2025-2026学年浙江省湖州市长兴县南太湖联盟高二上学期12月联考数学试题（含解析）

浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题1．（2025高二上·长兴月考）已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（）A．1 B．−33 C．332．（2025高二上·长兴月考）“2<m<3”是“方程A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2025高二上·长兴月考）已知平面α经过点A(1,1,−1)，且平面α的一个法向量为n=(2,1,0)，则点A．355 B．55 C．154．（2025高二上·长兴月考）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若A．33 B．44 C．55 D．665．（2025高二上·长兴月考）在正三棱锥O−ABC中，棱OA,OB,OC两两垂直，D,E分别是棱BC和A．7878 B．37878 C．786．（2025高二上·长兴月考）已知F为抛物线C:y2=4xA．5 B．4 C．3 D．27．（2025高二上·长兴月考）已知数列{an}满足a1=2A．1002 B．1023 C．1024 D．10058．（2025高二上·长兴月考）已知A，B是双曲线C:x2a2−y2bA．132 B．72 C．2249．（2025高二上·长兴月考）点P在圆C1：x2+y2A．两圆的位置关系为外切B．|PQC．两圆公切线段长为2D．两圆相交弦所在直线的方程为310．（2025高二上·长兴月考）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1A．若F是棱AD的中点，则EF//平面B．若E是棱A1B1的中点，直线C．线段AF长度的最大值为2D．若P为线段EF的中点，则PB⋅PC11．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆C:x225+y216=1，F1，F2是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点P1，P2，…，Pn，（n≥3A．△PB．当d>0.4C．当n=13时，D．1|P12．（2025高二上·长兴月考）已知数列{an}满足a1=113．（2025高二上·长兴月考）若圆C:(x−2)2+14．（2025高二上·长兴月考）点P是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点K，若F为AK的中点，|AF|=8，15．（2025高二上·长兴月考）已知圆C过曲线y=（1）求圆C的方程；（2）若过点P(2,2)16．（2025高二上·长兴月考）已知抛物线C:x2=2py（1）求抛物线C的方程及x0（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点M(4,7)恰为△17．（2025高二上·长兴月考）已知数列{an}满足：a1=2，an+1（1）求数列{an}（2）若cn=anb18．（2025高二上·长兴月考）如图，在四棱锥D−ABCE中，F为棱BD上一动点（不包含端点），CE//AB，（1）证明：BE⊥平面ADE（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线AF与平面BED所成角的正弦值；（3）若O是三棱锥D−ABE外接球的球心，求19．（2025高二上·长兴月考）已知椭圆Γ:y2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点T(4,0)（ⅰ）求△AOB（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.

答案解析部分1．【答案】D【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的截距式方程【解析】【解答】解：因为直线l倾斜角为60°，所以直线l的斜率为tan60°=则直线l的方程为y=3x−1，

令x=0故答案为：D.【分析】先利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而得到直线l的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程，从而求出直线l的纵截距.2．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的标准方程【解析】【解答】解：因为方程x2所以m>04−m所以“2<m<3”是“方程故答案为：A.【分析】先根据方程x23．【答案】B【知识点】点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：由A(1,1,−1)，B(2,0,0)，得又因为平面α的一个法向量为n=(2,1,0)所以n=则点B(2,0,0)到平面的距离为AB故答案为：B.【分析】利用已知条件得出向量AB⃗4．【答案】C【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质5．【答案】A【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】解：以O为坐标原点，OB,OC,OA所在直线分别为设OA=OB=OC=6所以EF=设异面直线EF与AD所成角大小为θ，则cosθ故答案为：A【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，设OA=OB=OC=66．【答案】C【知识点】抛物线的标准方程；平面向量垂直的坐标表示【解析】【解答】解：因为点F为抛物线C:y2又因为A为抛物线在第一象限上的点，设Ax所以AF又因为AF⊥AT，所以则1−x解得x=3故答案为：C.【分析】利用抛物线方程求出抛物线的焦点，根据AF⊥AT得7．【答案】B【知识点】对数的性质与运算法则；数列的递推公式【解析】【解答】解：因为a1=2，an+1=依次可得a4=a18，a5=a116则log=1+2+⋯+512故答案为：B.【分析】根据an2=an+1得到a2=a128．【答案】A【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质【解析】【解答】解：由OA+OB=0，

得双曲线C:令该双曲线的右焦点为F2，

则四边形AF1B由|F1A|=3|F1B|，|AF1|−|A则4|AO|2+4c2=20a2消去x0，得c2y02=b因此b2(4a2−c2所以双曲线C的离心率e=故答案为：A.

