二次函数背景下几何图形存在性问题专题复习导学案（九年级中考培优）

二次函数背景下几何图形存在性问题专题复习导学案（九年级中考培优）

一、教学基本信息

【学科年级】初中数学·九年级

【课题名称】设问06二次函数背景下几何图形存在性问题——陕西中考数学培优专题

【课型】中考二轮专题复习·模型建构课

【课时安排】2课时（90分钟）

【设计依据】《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出：几何直观、推理能力、模型观念是核心素养的主要表现。本设计旨在通过二次函数与几何图形（三角形、四边形）的综合探究，引导学生经历“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的全过程，感悟数形结合、分类讨论、方程模型等数学思想，发展高阶思维，应对陕西中考压轴题的选拔要求。

二、核心素养导向的三维目标

1.知识与技能【基础】：

（1）能熟练运用待定系数法求二次函数解析式，准确求得抛物线与坐标轴的交点、顶点坐标及对称轴。

（2）掌握平面直角坐标系中两点间距离公式、中点坐标公式，并能灵活运用。

（3）理解并掌握等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊几何图形在二次函数背景下存在的判定条件。

2.过程与方法【非常重要】：

（1）通过对动点运动过程中不变量的探究，学会用“动静结合”的观点分析问题，能够根据题意画出符合要求的草图，培养几何直观。

（2）掌握解决存在性问题的通性通法：先假设存在，再根据几何图形的性质建立方程（等量关系），最后解方程并检验。在这一过程中强化分类讨论思想（如等腰三角形按腰相等分类、平行四边形按对边或对角线分类）。

（3）能够从“数”与“形”两个角度分析问题，体会代数运算的严谨性与几何图形的直观性互为验证的关系。

3.情感态度价值观【热点】：

（1）通过解决复杂压轴题，培养学生不畏困难、勇于探索的意志品质，增强面对中考的自信心。

（2）在小组合作探究中，体会团队协作的力量，在交流辩论中提升数学表达能力。

三、教学重难点

1.重点【基础+高频考点】：掌握解决“二次函数中几何图形存在性问题”的分类标准（如何不重不漏）与构造方程的方法（如何列方程）。

2.难点【难点+区分度】：在复杂动点背景下，如何根据几何图形的隐含条件（如垂直、平行、对称）精准设元，并选择最简洁的路径构造等量关系，以及多重分类下的综合计算与根的取舍。

四、教学实施过程（核心环节，占篇幅85%）

（一）预热阶段：唤醒经验，搭建脚手架（5分钟）

教师通过几何画板展示一个基础问题：平面内有A、B两个定点，请在平面内找一点P，使得△PAB是等腰三角形。引导学生回顾“两圆一线”模型；进而提问：若要找一点P使得△PAB是直角三角形呢？引导学生回顾“一圆两线”（即以AB为直径的圆和过A、B垂直于AB的直线）。此环节目的在于唤醒学生对几何图形存在性判定最基本的作图经验，为后续在抛物线背景下寻找动点作铺垫，强调【作图意识】是解决存在性问题的第一步。

（二）探究一：等腰三角形的存在性问题（25分钟）【非常重要+高频考点】

1.问题呈现（母题探究）：如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，顶点为D。设抛物线的对称轴为直线l，在对称轴l上是否存在一点P，使得△PAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2.思路点拨（师生共析）：

（1）【设参】：对称轴l是定直线，可求出解析式为y=x²-2x-3，对称轴x=1。设P点坐标为(1,m)。此时，A、C为定点，P为动点。

（2）【分类】：“以AC为腰”这个条件是关键限制。需要明确分类标准：通常等腰三角形的存在性分两类：①以A为顶点（AP=AC）；②以C为顶点（CP=CA）。不涉及以P为顶点（因为AC是腰，不是底，底是PC或PA，但题干限定AC为腰，所以排除了AC为底的情况，但需警惕学生易惯性思维分为三类，此处要强调审题）。

（3）【列式】：利用两点间距离公式d²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²，分别表示出AP²、CP²、AC²。

