2025-2026学年高中数学函数的性质教案

2025-2026学年高中数学函数的性质教案课题课时课程基本信息1.课程名称：函数的性质

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2025年9月15日8:30-9:15

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过函数单调性、奇偶性的抽象概括，提升数学抽象素养；借助函数图像与定义的互证，发展逻辑推理与直观想象素养；运用函数性质解决实际问题，培养数学建模与数学运算素养；结合函数图像分析数据变化趋势，渗透数据分析意识。学情分析高一学生刚完成函数概念与图像学习，具备基本绘图能力，但对函数性质的抽象理解尚浅。知识层面，多数学生能识别函数图像趋势，但对单调性、奇偶性的严格定义和证明逻辑掌握不足，易混淆概念；能力上，直观想象较强，但逻辑推理和抽象概括能力有待提升，尤其缺乏利用定义严谨论证的习惯；素质方面，学生思维活跃但深度不足，部分依赖直观经验，缺乏主动探究意识；行为习惯上，课堂参与度不均，部分学生习惯被动接受，对抽象概念易产生畏难情绪。这些特点直接影响函数性质的学习效果，需通过实例强化定义理解，设计阶梯式问题引导推理，并注重规范书写训练。教学方法与手段教学方法：1.讲授法系统讲解函数单调性与奇偶性的定义；2.讨论法组织小组分析函数性质实例；3.实验法借助图形计算器探索图像变化。

教学手段：1.多媒体投影仪动态展示函数图像；2.GeoGebra软件实时绘制和修改函数；3.互动白板促进学生参与标注。教学过程设计**（总时长：45分钟）**

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###**1.导入环节（5分钟）**

**情境创设**：展示某城市24小时气温变化折线图，提问："观察图像，哪些时段温度持续上升？哪些时段温度持续下降？这种变化趋势如何用数学语言描述？"

**师生互动**：学生观察后自由发言，教师引导归纳"上升/下降"对应函数图像特征，引出课题——函数的单调性。

**板书**：课题《函数的单调性》，并标注关键词"图像趋势→数学定义"。

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###**2.讲授新课（20分钟）**

####**（1）单调性概念探究（8分钟）**

-**定义生成**：以函数\(f(x)=x^2\)为例，在数轴上取\(x_1=-2,x_2=-1,x_3=1,x_4=2\)，计算函数值并列表。

**提问**：

-"当\(x_1<x_2<0\)时，\(f(x_1)\)与\(f(x_2)\)的大小关系如何？"（学生答：\(f(x_1)>f(x_2)\)）

-"当\(0<x_3<x_4\)时，\(f(x_3)\)与\(f(x_4)\)的大小关系如何？"（学生答：\(f(x_3)<f(x_4)\)）

-**抽象概括**：师生共同归纳定义："若在区间\(I\)上，\(x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增。"

-**图像验证**：用GeoGebra动态演示\(f(x)=x^2\)在\((-\infty,0)\)递减、\((0,+\infty)\)递增的过程，强化直观理解。

####**（2）奇偶性概念探究（12分钟）**

-**情境引入**：展示函数\(f(x)=x^3\)与\(f(x)=|x|\)的图像，提问："这两个图像关于什么对称？"（学生答：原点、y轴）

-**定义生成**：

-以\(f(x)=x^3\)为例，取\(x=2\)和\(x=-2\)，计算\(f(-2)\)与\(f(2)\)的关系，归纳奇函数定义。

-以\(f(x)=|x|\)为例，取\(x=3\)和\(x=-3\)，归纳偶函数定义。

-**关键辨析**：

**提问**："若\(f(-x)=-f(x)\)对所有\(x\)成立，是否一定为奇函数？"（引导学生思考定义域对称性）

**板书**：奇偶性定义+"前提：定义域关于原点对称"。

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###**3.巩固练习（15分钟）**

####**（1）基础应用（5分钟）**

-**判断单调性**：给定函数\(f(x)=2x+1\)，学生用定义证明其在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

