人教版初中数学九年级下册《图形的相似》第一课时教案（相似图形）

人教版初中数学九年级下册《图形的相似》第一课时教案（相似图形）

一、课程基本信息

学科：初中数学

年级/学段：九年级下学期

教材版本：人民教育出版社

课时主题：相似图形

课时安排：第1课时（共约1-2课时）

核心素养聚焦：抽象能力、几何直观、推理意识、应用意识

二、教材与学情分析

（一）教材内容解析与地位作用

本节内容是“图形的相似”章节的起始课，隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域“图形的变化”主题。教材在学生已经系统学习了图形的全等、平移、轴对称、旋转等图形变换的基础上，引入图形相似的初步概念。

从知识脉络看，“相似”是“全等”的一般化发展（全等是相似比为1的特殊相似），同时也是后续研究相似三角形的判定与性质、位似图形、锐角三角函数乃至高中阶段相似变换与比例理论的基石。从思想方法看，本节课首次在初中阶段系统地从“形状相同”这一定性描述，过渡到“对应角相等，对应边成比例”这一精确定量刻画，是培养学生从感性直观上升到理性抽象、从定性认识到定量分析的关键节点。此外，相似概念广泛应用于测量、绘图、摄影、建筑、艺术等众多领域，是体现数学应用价值与跨学科联系的绝佳载体。

本节教材通常通过观察大量生活与几何图形实例，引导学生归纳相似图形的共同特征，初步形成概念，并辨析相似与全等、相似与位似的联系与区别。

（二）学情分析

认知基础：

1.知识层面：九年级学生已经掌握了三角形、四边形、圆等基本图形的性质，深刻理解了全等图形的概念（形状、大小完全相同）及其判定方法。同时，具备了比例、成比例线段的基本运算能力。

2.能力层面：学生具备了一定的观察、比较、归纳能力，能够进行简单的逻辑推理，几何直观能力在之前的学习中得到了发展。

3.经验层面：学生在生活中对“相似”现象有丰富的感性认识，如放大或缩小的照片、不同比例的地图、模型与实物等。

认知障碍与突破点：

1.从“形似”到“数析”的跨越：学生容易停留在“看起来像”的直观层面，难以自发地、精准地抽象出“对应角相等、对应边成比例”这一双重数量关系。教学中需设计层层递进的探究活动，引导他们从测量、计算等操作中自主发现这一本质特征。

2.相似与全等的概念混淆：由于学习顺序的邻近和思维的惯性，部分学生可能将“相似”理解为“不全等的图形”，忽略了全等是相似的特例。需要通过具体例证的对比辨析，构建包容性的概念体系。

3.对“对应”关系的准确把握：在判断复杂图形或多边形是否相似时，准确找到“对应顶点”、“对应角”、“对应边”是难点。需要在活动中强化“对应”意识，教授寻找对应关系的方法（如按字母顺序、按图形位置和角度等）。

三、教学目标

依据课程标准与核心素养要求，结合教材与学情，制定如下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.通过观察、操作、归纳等过程，理解相似图形的概念，知道相似图形的本质特征是形状相同。

2.能准确表述相似多边形（以三角形、四边形为主）的定义：对应角相等，对应边成比例。

3.能识别生活中的相似图形和数学中的相似多边形，能根据定义初步判断两个多边形是否相似。

4.理解相似比（相似系数）的概念，并会进行计算。

2.过程与方法：

1.经历从实际背景中抽象出相似图形概念的过程，体会数学抽象和模型思想。

2.通过测量、计算、比较等探究活动，发现相似多边形的本质属性，发展合情推理和演绎推理能力。

3.学会运用“观察—猜想—验证—归纳”的数学研究方法。

4.在解决实际问题中，发展几何直观和应用意识。

3.情感、态度与价值观：

1.感受相似图形与现实世界的广泛联系，体会数学的实用价值和美学价值。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的信心。