AC²=(-1-0)²+(0+3)²=1+9=10。

AP²=(-1-1)²+(0-m)²=4+m²。

CP²=(1-0)²+(m+3)²=1+(m+3)²。

①当AP=AC时，即AP²=AC²→4+m²=10→m²=6→m=±√6。

②当CP=AC时，即CP²=AC²→1+(m+3)²=10→(m+3)²=9→m+3=±3→m₁=0，m₂=-6。

（4）【验证】关键步骤。①检验是否符合题意：m=0时，P(1,0)，此时P在x轴上，A、C、P三点共线？A(-1,0)，C(0,-3)，P(1,0)，通过斜率判断，A与P连线在x轴上，C不在，不共线，可以构成三角形，但此时AP=√(4+0)=2，AC=√10，AP≠AC，验证发现m=0时是CP=AC成立，但需验证三角形是否存在：边长AP=2，CP=√(1+9)=√10，AC=√10，满足三角形三边关系，且AP+AC>CP？2+√10>√10成立，所以是三角形，且是以C为顶点的等腰三角形，点P(1,0)符合。②检验是否在对称轴上：都在直线x=1上。③注意m=-6时，P(1,-6)，也在对称轴上，均符合。故存在四个点：P₁(1,√6)，P₂(1,-√6)，P₃(1,0)，P₄(1,-6)。

3.变式追问（思维进阶）：去掉“以AC为腰”这个限制，改为“使得△PAC是等腰三角形”。那么该如何分类？引导学生得出【两圆一线】的代数解法：即以A为圆心、AC为半径作圆与直线l相交；以C为圆心、AC为半径作圆与直线l相交；作AC的垂直平分线与直线l相交。分别对应AP=AC、CP=AC、PA=PC三种情况。让学生补充计算PA=PC的情况（此时P在AC中垂线上，通过AC中点(-0.5,-1.5)且斜率乘积为-1求出中垂线方程，再与x=1联立），从而得到所有解。此环节强调【分类讨论要全面，绝不能漏解】。

（三）探究二：直角三角形的存在性问题（25分钟）【重要+高频考点】

1.问题呈现（延续母题）：在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PAC是直角三角形？若存在，求出点P坐标。

2.探究路径（小组合作）：

（1）【代数法通杀】（小组A展示）：依然设P(1,m)。分别表示出△PAC三边的平方：AC²=10，AP²=4+m²，CP²=1+(m+3)²。直角三角形按直角顶点分类：

①若A为直角顶点：有AP²+AC²=CP²→(4+m²)+10=1+(m+3)²→14+m²=1+m²+6m+9→14=10+6m→6m=4→m=2/3。

②若C为直角顶点：有CP²+AC²=AP²→[1+(m+3)²]+10=4+m²→11+m²+6m+9=4+m²→20+6m=4→6m=-16→m=-8/3。

③若P为直角顶点：有AP²+CP²=AC²→(4+m²)+[1+(m+3)²]=10→4+m²+1+m²+6m+9=10→2m²+6m+14=10→2m²+6m+4=0→m²+3m+2=0→(m+1)(m+2)=0→m₁=-1，m₂=-2。

（2）【几何法直观】（小组B展示）：利用“直径所对的圆周角是直角”。以AC为直径作圆，若该圆与对称轴有交点，则交点即为使∠APC=90°的点P。求出AC中点M坐标及半径，利用圆心到直线l的距离与半径比较判断存在性并计算。通过计算验证发现确实存在m=-1和-2两点。

（3）【斜率法】（小组C展示）：若两直线垂直，则在平面直角坐标系中，k₁·k₂=-1（斜率存在时）。分别求出PA、PC的斜率（用m表示），分情况讨论，验证结论一致。

3.方法优化：比较三种方法，代数法（勾股定理列方程）虽然计算量大，但思维量小，是“通法”，也是最稳妥的办法；几何法直观，但构造复杂，对圆的方程要求高；斜率法简单，但要考虑斜率不存在的情况（如PA垂直于x轴时）。中考中推荐优先使用【代数法】，但在计算时要善于利用平方差公式或因式分解简化运算【重要技巧】。

（四）探究三：平行四边形的存在性问题（25分钟）【非常重要+热点+难点】

1.问题呈现（变换背景）：在抛物线y=x²-2x-3的图像上，是否存在一点Q（点Q在抛物线对称轴右侧），使得以A、C、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？点A(-1,0)，C(0,-3)，B(3,0)，Q为抛物线上的动点。

2.审题分析：本题已明确四个点A、C、B、Q为顶点，但未指定顺序，故存在多种构图可能。这是典型的“三定一动”型平行四边形存在性问题。

3.核心策略——“对点法”（坐标平移法/中点重合法）【非常重要】：

师讲解：平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点重合。设Q点坐标为(q,q²-2q-3)。已知A、C、B是定点。

