2.2函数极限的性质定理6(函数极限与数列极限的关系)

2.2.3函数极限的四则运算法则定理7(函数极限的四则运算)

推论1推论2

2.2.3函数极限的四则运算法则例6

2.2.3函数极限的四则运算法则

2.2.3函数极限的四则运算法则例7

2.2.3函数极限的四则运算法则例8

2.2.3函数极限的四则运算法则例9

例10

2.2.3函数极限的四则运算法则定理8(复合函数的极限运算法则)

例11

2.2.3函数极限的四则运算法则例12

无穷小与无穷大2.32.3.1无穷小的概念定义1

2.3.1无穷小的概念定理1

2.3.2无穷小的运算性质定理2

有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

2.3.2无穷小的运算性质定理3

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

2.3.2无穷小的运算性质推论1推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积也是无穷小.例1

例2

2.3.3无穷大的概念定义2

2.3.3无穷大的概念提示:无穷大一定是无界变量;反之,无界变量不一定是无穷大.

2.3.3无穷大的概念例3

2.3.4无穷小与无穷大的关系定理4在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.

2.3.4无穷小与无穷大的关系例4

2.3.5无穷小的阶的定义

2.3.5无穷小的阶的定义定义3(无穷小的阶)

2.3.5无穷小的阶的定义例5

2.3.6等价无穷小

2.3.6等价无穷小定理5定理5表明:在求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可以用等价无穷小替换,因此可简化极限的计算.

2.3.6等价无穷小定理6

2.2.1函数极限的定义例6例7

2.3.6等价无穷小例8

两个重要极限2.42.4.1第一个重要极限

2.4.1第一个重要极限

2.4.1第一个重要极限例1

2.4.1第一个重要极限

2.4.2第二个重要极限

表2-1-∞←…-1000000-10000-10110100001000000…→+∞…2.718282.718402.8679722.593742.71812.71828…2.4.2第二个重要极限

2.4.2第二个重要极限例2

2.4.2第二个重要极限

函数的连续性与间断点2.52.5.1函数的连续性1.函数连续的定义

2.5.1函数的连续性注意

2.5.1函数的连续性

2.5.1函数的连续性定义1

定义2

2.5.1函数的连续性

2.5.1函数的连续性例1

2.5.1函数的连续性定义32.左、右连续由函数左、右极限的定义,相应地可以得到函数左、右连续的定义.

2.5.1函数的连续性例2

例3

2.5.2函数的间断点定义41.间断点的定义

2.5.2函数的间断点例4例5

2.5.2函数的间断点定义52.间断点的分类

2.5.2函数的间断点2.5.2函数的间断点例6例7

2.5.2函数的间断点例8

2.5.2函数的间断点例9

2.5.2函数的间断点

2.5.2函数的间断点例10

2.5.2函数的间断点

连续函数的运算与性质2.62.6.1连续函数的四则运算定理1

2.6.2反函数与复合函数的连续性定理2

2.6.2反函数与复合函数的连续性定理3

2.6.2反函数与复合函数的连续性

2.6.2反函数与复合函数的连续性例1

例2

2.6.2反函数与复合函数的连续性定理4

2.6.3初等函数的连续性定理5基本初等函数在其定义域内是连续的.由于一般初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所组成的,因此有如下重要结论.定理6

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.2.6.3初等函数的连续性例3

2.6.4闭区间上连续函数的性质

2.6.4闭区间上连续函数的性质定理7(最值定理)

2.6.4闭区间上连续函数的性质定理8(有界性定理)

在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界.2.6.4闭区间上连续函数的性质例4

2.6.4闭区间上连续函数的性质定理9(零点定理)定义1

2.6.4闭区间上连续函数的性质例5

2.6.4闭区间上连续函数的性质

定理10(介值定理)

推论

2.6.4闭区间上连续函数的性质例6

2.6.4闭区间上连续函数的性质例7

2.6.4闭区间上连续函数的性质

2.6.4闭区间上连续函数的性质

2.6.5一致连续性定义2

2.3.2无穷小的运算性质定理11(一致连续性定理)