【分析】根据已知条件结合双曲线的对称性，从而得出|AF2|=a9．【答案】B,C,D【知识点】平面内两点间距离公式的应用；圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定；相交弦所在直线的方程【解析】【解答】解：对于A，由圆C1:x2+由圆C2:(x−3)因为C1C2=32+对于B，由圆的性质，可知PQmax对于C，由过圆心的半径垂直于切线，

得公切线的长度为52对于D，联立圆C1方程和圆C2方程，可得x2+y2=16x−32+故答案为：BCD.

【分析】利用圆心距与半径差、半径和的大小关系，判断出两圆的位置关系，则判断出选项A；根据圆的性质可得圆上点的位置，再利用几何法求最值的方法，从而得出|PQ10．【答案】A,C【知识点】空间中两点间的距离公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；空间向量的数量积运算的坐标表示【解析】【解答】解：在长方体ABCD−A1B1C1如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyz，则B4,0,0∴设Ea,0,2∵FE=a2若F是棱AD的中点，则F0,2,0，则b=2，

∴a=在正方形ABCD中，AC⊥又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴BB1⊥AC，且BB∴AC⊥平面BB1D，

则∵EF⋅AC=−8+8+0=0，则EF⊥AC，

当E是棱A1B1的中点时，E2,0,2，G4,2,0因为AC=4,4,0是平面又∵不存在实数λ使得AC=λEG，

所以AC∴直线EG与平面BB因为EF=−a∴b=8−a2≤当P为线段EF的中点时，Pa∴PB=4−a则PB⋅∵a2+b设直线l:−4x−2y+19=0，点Q则圆心O到直线l的距离d0=1942+22=点Q到直线l的距离d=∵−4a∴PB→·PC→=−4a−2b+19≥19−410，故选项D错误.

故答案为：AC.

【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，设Ea,0,2,F0,b,0a>0,b>0，由EF=23得出a11．【答案】A,D【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的通项公式；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算【解析】【解答】解：对于A，由椭圆C:x225+y2则焦点三角形△PiF对于B，由选项A，可得P15,0,由等差数列P1F2,P2F2,P3F2,⋯,PnF2的公差d>0，

对于C，由n=13，得d=12==1对于D，由题意，可得P2F2=2+d，Pn−1F2=8−d，n令f'x=0，

由0<x<3，解得x当0<x<12时，f'所以函数fx在0,12则fx故答案为：ACD.【分析】根据椭圆的标准方程结合焦点三角形的性质可判断出选项A；根据椭圆顶点与焦点坐标，再利用等差数列的通项公式数列的单调性，从而得出n的最大值，则判断出选项B；利用已知条件和裂项相消法可判断出选项C；由题意构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，则得出1|12．【答案】20【知识点】数列的求和；数列的递推公式13．【答案】2【知识点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】解：由圆C:(x−2)2+(所以圆心C(2,−3)到直线l:3x由圆的弦长公式，得AB=2r2−d由余弦定理，得cos∠ACB=CA2+CB故答案为：2π【分析】先由圆的方程得出圆心坐标和半径长，利用弦长公式得出AB的长，再根据CA=CB=4和余弦定理以及三角形中∠14．【答案】5−【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：过点A作AH⊥x轴于点H，准线与x轴交于点G，

因为若F为AK的中点，|AF|=8，所以FK=8，

则Rt△AFH≌Rt△KFG所以xA=3p2，将xA=3p2代入抛物线C:y2则p2+3p2=64过点P作PT⊥准线于点T，则|PF要想求|PF|+|PQ又因为Q在以MF为直径的圆上，设圆心为E，则E3,−1则直径为MF=4−22+−2−0所以PQ≥PE−r=所以，当E,Q,P,故答案为：5−2.

