基础数学（第1册）

导入本章所讲的“集合”是一种基本的数学语言，也是现代数学的基础概念之一．现实中的许多现象和问题都可以归结为集合．学好集合知识是使用数学语言准确表述数学问题的根本，可为进一步学好数学打下良好基础，对提高自身的基本数学素质也具有十分重要的意义．此外，数学是一门逻辑性很强的学科，表述数学概念和结论、进行推理和论证都要使用逻辑用语．学习一些简易逻辑知识，可以帮助我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容．1.1

集合的概念与表示1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.1.1集合的概念引例考察和分析下面的几个例子：某学校的全体学生；某工厂的所有机器；某学校的全体学生；所有的直角三角形；直线

上的所有点．上述例子分别是由一些人、物、数、图形和点组成的整体，每个整体都有一定的范围和确定的对象，且都具有自己的某种特定性质．一般地，要考虑由一些对象组成的整体，用“集合”这个词来表达它．集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合里的每一个对象称为集合的元素．集合通常用大写英文字母A，B，C，…来表示，集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，…来表示．一般采用某些特定的大写英文字母来表示常用的几个数集（即由数组成的集合）：所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R．1.1.1集合的概念用符号表示元素与集合的关系给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于

A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A

，记作．自然数、正整数、整数、有理数、实数之间有什么关系?1.1.1集合的概念例题解析例1解特别强调由方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的解集．显然，方程的解集和不等式的解集都是数集．1.1.1集合的概念例2解；

列举法1对于有的集合，我们可以在大括号中将它的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法称为列举法．例如特别强调

1.1.2集合的表示方法1.1.2集合的表示方法；

列举法多用于表示元素个数较少的集合．当集合为元素较多的有限集或为无限集时，若要用列举法表示，可以在大括号内只写出几个元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素．例如注意1.1.2集合的表示

方法；

描述法2有的集合无法用列举法表示，例如由大于2的实数组成的集合，这个集合有无穷多个元素，显然无法一一列举出来．这种情况下，我们可以抓住这一集合的元素所具有的特征，即所有元素都是实数，并且大于2，由此可将这个集合表示为其中，大括号内竖线左侧的x表示这个集合中的任意一个元素，竖线右侧写的是元素的共同属性，即元素所要满足的条件．这种在大括号内将集合中元素的共同属性描述出来以表示集合的方法称为描述法．1.1.2集合的表示

方法；

提示为了方便起见，在用文字描述集合中元素的共同属性时，可以省略竖线及其左侧的代表元素．例如，由所有锐角三角形组成的集合可以表示为{锐角三角形}．实际上，很多集合既可以用列举法表示，也可以用描述法表示．用“列举法”表示集合，可以明确看到集合的元素；用“描述法”表示集合，可以清晰地反映出集合元素的共同属性．具体可根据实际情况灵活选用．例题解析例3解1.1.2集合的表示

方法1.1.2集合的表示

方法例4解1.2集合之间的关系1.2.3集合的基本运算1.2.4四种命题及其关系1.2.2集合的相等1.2.1子集与

真子集1.2.5充分条件与必要条件1.2.1子集与真子集子集1引例观察下列两组集合：规定1.2.1子集与真子集真子集2规定任何两个集合之间都有包含关系吗？在常用数集N，Z，Q，R中，整数集Z是哪些集合的真子集?1.2.1子集与真子集例题解析例5解1.2.1子集与真子集例6解1.2.2集合的相等引例例题解析例7解1.3集合的基本运算1.3.1交集与并集1.3.2全集与补集1.3.1交集与并集交集1引例特别强调

1.3.1交集与并集1.3.1交集与并集并集2引例1.3.1交集与并集1.3.1交集与并集例题解析解例8例9解例10解1.3.1交集与并集例11解1.3.1交集与并集例12解1.3.2全集与补集例13解例141.3.2全集与补集解1.4四种命题及其关系命题、真命题和假命题命题、真命题和假命题1引例观察下面的语句：不难发现，这些语句都是陈述句，并且可以判断真假．其中，语句（1）（3）（5）判断为假，语句（2）（4）（6）判断为真．一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．因此，在上面的语句中，（1）（3）（5）是假命题，（2）（4）（6）是真命题．命题、真命题和假命题引例再来观察下面几个命题：容易看出，（1）（4）是真命题，（2）（3）是假命题．它们都具有“若p，则q”（或“如果p，那么q”）的形式．在数学中，这种形式的命题经常遇到．通常，我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论．四种命题四种命题2否命题逆否命题原命题逆命题四种命题为12341）原命题和逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．例如四种命题2）否命题如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题称为互否命题．如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个称为原命题的否命题．例如也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若非p，则非q”．“若