应用拓展

例1

应用拓展例2

应用拓展

例3应用拓展

例4

应用拓展例5

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3章导数与微分1.掌握导数、微分的概念,会通过导数的几何意义求曲线在一点处的切线方程和法线方程;会运用导数的物理意义解决简单的物理应用问题;理解可导与连续的关系,会讨论函数在某点处的可导性与连续性.2.掌握基本初等函数的导数公式,掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则(链式法则);掌握一元函数可微和可导的关系,并会计算函数的微分.3.了解高阶导数的概念,掌握几种简单函数的高阶导数求法.4.掌握隐函数所确定的函数的求导法则;了解反函数的求导,会利用对数求导法求部分简单函数的导数.5.会求由参数方程确定的简单函数的导数.学习目标本章将在函数和极限这两个概念的基础上,研究微积分学的两个基本概念——导数与微分.在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需要从数量上考察函数随自变量变化的快慢程度,如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度及生物繁殖率等;而当物体沿曲线运动时,还需考虑速度的方向,即曲线的切线问题.所有这些数量关系都可归结为函数的变化率,即导数.微分则与导数密切相关,它说明当变量有微小变化时,函数整体上变化多少.因此,在这一章中,除了阐明导数与微分的概念,还将建立起一整套的微分公式和法则,从而系统地解决初等函数求导问题.本章导语数学文化我国近现代历史上有许多著名的数学家.了解他们及其在相关领域中的杰出贡献,对认识我国近现代数学的发展脉络非常有帮助,对树立我们的数学自信、增强我们的文化自信也非常有意义.让我们向这些先辈学习,从其中汲取智慧和动力.华罗庚(1910—1985),数学家,中国科学院院士,主要从事解析数论、矩阵论、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究.幼年时,华罗庚记忆不清,行动也不敏捷.上初中后开始勤奋学习,表现出了极为惊人的毅力.初中毕业后因家庭贫困,被迫回家.他并未放弃自己喜爱的数学,一边帮助父亲干活,一边仍坚持自学.华罗庚在19岁时染上伤寒,高烧不退、长期卧床,最终导致左腿残废,走路极其困难.虽然遭受了命运的打击,但华罗庚并没有向命运低头,白天忍着剧痛拄拐杖上街工作,晚上则在油灯下自学到深夜,用五年时间自学完了高中和大学低年级的全部数学课程.我国近现代数学家——华罗庚数学文化1930年,华罗庚在《科学》杂志上发表了一篇名为《苏家驹之代数的五次方程解法不能成立之理由》的论文，引起了当时任清华大学数学系主任熊庆来的注意，于是熊庆来把华罗庚送入清华大学图书馆担任住馆员.在清华大学期间,华罗庚利用一年半的时间自学完数学系全部课程,并发表了多篇论文.1935年,数学家诺伯特·维纳访华时注意到华罗庚的潜质,向美国数学界大力推荐他.1936年,在熊庆来的推荐下,华罗庚受邀到剑桥大学.在留学的两年多时间里,他发表了18篇论文,提出了著名的“华氏定理”,并解决了数论领域中的一个重要问题,使他在剑桥大学及世界数学界赢得了声誉.华罗庚毕生致力于数学研究和推广,是我国当代自学成才的科学巨匠,著作等身,享誉中外.他推动了我国数学事业的发展,并以科学家的博大胸怀将所掌握的数学知识推广普及,培养新人;以高度的历史责任感投身科学普及和应用数学推广,为数学科学事业的发展做出了巨大贡献,为祖国现代化建设倾尽了毕生精力.导数的概念3.13.1.1导数概念的引例1.变速直线运动的瞬时速度

3.1.1导数概念的引例例1

3.1.1导数概念的引例2.曲线切线的斜率

3.1.2导数的定义定义1虽然上面两个实例的具体含义不同,但是从抽象的数量关系来看,它们的本质是一样的,都归结为函数值增量与自变量增量的比值的极限.我们把这种极限叫作函数的导数.

3.1.2导数的定义

3.1.2导数的定义定义2

注意一般地,某函数的导数是一个函数,我们称之为导函数;而函数在某一点处的导数是一个数值,我们称之为函数在该点处的导数值.3.1.2导数的定义

(1)求增量

(2)算比值

(3)取极限

3.1.2导数的定义例2

例3

3.1.2导数的定义例4

3.1.2导数的定义例5

例6

3.1.2导数的定义例7

例8

注意分段函数在分段点处的导数,必须用导数的定义来求.3.1.2导数的定义

定义33.函数左、右导数的定义

定义43.1.2导数的定义

3.1.2导数的定义例9

3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义例10

3.1.3导数的几何意义例11

3.1.4函数的可导性与连续性的关系

定理

3.1.4函数的可导性与连续性的关系例12

3.1.4函数的可导性与连续性的关系例13注意讨论函数在某点是否连续和可导,应先讨论其可导性.若函数在该点可导,则必连续;若函数在该点不可导,还需再考察其在该点的连续性.

3.1.5无尖角的连续曲线定义5

函数的求导法则3.23.2.1函数的和、差、积、商的求导法则定理1

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

例1

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则例2例3

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则例4例5

3.2.2反函数的求导法则定理2

3.2.2反函数的求导法则例6

3.2.2反函数的求导法则例7

3.2.2反函数的求导法则例8例9

3.2.3常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式3.2.4复合函数的求导法则定理3

3.2.4复合函数的求导法则

推论3.2.4复合函数的求导法则例10注意

初学做题时宜先显式设出中间变量,将复合函数逐步分解;熟练以后,可以省略中间变量,按照复合函数的嵌套结构由外向内逐层求导.3.2.4复合函数的求导法则例11例12

3.2.4复合函数的求导法则例13例14

高阶导数3.33.3.1高阶导数的定义引

例

分

析

求变速直线运动物体的瞬时加速度.