【分析】先作出辅助线，利用已知条件和两直角三角形全等的判断方法和性质，再结合代入法得到xA=3p2，15．【答案】（1）解：令x=0，则y=−3，

令y=0，所以x2−2x−3=0所以圆C过点(0,−3),(3,0),(−1,0)，设圆C的方程为x2所以9−3E+F则圆C的方程为x2+y2−2（2）解：由（1）可知圆C的圆心坐标为C(1,−1)，半径r若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2此时圆心C到直线l的距离为d=2−1=1≠若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k此时圆心C到直线l的距离为d=解得k=−2或k所以直线l的方程为y=−2(x−2)+2=−2【知识点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系【解析】【分析】（1）先求出曲线y=（2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，根据圆心到直线的距离等于半径，从而求出直线的斜率，进而得出圆的切线l的方程.（1）令x=0，则y=−3，令y=0，则x2−2所以圆C过点(0,−3),(3,0),(−1,0)，设圆C的方程为x2所以9−3E+F所以圆C的方程为x2+y（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为C(1,−1)，半径r若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=2此时圆心C到直线l的距离为d=2−1=1≠若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k此时圆心C到直线l的距离为d=解得k=−2或k所以直线l的方程为y=−2(x−2)+2=−216．【答案】（1）解：因为抛物线C:x2=2py(p>0)的准线方程为又因为抛物线C的方程为x2=4y，

由点P(x0,9)在抛物线C所以抛物线C的方程为x2（2）解：设A(x1,y1),B(x2,y解得x1+x2=12,y1+y两式相减，得(x1+x2所以直线l的斜率为k=【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用抛物线的准线方程和已知条件求出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用点代入法得出点P的横坐标.（2）设出点A,B的坐标，利用三角形重心坐标公式求出（1）抛物线C:x2=2py(p抛物线C的方程为x2=4y，由P(x0,9)所以抛物线C的方程为x2=4y（2）设A(x1,y1),解得x1+x2=12,y1两式相减，得(x1+所以直线l的斜率k=17．【答案】（1）解：由题意，可知：an所以a=2(所以an当n≥2时，b当n=1时，b所以bn（2）解：由（1）可知cn则Tn3T所以−2=3所以Tn【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式；通项与前n项和的关系【解析】【分析】（1）根据已知条件和累加法得出数列{an}的通项公式，再根据S（2）利用(1)得出的数列{an}的通项公式和数列{bn}的通项公式，从而得出数列（1）由题可知：an所以a=2(n所以an当n≥2时，b当n=1时，b所以bn（2）cn则Tn3T所以−2=所以Tn18．【答案】（1）证明：在四棱锥D−ABCE中，连接BE，

由AE=得BE2=AE2+由AE=AD=1，∠DAE=60°，

得△ADE是正三角形，则DE=AE=1，

又因为BD=2，所以DE所以BE⊥平面ADE（2）解：由（1）得平面ADE⊥平面ABCE，在平面ADE内过点E作Ez因为平面ADE∩平面ABCE=AE，所以，直线Ez⊥平面ABCE，

则直线EA,EB,Ez两两垂直，以点则E(0,0,0),A(1,0,0),由BF=34BD=(38设平面BED的法向量n=(a,b,所以n⋅EB=3b=0n所以直线AF与平面BED所成角的正弦值为|cos（3）解：由（1）知，AB是Rt△ABE的斜边，

则其中点O1是Rt△ABE设O(12,32,解得t=36，则点O(1则F(λ2,=(2λ−1)所以|OF|的最小值为【知识点】空间中两点间的距离公式；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）连接BE，利用余弦定理和勾股定理逆定理，从而证出AE⊥BE,DE⊥（2）由（1）得平面ADE⊥平面ABCE，在平面ADE内过点E作Ez⊥AE，再利用线面垂直判定定理得出直线Ez⊥平面ABCE，则直线EA,EB,Ez两两垂直，从而建立以点（3）由（2）中的空间直角坐标系确定球心O的位置，利用空间两点距离公式求出点O的坐标，再设出点F坐标，再利用空间两点距离公式列式结合二次型函数求最值的方法，从而求出|OF（1）在四棱锥D−ABCE中，连接BE，由AE=得BE2=AE由AE=AD=1，∠DAE=60°，得△DE2+BE2=4=所以BE⊥平面ADE（2）由（1）得平面ADE⊥平面ABCE，在平面ADE内过点E作Ez而平面ADE∩平面ABCE=AE，则Ez⊥平面以点E为原点，直线EA,EB,则E(0,0,0),A(1,0,0),由BF=34BD=(设平面BED的法向量n=(a,则n⋅EB=3b所以直线AF与平面BED所成角的正弦值为|cos（3）由（1）知，AB是Rt△ABE的斜边，则其中点O1是Rt△ABE设O(12,3解得t=36，点OF(λ=(2λ−1)所以|OF|的