，则

”．四种命题3）逆否命题如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题称为互为逆否命题．如果把其中的一个命题称为原命题，那么另一个称为原命题的逆否命题．例如也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若非q，则非p”．“若

，则

”．同理，常将逆否命题记为四种命题重要结论四种命题间的相互关系3原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的相互关系如下图所示．四种命题一般地，四种命题的真假性之间具有如下关系：如果两个命

题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．如果两个命题互为逆否命题，那么它们具有相同的真假性（即同为真命题或同为假命题）；四种命题在以下四个命题中，若设命题（1）是原命题，显然命题（2）、（3）、（4）分别是它的逆命题、否命题和逆否命题．此外，我们发现，命题（2）、（3）互为逆否命题，命题（2）、（4）为互否命题，命题（3）、（4）为互逆命题．不难判断，原命题（1）是真命题，它的逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题．四种命题例如总结而言，命题（1）、（4）互为逆否命题，它们同为真命题；命题（2）、（3）互为逆否命题，它们同为假命题；其他两两命题的真假性之间没有关系．例15解分析上面6个语句中，（2）不是陈述句，所以它不是命题；（6）虽然是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余4个都是陈述句，而且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中（1）、（4）是真命题，（3）、（5）是假命题．判断一个语句是不是命题，要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．四种命题例16解四种命题例17解（

1）原命题可以改写成：若一个数是负数，则这个数的立方是负数．逆命题：若一个数的立方是负数，则这个数是负数；否命题：若一个数不是负数，则这个数的立方不是负数；逆否命题：若一个数的立方不是负数，则这个数不是负数．原命题、逆命题、否命题和逆否命题均是真命题．四种命题（2）原命题可以改写成：若一个整数的个位上数字为0，则它能被5整除．逆命题：若一个整数能被5整除，则它的个位上数字为0；否命题：若一个整数的个位上数字不为0，则它不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则它的个位上数字不为0．原命题和逆否命题是真命题，逆命题和否命题是假命题．1.5充分条件与必要条件引例分析下列推论是否成立：充分条件与必要条件充分条件与必要条件例如例18解充分条件与必要条件例题解析例18解充分条件与必要条件1.6简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词且（and）1在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“且”联结而得到的新命题．（1）10能被2整除；（2）10能被5整除；（3）10能被2整除且能被5整除．在上述三个命题中，命题（1）、（2）都是真命题，所以命题（3）是真命题．一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作“p且q”．例如规定当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．简单的逻辑联结词或（or）2在下列三个命题中，命题（3）是由命题（1）、（2）使用联结词“或”联结而得到的新命题．（1）21是4的倍数；（2）21是7的倍数；（3）21是4的倍数或是7的倍数．在上述三个命题中，命题（1）是假命题，命题（2）是真命题，所以命题（3）是真命题．一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作读作“p或