3.3.1高阶导数的定义

3.3.1高阶导数的定义例1

3.3.1高阶导数的定义例2

3.3.1高阶导数的定义例3

3.3.1高阶导数的定义例4例5

3.3.1高阶导数的定义例6例7

3.3.2常见的高阶导数公式常见的高阶导数公式隐函数及由参数方程确定的函数的导数3.43.4.1隐函数的导数1.隐函数求导法

3.4.1隐函数的导数例1

3.4.1隐函数的导数例2

例3

3.4.1隐函数的导数根据隐函数求导法,我们还可以得到一种简化求导运算的方法.对于多因子积、商、乘方、开方等构成的比较复杂的函数以及幂指数函数的求导,先利用对数函数的性质将方程两边取对数后化简,再利用隐函数求导法或复合函数求导法进行求导,这种方法称为对数求导法.2.对数求导法3.4.1隐函数的导数例4

3.4.1隐函数的导数例5

例6

3.4.2由参数方程确定的函数的导数

3.4.2由参数方程确定的函数的导数

3.4.2由参数方程确定的函数的导数

例7

3.4.2由参数方程确定的函数的导数例8

3.4.2由参数方程确定的函数的导数例9例10

3.4.3相关变化率注意相关变化率问题就是研究两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

3.4.3相关变化率例11

函数的微分3.53.5.1微分的引例引

例1分

析

3.5.1微分的引例引

例2分

析

3.5.2微分的概念

3.5.2微分的概念定理2

3.5.2微分的概念例1

3.5.2微分的概念例2

3.5.3微分的几何意义

3.5.4微分公式与法则1.常数和基本初等函数的微分公式常数和基本初等函数的微分公式3.5.4微分公式与法则2.函数和、差、积、商的微分运算法则函数和、差、积、商的微分运算法则3.复合函数的微分法则

3.5.4微分公式与法则例3例4

3.5.4微分公式与法则例5例6

3.5.5微分在近似计算中的应用1.函数的近似计算

3.5.5微分在近似计算中的应用例7

3.5.5微分在近似计算中的应用例8

3.5.5微分在近似计算中的应用2.误差估计

3.5.5微分在近似计算中的应用

3.5.5微分在近似计算中的应用例9

3.5.5微分在近似计算中的应用

应用拓展

例1

应用拓展

例2

应用拓展例3

应用拓展例4

应用拓展例5

应用拓展例6

THANKS感谢您的聆听第

4章微分中值定理与导数的应用1.理解罗尔(Rolle)中值定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解柯西(Cauchy)中值定理.2.会用洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极限.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数单调性和求极值的方法,会应用导数思想求较简单函数的最大值和最小值,并解决相关应用问题.4.会用导数判断函数图像的凹凸性,会求拐点,会求函数的斜渐近线、水平渐近线和铅直渐近线.5.了解曲率和曲率圆.6.了解导数在经济中的应用.学习目标本章内容是在上一章基础上的延续与展开,主要运用导数和微分的方法分析和研究函数的性质及其图像的各种形态,并解决若干实际问题.这些理论的基础是微分学中占有重要地位的几个微分中值定理,它们在函数性质的分析和相关论证过程中具有十分广泛的应用.本章导语数学文化港珠澳大桥港珠澳大桥跨越伶仃洋,东接香港,西连珠海和澳门,并于2018年10月24日正式通车.大桥的建成极大缩短了香港、珠海和澳门三地之间的时空距离.港珠澳大桥全长55km,是目前世界最长的跨海大桥、拥有世界最长的海底沉管隧道和大型钢结构桥梁体系,是我国从桥梁大国迈向桥梁强国的标志性工程,被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”.港珠澳大桥工程体量巨大、建设条件复杂,是全球同类工程中少有的挑战.中国建设者百折不挠、自主攻关,完全依靠自主设计和自主施工完成了整个工程.习近平指出,港珠澳大桥的建设创下多项世界之最,非常了不起,体现了一个国家逢山开路、遇水架桥的奋斗精神,体现了我国综合国力、自主创新能力,体现了勇创世界一流的民族志气.数学文化俯瞰港珠澳大桥,其线形呈优美的弯曲状.虽然从数学上看,两点之间直线距离最短,但工程建设并不能单以“最短”为原则.大桥之所以采用S形线形,是由复杂的海洋环境和工程条件决定的.港珠澳大桥横跨伶仃洋,必须综合考虑潮流方向、台风路径、通航安全、海底地质条件、生态保护等因素.S形线形有利于避开海底不良地质区域,合理布设人工岛与沉管隧道位置,同时提高结构与通航安全.科学的线形布设也有助于减少连续直线段带来的侧风风险,从而提高大桥在恶劣海况下的稳定性.此外,从交通安全角度看,过长的直线易导致驾驶员产生视觉疲劳,而适度的曲线设计可以增强驾驶注意力,提高行车安全性.港珠澳大桥的建造凝聚了建设者们攻坚克难、艰苦创业的“铁人精神”,锐意突破、不懈探索的“科学家精神”,勇挑重担、求真务实的“实干精神”,以及敬业专注、精益求精的“工匠精神”,集中体现了中国特色社会主义制度优势.微分中值定理4.14.1.1罗尔中值定理