**互动**：学生板演，教师点评"取值任意性"和"作差法"书写规范。

####**（2）深化理解（6分钟）**

-**分组讨论**：判断函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)的单调性，并说明理由。

**预设问题**：

-"能否取\(x_1=0\)？为什么？"（强调定义域）

-"作差后如何化简\(\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}\)？"（通分变形）

####**（3）创新拓展（4分钟）**

-**性质综合应用**：已知奇函数\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)递增，比较\(f(-2)\)与\(f(1)\)的大小。

**师生互动**：

-学生独立思考后抢答，教师追问："奇函数性质如何转化负区间信息？"

-总结策略："利用奇偶性转化定义域，再结合单调性比较。"

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###**4.课堂小结与作业（5分钟）**

-**小结**：学生用思维导图梳理"单调性/奇偶性"的定义、图像特征、判断方法。

-**分层作业**：

1.基础：课本P45习题A组第1、2题（定义应用）；

2.拓展：探究函数\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)的单调区间（需讨论定义域）。

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**板书设计**：

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函数的性质

一、单调性

定义：\(x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)

图像：↗（增）↘（减）

二、奇偶性

奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)→关于原点对称

偶函数：\(f(-x)=f(x)\)→关于y轴对称

（前提：定义域关于原点对称）

```教学资源拓展1.拓展资源：函数性质在生活中的实际应用，如商品价格与需求量的单调关系、物体运动速度与时间的变化规律；数学史中的函数概念发展，从莱布尼茨到欧拉的函数定义演变；经典函数模型，如指数函数增长与衰减、对数函数在pH值计算中的应用；易错点辨析，如分段函数单调性判断需分段讨论、奇偶性定义域必须关于原点对称；高考真题中的函数性质综合题，如2023年全国卷Ⅰ利用单调性求参数范围、2022年浙江卷奇偶性与不等式结合问题；数学软件应用，如GeoGebra动态演示复合函数单调性变化、Excel绘制函数图像分析数据趋势。

2.拓展建议：阅读教材“阅读与思考”栏目中“函数与方程的关系”，理解函数性质与零点分布的联系；收集生活中具有单调性或奇偶性的实例（如一天气温变化、对称图形的函数表达式），用数学语言描述其性质；尝试用函数性质解决实际问题，如通过二次函数单调性优化利润问题、利用奇偶性简化对称图形的计算；整理函数性质的判断方法思维导图，涵盖定义法、图像法、导数法（后续学习）；参与小组讨论“函数性质在跨学科中的应用”，如物理中的v-t图像单调性与运动状态、化学中浓度变化的函数模型；完成分层拓展练习，基础层（课本习题B组第3、4题）、提升层（探究函数f(x)=ax+1/x的单调性）、创新层（设计一个具有奇偶性的实际函数模型并验证其性质）。教学反思与改进这节课讲完，发现学生对函数单调性的定义理解还算到位，但遇到具体函数时总容易忽略定义域的限制。比如讨论f(x)=1/x在(0,+∞)的单调性时，有学生直接套用公式忘了分母不能为零。下次得在定义讲解时就强调定义域是前提，多举几个反例让学生自己找茬。奇偶性部分，学生符号运算容易出错，特别是复合函数的奇偶判断。下次可以增加一个"符号变形接力"的小游戏，让同桌互相出题考符号，活跃气氛的同时强化训练。课堂讨论时，后排几个学生有点游离，可能问题设计得不够分层。下次准备基础题和挑战题，让不同层次的学生都有事做，比如让基础组判断简单函数性质，提升组尝试证明f(x)=x^3在R上的单调性。板书时定义部分写得有点密，下次要留出更多空白区域，让学生上台标注关键点，这样既能调动参与又能加深印象。最后作业分层要更明确，基础题确保概念过关，拓展题像探究f(x)=ax+1/x的单调性，给学有余力的学生挑战空间。总之，定义域、符号运算和分层互动是下次改进的重点。课后作业1.判断函数\(f(x)=-2x+5\)在实数集上的单调性。

答案：单调递减。

2.用定义证明函数\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

答案：取任意\(x_1<x_2\)，则\(f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)>0\)，故单调递增。

3.判断函数\(f(x)=x^4\)的奇偶性。

答案：偶函数，因为\(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\)。

4.已知函数\(f(x)\)是奇函数，且在\([0,+\infty)\)上单调递增，比较\(f(-4)\)