q”．例如规定当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．简单的逻辑联结词非（not）3在下列两个命题中，命题（2）是命题（1）的否定．（1）正方形是矩形；（2）正方形不是矩形．在上述两个命题中，命题（1）是真命题，命题（2）是假命题．一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作读作“非p”或“p的否定”．例如规定若p是真命题，则必是假命题；若p是假命题，则必是真命题．例题解析例19解简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词例20解简单的逻辑联结词例21解事实上，逻辑联结词与集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交集”、“并集”、“补集”．1.7全称量词与存在量词全称量词1引例观察下面的语句：不难发现，语句（1）、（2）无法判断真假，因而不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）、（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）、（4）是命题全称量词与存在量词全称量词与存在量词存在量词2引例观察下面的语句：容易判断，语句（1）、（2）不是命题．语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）、（4）变成了可以判断真假的语句，因此语句（3）、（4）是命题．全称量词与存在量词全称量词与存在量词命题“有一个质数是偶数”、“有的平行四边形是矩形”都是特称命题．例如含有一个量词的命题的否定3引例写出下列命题的否定：全称量词与存在量词1）含有一个量词的全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称量词与存在量词引例写出下列命题的否定：全称量词与存在量词2）含有一个量词的特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：全称量词与存在量词例题解析例22解全称量词与存在量词例23解全称量词与存在量词例24解全称量词与存在量词本章小结本章主要内容是集合的初步知识与简易逻辑知识．这些知识不仅是今后进一步学习数学的基础，还是研究数学的重要工具．集合的初步知识包括集合的有关概念、集合的表示、集合间的关系及集合的运算；简易逻辑知识包括四种命题的含义及相互关系、充分条件与必要条件、逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定．集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容。当遇到比较抽象的集合语言时，可将其转换、翻译成我们更为熟悉的图形语言或文字语言，以帮助理解符号语言所表达的含义．本章小结本章知识结构导入不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用．本章将在初中所学不等式知识的基础上，继续介绍不等式的性质、解法和实际应用等内容．现实世界和日常生活中存在着两种基本数量关系，一种是相等关系，另一种是不等关系．用不等号（，，，，）表示不等关系的式子称为不等式．2.1不等式的基本性质2.1.1实数大小的比较2.1.2不等式的基本性质引例在数轴上，位置靠右的点对应的实数大，还是位置靠左的点对应的实数大?2.1.1实数大小

的比较例题解析例1解例2解可见，比较两个式子的大小，就是比较两个式子的数值的大小．2.1.1实数大小

的比较2.1.2不等式的

基本性质性质1不等式具有三条基本性质，分别为传递性、加法性质和乘法性质．证明性质2证明性质2通常称为不等式的加法性质．它表明，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变．2.1.2不等式的

基本性质性质3性质3通常称为不等式的乘法性质．它表明，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如何利用目前所学知识证明性质3?2.1.2不等式的

基本性质例题解析例3解2.1.2不等式的

基本性质例4解解2.1.2不等式的

基本性质例5解2.1.2不等式的

基本性质例6解解2.2区间的概念2.2.1有限区间2.2.2无限区间2.2.1有限区间；

引例2.2.1有限区间；

在数轴上，位置靠右的点对应的实数大，还是位置靠左的点对应的实数大?引例2.2.1有限区间；

（1）开区间：（2）闭区间：（3）右半开区间：（4）左半开区间：2.2.1有限区间；

例题解析例7解2.2.2无限区间；

引例；

（1）（2）（3）（4）2.2.2无限区间（5）注意；

2.2.2无限区间例题解析例8解例9解2.3一元二次不等式一元二次不等式引例观察下面不等式：不难发现，这三个不等式都只含有一个未知数

x

，并且未知数x

的最高次数都是2．像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为例如一元二次不等式一元二次不等式一元二次不等式一元二次不等式软件学习数学公式编辑器MathType的基本用法

安装完MathType

6.5，可在Word2007的功能区中找到“MathType”选项卡，打开此选项卡，然后单击或按钮，可以启动MathType软件，其界面如图所示．一元二次不等式(

1）运算符号、不等号、集合符号、希腊字母等的输入

,可在第一行中“运算符号”按钮、“关系符号”按钮、“集合理论符号”按钮、“希腊字母（小写）”按钮、“其它混杂符号”按钮的下拉列表中找到．提示

一元二次不等式(

2）分式和根式的输入要输入分式，如“”，可在MathType窗口中单击第二行中的“分数和根号模板”按钮（左数第2个），再在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区分别输入分子“3”和分母“4”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．特别地，对于带分数，如“”，可先输入左侧的整数部分“

2”，再按输入一般分式的方法输入真分数部分“”．提示一元二次不等式要输入二次根式，如“”，可在MathType窗口中单击第二行中的“分数和根号模板”按钮（左数第2个），再在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区输入被开方数“2”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．要输入二次以上的根式，如“”，可在MathType窗口中单击第二行中的“分数和根号模板”按钮(左数第2个），再在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区分别输入被开方数“27”和根指数“3”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．提示一元二次不等式(