3.通过了解相似在科技、艺术等领域的应用，拓宽视野，激发学习兴趣和探索精神。

四、教学重难点

教学重点：相似图形（多边形）的概念及其本质特征。

教学难点：

1.从感性“形似”上升到理性“对应角相等、对应边成比例”的数学刻画。

2.准确理解和寻找复杂相似图形中的“对应关系”。

3.相似与全等概念的区分与联系。

五、教学准备

教师准备：

1.多媒体课件：包含丰富的图片（不同尺寸国旗、照片放大缩小、地图、建筑图纸、埃舍尔错觉画、相似商标等）、动画（图形动态缩放过程）、探究活动表格、例题与练习题。

2.教具：

1.3.大小不同的两副三角板（30°-60°-90°，45°-45°-90°）。

2.4.一组形状相同、大小不同的多边形卡片（如不同边长的正方形、等边三角形、形状一致的任意三角形卡片）。

3.5.可缩放的几何画板软件实时演示。

4.6.实物：放大镜、不同比例尺的同一地区地图。

7.学习任务单（导学案）：包含观察记录表、探究活动记录表、课堂练习与分层作业。

学生准备：直尺、量角器、圆规、计算器、方格纸。

六、教学过程设计（核心环节，约占总篇幅60%）

第一阶段：创设情境，激趣引新（预计时间：8分钟）

设计意图：从学生最熟悉的生活和跨学科场景切入，激活已有经验，引发认知冲突，明确学习目标，激发探究欲望。

活动一：跨越学科的“相似”世界

1.视觉冲击：课件展示一组图片：

1.2.爱国主义教育：天安门广场升旗仪式（特写国旗）与教室墙上的国旗。

2.3.艺术与科技：荷兰画家埃舍尔的《变形》系列版画局部；电影《蚁人》中角色大小变化的剧照对比。

3.4.地理与工程：同一城市不同比例尺（如1:10000和1:50000）的地图截图；大型建筑的设计蓝图与建成后的照片。

4.5.生物与自然：一片树叶与它被放大镜放大后的轮廓；雪花的显微结构图案（强调形状的重复与相似）。

6.问题链驱动：

1.7.Q1：观察这组图片，你能发现其中的图形之间有什么共同特点吗？（预设回答：形状一样，大小不一样）

2.8.Q2：在我们的数学世界里，有没有“形状相同，大小相等”的图形？（预设回答：全等图形）

3.9.Q3：那么，对于这些“形状相同，但大小不一定相等”的图形，我们应该如何从数学上准确地描述和研究它们呢？

10.揭示课题：教师总结：像这样，形状相同的图形，我们称之为“相似图形”。今天，我们就一起走进相似图形的世界，探究它的数学奥秘。

1.11.板书课题：§27.1图形的相似（一）——相似图形

活动二：初识“相似”——概念感知

1.举例与辨析：请学生再列举几个生活中相似图形的例子（如不同尺寸的手机型号图、同款汽车模型与真车等）。同时，课件展示反例：一个正方形和一个长方形（面积可能相同但形状不同）、一个圆和一个椭圆。提问：它们是相似图形吗？为什么？

2.初步归纳：引导学生用语言描述相似图形的初步特征：形状完全相同，大小不一定相同。强调“形状相同”是核心。

第二阶段：操作探究，建构概念（预计时间：22分钟）

设计意图：这是突破教学难点的关键环节。通过从简单到复杂、从特殊到一般的系列探究活动，让学生亲手操作、测量、计算、思考，自主发现相似多边形的本质数量关系，完成概念的精准建构。

活动三：探究相似多边形的特征（从特殊到一般）

【探究1：特殊图形——正方形与等边三角形】

1.教师发放学习任务单，出示探究表格一。

2.学生活动：在方格纸上画两个边长不同的正方形（如边长为2和4）。测量它们的每个内角度数和每条边的长度，填入表格。

3.引导思考与计算：

1.4.它们的每个内角分别是多少度？有什么关系？（相等，都是90°）

2.5.它们的边长分别是多少？对应边的比值是多少？（如4:2=2:1）

3.6.所有对应边的比值都相等吗？（相等）

7.小组交流，得出结论：对于这两个正方形，它们的对应角相等，对应边成比例。

【探究2：一般图形——形状相同的三角形】

1.课件出示或教师发放两个形状相同但大小不同的三角形卡片（△ABC和△A'B'C'），顶点已标注对应字母。

2.学生活动：用量角器测量每个三角形的三个内角，用直尺测量三条边的长度（精确到毫米），记录在任务单表格二中。

3.深度探究：

1.4.比较∠A与∠A'，∠B与∠B'，∠C与∠C'的大小关系。（相等）

2.5.计算AB与A'B'、BC与B'C'、CA与C'A'的比值。（引导学生发现比值相等或近似相等，理解测量误差）

3.6.核心提问：如果两个三角形只是“看起来像”，但一个角不相等，或者边不成比例，它们还是相似的吗？请用教具（如可变形的三角形模型）演示反例。

7.归纳猜想：对于这两个三角形，也有对应角相等，对应边成比例。

【探究3：归纳定义，理解“对应”】

1.抽象概括：教师引导学生将正方形、三角形的发现推广到任意多边形。

1.2.提问：对于任意两个形状相同的多边形（比如两个五边形），它们的角和边会有怎样的关系？你能试着说出相似多边形的定义吗？

3.形成定义：在学生尝试表述的基础上，教师给出精确定义，并板书：

相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

4.概念剖析（难点突破）：

1.5.“对应”的含义：通过动画演示，展示两个相似多边形如何通过旋转、翻转等方式使其“对应”关系最清晰。强调在书写和判断时，通常按字母顺序或图形位置指明对应关系（如△ABC∽△A'B'C'）。

2.6.“相似比（相似系数）”：引出相似比k的概念。k=相似多边形对应边的比。强调顺序：△ABC与△A'B'C'的相似比为k，则△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k。