定理1(罗尔中值定理)4.1.1罗尔中值定理

4.1.1罗尔中值定理

4.1.1罗尔中值定理例1

4.1.1罗尔中值定理例2

4.1.2拉格朗日中值定理定理2(拉格朗日中值定理)

4.1.2拉格朗日中值定理

4.1.2拉格朗日中值定理

4.1.2拉格朗日中值定理例3

4.1.2拉格朗日中值定理

推论2推论1

4.1.2拉格朗日中值定理例4

4.1.3柯西中值定理

4.1.3柯西中值定理

定理3(柯西中值定理)4.1.3柯西中值定理

4.1.3柯西中值定理注意

洛必达法则4.2洛必达法则

定理1

在应用洛必达法则求极限时,需要注意两点:一是,必须确认导数之比的极限存在;二是,即使导数之比的极限不存在,原未定式的极限仍可能存在,因此洛必达法则不是极限存在的充分必要条件.例1

例2

定理2

例3

例4

注意

4.2.3其他类型的未定式

例5

4.2.3其他类型的未定式

例6

4.2.3其他类型的未定式

例7

注意这里直接应用了例5中第(1)题的结果.4.2.3其他类型的未定式

例8

4.2.3其他类型的未定式

例9

函数的单调性4.34.3.1函数单调性的判定

4.3.1函数单调性的判定定理

注意如果把定理中的闭区间换成其他各种区间(对于无穷区间,要求在其任一有限的子区间上满足定理的条件),那么结论也成立.4.3.1函数单调性的判定例1

4.3.1函数单调性的判定

(1)求出函数的定义域.(3)用这些分界点将定义域分成若干小区间.

4.3.1函数单调性的判定例2

表4-14.3.1函数单调性的判定例3

表4-2(-∞,0)0不可导04.3.2函数单调性的应用例4

函数的极值与最值4.44.4.1函数的极值定义1

1.极值的定义注意根据极值的定义,函数的极值点一定是在函数定义域的内部,而不能是在端点.4.4.1函数的极值

4.4.1函数的极值定理1(费马定理)2.极值的判定

4.4.1函数的极值定理2(第一充分条件)

4.4.1函数的极值

4.4.1函数的极值例1

表4-3004.4.1函数的极值例2

表4-4004.4.1函数的极值定理3(第二充分条件)

4.4.1函数的极值例3

4.4.2函数的最值

(2)计算各驻点、各不可导点以及端点处的函数值.

4.4.2函数的最值例4

4.4.2函数的最值例5

4.4.2函数的最值例6

曲线的凹凸性与函数图像的描绘4.54.5.1曲线的凹凸性

4.5.1曲线的凹凸性我们从几何上看到,在有的曲线弧上,如果任取两点,连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方(见图4-10);而有的曲线弧,则正好相反(见图4-11).曲线的这种性质就是曲线的凹凸性,因此曲线的凹凸性可以用连接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(具有相同横坐标的点)的位置关系来描述.4.5.1曲线的凹凸性定义1

4.5.1曲线的凹凸性定理(曲线凹凸性的判定定理)

4.5.1曲线的凹凸性

4.5.1曲线的凹凸性例1

4.5.2曲线的拐点定义2

4.5.2曲线的拐点例2

4.5.2曲线的拐点例3

4.5.3曲线的渐近线定义3

1.水平渐近线

例4

4.5.3曲线的渐近线2.垂直渐近线

例5

4.5.3曲线的渐近线例6

4.5.3曲线的渐近线3.斜渐近线

例7

4.5.4函数图像的描绘

(2)(4)(6)(1)(3)(5)确定函数的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等).