3）上下标和对数的输入要输入带上标的公式，如“”，可先在编辑区输入底数“

x

”，再单击上方第二行中的“上标和下标模板”按钮（左数第3个），并在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区输入上标“2”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．诸如，，，，等形式公式的输入方法与其类似．要输入带下标的公式，如“”，可先在编辑区输入底数“a”，再单击上方第二行中的“上标和下标模板”按钮（左数第3个），并在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区输入下标“0”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．一元二次不等式要输入既带上标又带下标的公式，如“”，可先在编辑区输入底数“”，再单击上方第二行中的“上标和下标模板”按钮（左数第3个），并在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区分别输入下标“1”和上标“2”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．要输入对数，如“”，可先在编辑区输入对数符号“”，再单击上方第二行中的“上标和下标模板”按钮（左数第3个），并在弹出的下拉列表中单击按钮，然后在编辑区输入底数“2”，再按一下向右方向键，输入真数“8”，最后单击窗口右上角的“关闭”按钮．常用对数“”和自然对数“”可直接输入．一元二次不等式(

4）上下标和对数的输入要更改后续输入公式的字号，可在MathType窗口中选择“尺寸”>“定义”菜单，打开“定义尺寸”对话框，在“完全”编辑框中输入字号，一般五号对应“10.5

pt”，小四对应“12pt”，其余项无需修改（系统会按比例自动调整），然后单击“确定”按钮即可，如下图所示.一元二次不等式输入完公式以后，若要单独修改某个（或某些）文字的字号，可以在Word文档中直接双击公式，进入MathType窗口，通过拖动鼠标选中要修改字号的文字后，选择“尺寸”>“其它”菜单，在弹出的对话框中输入要修改成的字号值，然后单击“确定”按钮，如下图所示．提示默认情况下，个别汉字无法输入到公式编辑器中，这时可选择“样式”>“定义”菜单，打开“定义样式”对话框，选中“高级”单选钮后单击“工厂设定”按钮，然后将“全角文字”一栏的字体设置成“宋体”，最后单击“确定”按钮即可．一元二次不等式(

5）更改公式文字的字体要更改公式文字的字体，可在输入或编辑公式状态下，选中某个字母或符号，然后选择“样式”>“其它”菜单，打开“其它样式”对话框，找到并选中要设置成的字体，并根据需要勾选或取消“斜体”、“粗体”复选框，然后单击“确定”按钮，如右图所示．例题解析例10解一元二次不等式解例10解一元二次不等式解例11解一元二次不等式2.4含绝对值的不等式2.4.12.4.2引例2.4.12.4.1例题解析解解例122.4.2例如例题解析解例13解例142.4.2本章小结不等式是刻画现实世界中量与量之间关系的重要数学模型。本章从比较两个实数的大小出发，引入了不等关系，并研究了不等式的基本性质，之后学习了一元二次不等式、含绝对值的不等式的概念与基本解法．不等式的解集除了可以用集合形式表示外，还可以用更为简便的方法——区间来表示，因此本章还简单介绍了区间的知识。求解一元二次不等式时，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解．要仔细体会不等式、方程及函数之间的联系，学会用数形结合的思想方法去分析、解决问题．所谓数形结合，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。在处理不等式问题时，应从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。本章小结本章知识结构导入世界上的事物千变万化，在变化过程中，许多量之间都有依赖关系，一个量变化时，另一个量会随着变化．函数就是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型．其中，指数函数、对数函数和幂函数是三种重要且常用的基本初等函数，是进一步学习数学的基础．3.1函数及其表示方法3.1.1函数的概念3.1.2函数的表示方法3.1.1函数的概念与初中时学过的函数定义相比，该定义从集合的观点出发，强调了函数的定义域与对应法则，更具有一般性．3.1.1函数的概念函数的定义中有三个要素，即定义域、对应法则和值域．当函数的定义域和对应法则确定以后，函数的值域也就随之确定了，因此，我们将定义域和对应法则称为确定一个函数的两个关键要素．3.1.1函数的概念如果函数没有明确给出其定义域，那么函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量可取的所有实数的集合．但在实际应用问题中，函数的定义域还要根据自变量的实际意义来确定．函数的定义域可用不等式、集合、区间三种形式来表示．对于比较复杂的函数，可以借助数轴来分析如何用区间表示函数的定义域．例如3.1.1函数的概念例1解解解例题解析3.1.1函数的概念例2解3.1.1函数的概念例3解解解3.1.2函数的