3.7.全等是相似的特例：提问：当相似比k=1时，这两个多边形是什么关系？（全等）因此，全等图形一定是相似图形。

活动四：几何画板动态验证

教师利用几何画板软件，现场绘制一个任意多边形，然后执行“缩放变换”，生成一个新的多边形。动态演示：

1.拖动顶点改变原图形状，新图随之改变，始终保持“形状相同”。

2.软件实时显示对应角的度数（始终相等）和对应边的长度及其比值（始终为一个定值k）。

设计意图：利用技术手段，将静态结论动态化、一般化，加深理解，强化“对应角相等、对应边成比例”是“形状相同”的充要条件。

第三阶段：辨析应用，深化理解（预计时间：12分钟）

设计意图：通过正反例辨析、基础应用和初步综合应用，巩固概念，深化对定义的理解，特别是对“对应”关系的把握，并初步体会相似的应用价值。

例1：（概念辨析）判断下列说法是否正确，并说明理由。

1.所有的矩形都相似。（×，对应角虽相等（90°），但对应边不一定成比例）

2.所有的等边三角形都相似。（√，对应角相等（60°），对应边成比例）

*变式：所有的等腰三角形都相似吗？所有的直角三角形都相似吗？（引导学生举反例）

3.两个菱形，若有一个内角相等，则它们相似。（×，需所有对应角相等且对应边成比例。例如，一个角为60°和120°的菱形，与一个正方形，有一个角相等但不相似）

例2：（根据定义初步判断）如图所示，四边形ABCD与四边形EFGH，已知∠A=∠E=80°，∠B=∠F=75°，∠C=∠G=105°，∠D=∠H=100°。且AB=4,BC=6,CD=5,DA=3；EF=6,FG=9,GH=7.5,HE=4.5。这两个四边形相似吗？为什么？

1.教学引导：带领学生分步操作：①确认对应角是否相等（题目已给出）。②计算对应边的比值：AB/EF=4/6=2/3，BC/FG=6/9=2/3，CD/GH=5/7.5=2/3，DA/HE=3/4.5=2/3。③得出结论：对应角相等，对应边成比例（比值为2/3），所以相似。④指出相似比。

例3：（生活中的简单应用）一张照片长10英寸，宽8英寸。若将其等比例放大，使放大后的照片长为15英寸。求：（1）放大后的照片宽是多少？（2）放大前后的照片是相似图形吗？相似比是多少？

1.解决：(1)设宽为x英寸，由对应边成比例得10/15=8/x，解得x=12。(2)是相似图形。相似比（放大前：放大后）为10:15=2:3，或（放大后：放大前）为3:2。

2.拓展讨论：如果不是“等比例”放大，结果会怎样？（图形会失真，不再是相似图形，强调“对应边成比例”的重要性。）

第四阶段：总结升华，布置作业（预计时间：3分钟）

活动五：课堂小结

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：今天我们学习了什么？

1.2.相似图形的感性认识：形状相同。

2.3.相似多边形的精确定义：对应角相等，对应边成比例。

3.4.相似比的概念。

4.5.全等与相似的关系。

6.方法层面：我们是如何得到这些知识的？（观察生活实例→操作探究特殊图形→归纳猜想一般结论→验证应用）

7.思想层面：本节课体现了哪些数学思想？（从特殊到一般、数形结合、类比思想）

教师用结构图（思维导图）形式在黑板上进行总结性板书。

活动六：分层作业布置

A层（基础巩固）：

1.教材课后习题：完成练习中关于识别相似图形和根据定义简单判断的题目。

2.列举生活中5对相似图形的实例，并尝试说明理由。

B层（能力提升）：

3.已知△ABC的三边长分别为3cm,4cm,5cm。与它相似的△A'B'C'的最长边为15cm。求△A'B'C'的周长和最短边的长度。

4.思考：放大镜下的图形与原图形是相似图形吗？用今天所学的知识解释。

C层（拓展探究/跨学科实践）：

5.（数学与艺术）搜集荷兰画家埃舍尔(M.C.Escher)利用相似、密铺等数学原理创作的艺术作品，写一篇简短的小报告，分析其中蕴含的“相似”元素。

6.（数学与地理）找一张本地的地图，查看其比例尺。在地图上任意选取两个形状相同的区域（如两个相似的湖泊轮廓），测量其图上距离，估算实际面积的比值，并与根据相似比计算的面积比理论值进行对比分析。

七、板书设计

主板书区：

§27.1图形的相似（一）——相似图形

一、相似图形（感知）

特点：形状相同，大小不一定相同。

二、相似多边形（定义）

1.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

2.记法：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'

3.相似比（k）：相似多边形对应边的比。

*△ABC与△A'B'C'的相似比为k

*△A'B'C'与△ABC的相似比为1/k

三、相似与全等的关系

全等图形是相似比为1的特殊相似图形。

副板书/过程展示区：

1.探究活动记录（表格关键词）

2.例题关键步骤演算

3.学生生成的精彩举例或疑问

八、教学反思预设与特色说明

（此部分为教师课前预设与设计自评，不直接向学生展示）

1.教学特色与创新点：

1.跨学科情境贯穿始终：导入与作业设计深度融合了艺术（埃舍尔）、地理（地图）、科技（摄影、电影）、生物等元素，展现了数学的广泛应用，有助于