求出曲线的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线.取辅助点,计算函数一阶、二阶导数的零点以及不存在的点所对应的函数值,确定图像上相应的点;为使图像更为准确,有时还需补充一些点,如函数与坐标轴的交点、曲线的端点等.描点作图.4.5.4函数图像的描绘例8

表4-54.5.4函数图像的描绘

4.5.4函数图像的描绘例9

表4-64.5.4函数图像的描绘

曲

率4.64.6.1弧微分

4.6.1弧微分

4.6.1弧微分

4.6.2曲率的概念及计算

4.6.2曲率的概念及计算

4.6.2曲率的概念及计算

4.6.2曲率的概念及计算

4.6.2曲率的概念及计算

4.6.2曲率的概念及计算例1

4.6.2曲率的概念及计算例2

4.6.2曲率的概念及计算例3

4.6.3曲率圆与曲率半径

4.6.3曲率圆与曲率半径例4

4.6.4曲率中心的计算公式

4.6.4曲率中心的计算公式例5

导数在经济学中的应用4.74.7.1边际分析定义1

4.7.1边际分析1.边际成本某商品的成本,是指生产一定数量产品时所需投入的全部经济资源(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额.通常可将成本分为

4.7.1边际分析例2

4.7.1边际分析2.边际收益

边际收益函数平均收益函数4.7.1边际分析例2

4.7.1边际分析注意

4.7.1边际分析3.边际利润

例3

4.7.2弹性分析1.函数的弹性

4.7.2弹性分析定义2

4.7.2弹性分析例4

4.7.2弹性分析定义32.需求弹性

4.7.2弹性分析缺乏弹性商品富有弹性商品单位弹性商品

4.7.2弹性分析例5

4.7.2弹性分析

4.7.3最优化问题1.利润最大化问题

4.7.3最优化问题例6

4.7.3最优化问题2.平均成本最小化问题

4.7.3最优化问题例7

4.7.3最优化问题3.经济订货批量问题某批发零售公司要开展进货与销售业务.在年度总需求量一定的条件下,订货费用与存货成本之间存在此消彼长的关系:若每次订货批量大,则订货次数少,订货费用较低,但平均库存量增大,存货保管费用相应增加;若每次订货批量小,则订货次数多,订货费用增加,而存货保管费用减少.因此,需要确定一个适当的订货批量,使全年总费用达到最小,这就是经济订货批量问题.4.7.3最优化问题例8

应用拓展例1

应用拓展例2

应用拓展例3

表4-7↗↘↗应用拓展例4

应用拓展例5

表4-8凹拐点(20,32000)凸THANKS感谢您的聆听第

5章不定积分1.理解原函数与不定积分的概念,了解原函数存在定理,掌握不定积分的性质.2.熟练掌握不定积分的基本公式.3.熟练掌握不定积分的第一类、第二类换元积分法和分部积分法.4.掌握简单有理函数的不定积分的求法.学习目标上一章讨论了如何求一个函数的导数,本章将讨论与之相反的问题,即寻求一个可导函数,使它的导数等于已知函数.本章先从微分的逆运算引出不定积分的概念,然后讨论不定积分的性质及求不定积分的方法.本章导语数学文化我国近现代数学家——李善兰李善兰(1811—1882),原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔,浙江海宁人,是中国近代著名的数学家、天文学家、力学家和植物学家.李善兰在数学研究方面的主要成就包括尖锥术、垛积术和素数论等内容.尖锥术的理论主要见于《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》等著作.当时解析几何与微积分尚未传入中国,李善兰创立的“尖锥”概念,是一种处理代数问题的几何模型.他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等曲线的方程.他所提出的“尖锥求积术”,在思想上相当于幂函数的定积分公式及逐项积分法则.垛积术理论主要见于《垛积比类》,这是一部研究高阶等差级数的著作.李善兰从古代垛积问题入手,得到了一系列与现代组合数学相一致的成果,其中著名的“李善兰恒等式”即出自此书.素数论方面主要见于《考数根法》,该书是中国有关素数论的最早专著之一.在研究一个自然数是否为素数的问题时,李善兰证明了费马素数定理,并指出其逆命题并不成立.在传播西方近代科学知识方面,李善兰也作出了重要贡献.他翻译了大量西方科技著作,使天文学、数学、力学、植物学等领域的最新成果得以传入中国,对近代科学的启蒙起到了关键作用.1868年,李善兰赴北京担任同文馆天文、算学部长,执教长达十三年,为培养中国第一代科学人才以及近代科学在中国的传播与发展作出了开创性的贡献.不定积分的概念与性质5.15.1.1原函数定义1定理1(原函数存在定理)

5.1.1原函数定理2注意

5.1.1原函数

例1

5.1.2不定积分的概念定义2注意一个函数的不定积分既不是一个数,也不是一个函数,而是一族函数.