（1）分类讨论：按照对角线来分。

①若以AB为对角线，则AB的中点与CQ的中点重合。AB中点坐标为((-1+3)/2,(0+0)/2)=(1,0)。设CQ中点坐标为((0+q)/2,(-3+q²-2q-3)/2)=(q/2,(q²-2q-6)/2)。令它们相等：q/2=1→q=2；且(q²-2q-6)/2=0→q²-2q-6=0。将q=2代入：4-4-6=-6≠0，不成立。故不存在。

②若以AC为对角线，则AC中点与BQ中点重合。AC中点：(-0.5,-1.5)。BQ中点：((3+q)/2,(0+q²-2q-3)/2)。列方程：(3+q)/2=-0.5→3+q=-1→q=-4（舍去，因为Q在对称轴右侧即x=1右侧，q=-4不在）。但是否舍去需考虑：题目说“在抛物线对称轴右侧”，故q=-4不符合，舍去。

③若以BC为对角线，则BC中点与AQ中点重合。BC中点：(1.5,-1.5)。AQ中点：((-1+q)/2,(0+q²-2q-3)/2)。列方程：(-1+q)/2=1.5→-1+q=3→q=4；且(q²-2q-3)/2=-1.5→q²-2q-3=-3→q²-2q=0→q(q-2)=0→q=0或2，结合q=4，发现q=4并不满足二次方程。所以无解。

（2）发现问题：按此方法，三种情况似乎都无解？那是不是没有点Q呢？引导学生思考：题干中“A、C、B、Q为顶点”不一定把这三个定点都连成边，可能Q是对角线交点？实际上，刚才的分类已涵盖所有可能。但若无解，则说明不存在这样的平行四边形。

但师需引导另一种思路：我们可以固定一个顺序，比如平行四边形ACBQ，即以AC、BQ为对边，那么AC平行且等于BQ，利用平移法也可求解。但这需要验证。为节省时间，师直接指出，若利用“对点法”无解，可尝试平移法，两种方法本质等价。此处重点在于让学生掌握【分类的标准】和【中点坐标公式的应用】。

4.变式拓展：若改为以A、C、M、N为顶点的四边形，其中M在对称轴上，N在抛物线上，即“两定两动”型，该如何处理？通常设M、N坐标，利用中点坐标公式建立方程组，转化为方程求解。这是陕西中考的常见变式，要求学生必须掌握。

（五）探究四：特殊四边形的存在性问题（20分钟）【热点+区分度】

1.菱形存在性问题（以探究三为基础）：若改为平行四边形且邻边相等（即菱形），该如何处理？先按平行四边形的方法求出动点坐标，再验证邻边是否相等（或对角线垂直平分）。即“平行四边形+一组邻边相等=菱形”。

2.矩形存在性问题：平行四边形+对角线相等（或一个内角为直角）。通常利用勾股定理或斜率乘积为-1构造方程。

3.正方形存在性问题【难点】：平行四边形+对角线相等且垂直（或邻边相等且垂直）。需同时满足两个条件，计算量极大，常作为压轴题的最后一问。教师仅展示思路：先定平行四边形，再附加等腰直角条件。

4.典例简析（投影展示）：在抛物线背景上，已知A、B定点，在抛物线和对称轴上各找一点构成菱形。教师带领学生快速梳理“分类”与“设参”的流程，不做详尽计算，重在思维建模。

（六）课堂小结与反思（5分钟）

1.知识层面：回顾了等腰、直角、平行四边形、特殊平行四边形的存在性问题。

2.方法层面：

（1）【核心思想】“以静制动”：设出动点坐标（参数），用参数表示出相关线段的长度或点的坐标。

（2）【分类原则】不重不漏：等腰（按顶点）、直角（按顶点）、平行四边形（按对角线）。

（3）【两大工具】距离公式、中点公式。

（4）【重要步骤】“假设→列式→求解→检验”，检验包括是否符合题意（如三点共线、是否符合取值范围）。

3.思想层面：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想。

五、解题方法体系构建（给学生的方法论）【非常重要】

为解决二次函数中的几何图形存在性问题，学生应构建如下“解题工具箱”：

1.一看：先看是三角形还是四边形，是等腰、直角还是特殊平行四边形。

2.二定：确定定点和动点，明确哪些点在函数图像上，哪些点在直线上（如对称轴、坐标轴）。

3.三分类：

三角形：等腰——两圆一线；直角——一圆两线（或用勾股定理分三类）。

平行四边形：按对角线分三类（三定点时）；按边和对角线分（两定两动时）。

4.四设参：引入参数表示动点坐标（通常1个未知数）。

5.五列方程：根据几何性质（线段相等、垂直、平行）列出关于参数的方程。

6.六求解并验算：解方程，并剔除不符合条件的解。

六、