表示方法解析法1用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法称为解析法，这个等式称为函数的解析式．例如用解析法表示函数简单明了，容易由自变量求出对应的函数值，便于研究函数的性质，但不够直观．3.1.2函数的

表示方法列表法2用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法称为列表法．例如盒123456…元61218243036…列表法的优点是容易查找与自变量相对应的函数值，但所列数据一般不完整．3.1.2函数的

表示方法图像法3用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法．例如3.1.2函数的

表示方法为了能够直观清楚地研究函数，通常要将解析法和图像法结合起来使用．给定一个函数，对于定义域内的每一个自变量值，都有一个确定的函数值与之相对应．这样，在直角坐标系中以自变量值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，可以描出一个点，所有这些点组成的集合就是函数的图像．图像法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况．为了研究函数的某些性质，往往要画出函数的图像，以便观察函数的变化趋势和它自身的一些特点．例题解析例4解3.1.2函数的

表示方法商店销售某种茶杯，每个售价为3.5元，应付款是购买茶杯数的函数，当购买的茶杯数在5个以内（含5个）时，请用三种方法表示这个函数．个12345元3.5710.51417.5例4解3.1.2函数的

表示方法例5解3.1.2函数的

表示方法123456…011.411.7322.24…3.1.2函数的

表示方法

表示右边例子中的函数？像上述这种，在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数．

分段函数的定义域是自变量的各个取值范围的并集，图像也是由连续（或不连续）的两段或多段组成的．需要注意的是，分段函数是用几个公式合起来表示的一个函数，而不是表示几个函数．3.1.2函数的

表示方法计算器辅助求值用计算器求函数值（1）按键，打开计算器，然后按键，再按键，将计算模式设置为“COMP”（即基本算术运算，此为初始缺省计算模式）．（2）先按键，再依次按键、键输入被开方数．（3）按键，计算器的显示屏中会出现计算结果“2.645751311”，取小数点后两位，即“2.65”．（4）依次按键和键，关闭计算器.3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性3.2.2函数的奇偶性3.2.1函数的单调性引例像这种，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质称为函数的单调性．3.2.1函数的单调性可见，函数的单调性是对函数定义域内的某个区间而言的，它是一个局部性质．判定一个函数是增函数还是减函数，关键是确定它的单调区间．判断一个函数在某个区间上是否单调，可以通过观察函数图像从直观上进行判断，也可以利用函数单调性的定义去证明．3.2.1函数的单调性3.2.1函数的单调性例6解例题解析解3.2.1函数的单调性例73.2.2函数的奇偶性引例3.2.2函数的奇偶性3.2.2函数的奇偶性判断函数的奇偶性此外，我们还可以通过观察函数图像的对称性来判断它是奇函数还是偶函数．反过来，我们也可以利用函数的奇偶性方便地进行作图．即先判断出函数的奇偶性，再作出函数在y轴右侧的图像，然后根据对称性作出函数在y轴左侧的图像．例题解析例8判断下列函数的奇偶性：3.2.2函数的奇偶性解例83.2.2函数的奇偶性解3.3反函数反函数在函数的定义中有两个变量，一个是自变量，一个是因变量（即自变量的函数）．但在实际问题中，研究两个变量的关系时，哪一个是自变量，哪一个是函数，不是绝对的，要根据所研究的具体问题而定．引例设某种商品共有100kg，销售起点是1kg，每kg的单价是2元，则其销售收入y（元）与销售数量x（kg）之间的函数关系式为反函数一般地，给出下面定义：反函数注意例如例题解析例9求下列函数的反函数：解反函数例10解特别强调

反函数3.4.1实数指数幂3.4.2指数函数3.4指数与指数函数3.4.1实数指数幂提示3.4.1实数指数幂n次根式13.4.1实数指数幂例如注意3.4.1实数指数幂分数指数幂2规定规定提示3.4.1实数指数幂定义了分数指数幂以后，就把整数指数幂推广到了有理数指数幂．可以证明，整数指数幂的运算法则对于有理数指数幂也同样适用．前提是必须使运算法则中出现的每一个有理数指数幂都有意义．3.4.1实数指数幂计算器辅助求值用计算器求n次根式与分数指数幂的值（1）按键，打开计算器，然后依次按键和键，再按键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显示），接着再按一次键，将计算结果的显示格式设置为“MathO”．（2）（3）（4）依次按键和键，关闭计算器