5.1.2不定积分的概念例2

5.1.2不定积分的概念例3

5.1.3不定积分的几何意义

5.1.3不定积分的几何意义例4

5.1.4不定积分的性质注意性质1

5.1.4不定积分的性质性质2

5.1.4不定积分的性质性质3

5.1.5不定积分的基本公式不定积分的基本公式5.1.5不定积分的基本公式例5

例6

5.1.5不定积分的基本公式例7

例8

5.1.5不定积分的基本公式例9

换元积分法5.25.2.1第一类换元积分法

由于能用直接积分法计算的不定积分非常有限,因此有必要研究不定积分的其他计算方法.本节将复合函数的微分法反过来用于求不定积分,即利用中间变量替换,把原来不便于计算的不定积分化为较易计算的不定积分,这种方法称为换元积分法.换元积分法通常分为以下两类.

5.2.1第一类换元积分法定理1

5.2.1第一类换元积分法例1

例2

5.2.1第一类换元积分法例3

例4

5.2.1第一类换元积分法微分公式5.2.1第一类换元积分法例5

例6

5.2.1第一类换元积分法例7

5.2.1第一类换元积分法例8

5.2.1第一类换元积分法例9

5.2.2第二类换元积分法定理2

5.2.2第二类换元积分法例10

1.根式代换法

当被积函数中含有根式时,可以令该根式为新的变量,然后通过两边同时求幂的方式解出反函数.

5.2.2第二类换元积分法例11

5.2.2第二类换元积分法2.三角代换法

5.2.2第二类换元积分法例12

5.2.2第二类换元积分法例13

5.2.2第二类换元积分法例14

5.2.2第二类换元积分法3.倒代换法

例15

5.2.2第二类换元积分法5.2.2第二类换元积分法例16

分部积分法5.35.3分部积分法

5.3.1单一函数的积分例1

5.3.2两相乘函数的积分例2

5.3.2两相乘函数的积分

5.3.2两相乘函数的积分例3例4

5.3.2两相乘函数的积分例5

5.3.2两相乘函数的积分例6

5.3.2两相乘函数的积分例7

例8

5.3.2两相乘函数的积分例9

有理函数的积分与积分表的使用5.45.4有理函数的积分与积分表的使用

5.4.1化真分式为最简分式之和

5.4.1化真分式为最简分式之和

5.4.1化真分式为最简分式之和1.比较系数法

5.4.1化真分式为最简分式之和2.赋值法

5.4.1化真分式为最简分式之和

5.4.2四种最简分式的积分

例1

5.4.2四种最简分式的积分

5.4.2四种最简分式的积分例2

5.4.2四种最简分式的积分

5.4.2四种最简分式的积分例3

5.4.2四种最简分式的积分例4

5.4.2四种最简分式的积分

5.4.2四种最简分式的积分例5

5.4.2四种最简分式的积分(1)(2)(3)(4)若被积函数是假分式,先用多项式除法将其化为“多项式+真分式”的和.对真分式而言,总可以分解成若干个最简分式之和.对不同类型的最简分式,分别采用相应的积分方法.当真分式的分母次数较高,因式分解困难或分解过程过于烦琐时,可以考虑改用其他积分方法.5.4.2四种最简分式的积分例6

5.4.3三角有理函数的积分

5.4.3三角有理函数的积分

5.4.3三角有理函数的积分例7

5.4.3三角有理函数的积分例8

5.4.4简单无理函数的积分求简单无理函数的积分,其基本思路是通过适当的变量代换,将无理式转化为有理式,从而把问题转化为有理函数的积分.下面通过具体例子加以说明.例9

5.4.4简单无理函数的积分例10

5.4.5积分表的使用

5.4.5积分表的使用例11

5.4.5积分表的使用例12

应用拓展例1

应用拓展例2

应用拓展例3

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6章定积分学习目标1.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充要条件.2.理解变上限积分函数及其求导,掌握牛顿-莱布尼茨公式.3.掌握定积分的换元积分法和分部积分法.4.理解反常积分.定积分是一种和式的极限.它起源于求曲边图形的面积和曲面边界立体体积等实际问题.17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨分别提出了定积分的概念,揭示了积分与微分的内在联系,给出了计算定积分的一般方法.这不仅使定积分成为解决实际问题的有力工具,而且把微分学与积分学联系起来,构成了完整的理论体系——微积分学.本章首先从实际问题引入定积分的定义,再讨论微积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的运算,最后讲述反常积分.本章导语数学文化陈建功(1893—1971),字业成,浙江绍兴人,是我国著名的数学家和数学教育家,也是中国函数论研究的开拓者之一.他主要从事实变函数论、复变函数论和微分方程等方面的研究工作,是我国函数论领域的学科带头人和许多分支方向的奠基者.作为教育家,陈建功卓有成效,始终主张教学与科研应相辅相成、互相促进.他常说,要教好书,必须通过科研不断提高;反过来,不教书就培养不出人才,科研也就无法发展.年过花甲,他的工作量仍然令人惊叹,不仅同时指导三个年级的十多位研究生,还坚持为大学生讲授基础课程.陈建功始终以饱满的热情投身教学与科学研究,勤勉不倦.在他的指导下,杭州大学数学系得到了长足发展,函数逼近论与三角级数论等研究方向也迅速形成了具有活力的学术队伍.陈建功一生勤奋刻苦,不断创新,燃烧自己、照亮他人,无论在治学还是做人方面,都为后人树立了榜样,是我国近代数学的重要奠基者之一.我国近现代数学家——陈建功定积分的概念与性质6.16.1.1定积分问题举例1.曲边梯形的面积

6.1.1定积分问题举例

6.1.1定积分问题举例

(1)分割.6.1.1定积分问题举例(2)近似.(3)求和.

(4)取极限.

6.1.1定积分问题举例2.变速直线运动的路程

(1)分割.

6.1.1定积分问题举例(2)近似.(3)求和.

(4)取极限.

6.1.2定积分的定义

6.1.2定积分的定义

6.1.2定积分的定义

6.1.2定积分的定义

6.1.2定积分的定义

6.1.2定积分的定义

定理2

定理1

6.1.2定积分的定义例1

6.1.2定积分的定义提示:本题所求的两个和式极限,都是可积函数在对应区间上的一个特殊的和式极限(将区间划分成长短相同的n个小区间,并取每个小区间的右端点).因为定积分存在,所以根据定积分的定义,这两个和式的极限都等于相应的定积分.但反过来,只凭函数在区间上的某一种特定划分和特定取值下的和式存在极限,还不能断定该函数在该区间上可积.原因在于:定积分的定义中,对区间的划分以及在每个小区间上的取值都是任意的.6.1.2定积分的定义例2

6.1.2定积分的定义例3

6.1.3定积分的几何意义

6.1.3定积分的几何意义例4

6.1.3定积分的几何意义

6.1.3定积分的几何意义例5

6.1.4定积分的性质性质1

提示:该性质可以推广到有限多个可积函数的情形.6.1.4定积分的性质性质2

注意性质2表明,定积分对积分区间具有可加性.6.1.4定积分的性质例6

6.1.4定积分的性质性质3

6.1.4定积分的性质性质4

6.1.4定积分的性质例7

性质5

6.1.4定积分的性质例8

D6.1.4定积分的性质性质6

性质7

6.1.4定积分的性质例9

6.1.4定积分的性质性质8(定积分中值定理)

6.1.4定积分的性质

微积分基本定理6.26.2.1变速直线运动中位置函数与速度函数的关系

6.2.2变上限积分函数及其导数

6.2.2变上限积分函数及其导数

6.2.2变上限积分函数及其导数定理1

6.2.2变上限积分函数及其导数

6.2.2变上限积分函数及其导数例1

6.2.3牛顿-莱布尼茨公式定理2(原函数存在定理)

6.2.3牛顿-莱布尼茨公式

定理3

6.2.3牛顿-莱布尼茨公式注意

6.2.3牛顿-莱布尼茨公式例2

定积分的换元积分法和分部积分法6.36.3.1定积分的换元积分法定理

在上一章中,我们已经知道,利用换元积分法和分部积分法可以求出某些函数的原函数.因此,在一定条件下,也可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分.下面就来讨论定积分的这两种计算方法.6.3.1定积分的换元积分法

6.3.1定积分的换元积分法例1

例2

6.3.1定积分的换元积分法例3

例4

6.3.1定积分的换元积分法例5

6.3.1定积分的换元积分法例6

6.3.1定积分的换元积分法例7

例8

6.3.1定积分的换元积分法

6.3.1定积分的换元积分法例9

6.3.2定积分的分部积分法

6.3.1定积分的换元积分法例10

6.3.1定积分的换元积分法例11

例12

反常积分6.46.4.1无穷区间上的反常积分定义1

6.4.1无穷区间上的反常积分定义2

6.4.1无穷区间上的反常积分

6.4.1无穷区间上的反常积分注意例2的结论可作为定理使用.例1

例2

6.4.1无穷区间上的反常积分例3

6.4.2无界函数的反常积分定义3

6.4.2无界函数的反常积分定义4

6.4.2无界函数的反常积分例4

6.4.2无界函数的反常积分例5

注意例5的结论可作为定理使用.6.4.2无界函数的反常积分例6

注意

6.4.2无界函数的反常积分例7

应用拓展例1

例2

应用拓展

应用拓展例3

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7章定积分的应用1.熟悉定积分的微元法,掌握微元法在几何中的应用.2.掌握定积分在物理中的应用.3.掌握定积分在经济学中的应用.学习目标定积分在几何、物理以及经济学中有很广泛的应用.本章将介绍利用定积分求面积、体积、弧长、功、液体的压力、引力,以及经济学中的总量函数、消费者剩余与生产者剩余等.利用定积分来解决实际问题,不仅要会解决某一具体问题,更重要的是要掌握用定积分解决问题的基本思想和方法.这里着重掌握两个问题:一是什么样的问题能用定积分来解决,二是如何运用微元法将实际问题化为定积分.本章导语数学文化幼年时,陈景润家境贫困,但对数学怀有浓厚兴趣.白天,他在家照看弟弟妹妹;晚上听哥哥讲算术;平时只要有空,就趴在地上演算.母亲看到他勤奋好学,便用家中不多的积蓄送他去小学读书.陈景润最喜欢的是数学课,一本数学课本,他常常在两个月内就能学完.在学习过程中,他的数学老师沈老师向他讲述了中国古代数学的贡献,如我国对圆周率的研究比西方早一千多年,又如南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的“大衍求一术”,其思想与后来欧拉的算法有异曲同工之妙.沈老师还鼓励学生说:“我们不能停步,将来应创造新的奇迹.比如哥德巴赫猜想,是举世公认尚未解决的难题,被看作皇冠上的明珠,你们要把它摘下来!”课后,沈老师问陈景润有何想法,他答道:“我能行吗?”沈老师说:“你既然能自己解出‘韩信点兵’,将来就能摘下那颗明珠.天下无难事,只怕有心人!”那一夜,陈景润失眠了,他立下誓言:无论成败,都要尽最大努力去追求自己的理想.我国近现代数学家之陈景润数学文化1950年夏,陈景润在高三时考入厦门大学数理系.1954年在厦门大学任资料员,同时研究数论,并关注组合数学、现代经济管理、科学实验与应用数学之间的联系.1955年,经校长王亚南推荐,他回校任数学系助教.1956年,他发表《塔内问题》,改进了华罗庚在《堆垒素数论》中的相关结果.1957年9月,陈景润被调入中国科学院数学研究所任研究实习员.从这一新的起点出发,他愈加刻苦钻研.在不足6m2的斗室中,他埋头研究多年,光是草稿纸就装了几麻袋.1965年5月,他发表了著名的论文《大偶数表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》,提出了后来被称为“陈氏定理”的重要结果.该论文受到世界数学界及著名数学家的高度评价,英国数学家达文波特和德国数学家里歇特称其为“陈氏定理”.陈景润在哥德巴赫猜想及其他数论问题上的贡献,至今仍具有国际领先水平,被广泛认为是推动该猜想研究最重要的数学家之一.世界级数学大师安德烈·韦伊曾称赞他说:“陈景润的每一项工作,都像是在喜马拉雅山巅上行走.”微元法及其在几何中的应用7.17.1.1定积分的微元法

(1)分割.(2)近似.

(3)求和.

7.1.1定积分的微元法(4)取极限.

7.1.1定积分的微元法(1)分割.(2)近似.

7.1.1定积分的微元法(3)求和.(4)取极限.7.1.1定积分的微元法

(1)

(2)

7.1.1定积分的微元法

7.1.1定积分的微元法1.求平面图形的面积

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用例1

7.1.2微元法在几何中的应用例2

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用例3

7.1.2微元法在几何中的应用例4

7.1.2微元法在几何中的应用提示:①为了正确求出平面图形的面积,应先按题意画出图形,这样有助于确定积分变量.②有些平面图形没有明确的积分上、下限,需要通过求曲线的交点来确定积分的上、下限(如例2).③有些平面图形既可取x也可取y为积分变量(如例2).④对于比较复杂的图形,先采用适当的方法将它分成比较简单的几部分,然后分别计算各部分的面积,再相加得总面积.7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用例5

7.1.2微元法在几何中的应用例6

7.1.2微元法在几何中的应用

2.求体积7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用例7

7.1.2微元法在几何中的应用例8

7.1.2微元法在几何中的应用例9

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用例10

7.1.2微元法在几何中的应用例11

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用3.求平面曲线的弧长

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用

7.1.2微元法在几何中的应用

注意弧长计算公式中的下限一定要小于上限.7.1.2微元法在几何中的应用例12

例13

7.1.2微元法在几何中的应用例14

定积分在物理中的应用7.27.2.1求变力沿直线所做的功

7.2.1求变力沿直线所做的功例1

7.2.2求液体的压力

7.2.2求液体的压力例2

7.2.3求引力

7.2.3求引力例3

定积分在经济学中的应用7.37.3.1由边际函数求总量函数

7.3.1由边际函数求总量函数例1

7.3.1由边际函数求总量函数例2

7.3.1由边际函数求总量函数例3

7.3.2求消费者剩余与生产者剩余

7.3.2求消费者剩余与生产者剩余

7.3.2求消费者剩余与生产者剩余

7.3.2求消费者剩余与生产者剩余

7.3.2求消费者剩余与生产者