安徽天一大联考2025-2026学年高二下学期3月开学考试数学试卷(含答案)

安徽天一大联考2026年3月开学考试高二数学卷高二3月数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列12,−4A.−1n+1n22.在空间直角坐标系中,点P4,−2,−1到A.2B.15C.17D.33.已知直线x−4y+2=0A.β>α>γB.α4.已知点P0,2是圆C:x+22+y−12=mA.2x+y−2=05.某质点沿直线运动,位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为yt=t2+2t，若质点在1≤t≤A.2B.3C.4D.56.已知A是双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的下顶点,直线y=t与CA.1,233B.27.设等差数列an的前n项和为Sn,若a7+a8>0,a5A.8B.13C.14D.158.椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆C的两个焦点分别为F1−2,0,F22,0,如图,光线由点F1发出射到椭圆C上的点P处,经反射后到点F2,再经过x轴反射到椭圆C上的点H,最后反射回点FA.−3B.-2C.−2二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是()A.若fx=2xB.若fx=xcosC.若fx=lnxD.若fx=2x−10.如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,ABA.BGB.BGC.BG在平面CDD1C1D.BG在AD1上的投影向量为11.已知实数a,b满足a2A.a4+b3B.aa+bbC.2a+ba+D.当m∈0,+∞时,a−三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列an中,a1+a213.若函数fx=aex+x的图象与直线14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x24−y212=1的左、右顶点分别为A,B,直线l是C的一条渐近线,将坐标平面以直线l为轴翻折,使得二面角四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A1,0和B3,2,圆C(1)求圆C的方程；(2)已知圆M:x2+y2−2x−516.记数列an的前n项和为Sn,已知(1)证明:an−(2)设bn=nan−1，求数列bn17.如图,在三棱锥P−ABC中,PC=AC=AB(1)证明:DE⊥AC(2)若PC⊥AB，AC=2，求平面AED与平面18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a(1)求C的方程.(2)已知M,N是C上异于A(i)若M,N关于y轴对称,证明:直线AM与BN(ii)若直线MN经过点0,−1,证明:直线AN与BM19.已知an是一个项数有限的数列,从an中任意选出若干项,按原顺序组成数列An,剩余的项按原顺序组成数列Bn,An和Bn都至少有1项,An(1)若an共有3项，a1=1,a(2)若an是首项为2，公比为2的等比数列，共有2026项，求SA(3)已知an是首项为1，公差为1的等差数列，共有m项，An有p项，求SAp−SBm1.D根据分母2,3,4,观察数列各项，符号为正负交替，可表示为−1n分子为1,4,9,则数列的通项公式可以为−12.C点P4,−2,−1到y3.D由x−4y+2=0得又4x−y−2=0得所以tanβ>tanα,所以又x=−2,所以所以γ>4.A因为点P0,2在圆所以0+22+2−12=m,解得则圆心−2,1，所以直线CP的斜率则过点P与圆C相切的直线l的斜率为-2,所以直线l的方程为y−2=−2x5.B由题意得:y1所以质点在1≤t≤5又y′t=2t+2,所以6.B存在t>0则∠OAM即过点A0,−a,且斜率为可设lANy解得x=0或当x=23ab即3b23b2−a2>∴e则C的离心率的取值范围为237.C由题意得a5+a10=a7+a8,a6+a8=2所以S13=13a7所以S14又a1<a2<⋯<a7<0<a8.A由题可知PF所以a=设HF2=m根据反射规律可知:∠PF2F1所以cos∠P所以2m2整理并化简得m=所以cos∠P因为∠PF2F1∈0,π所以tan∠PF2x=tan2π3=−9.BD对于A:若fx=2x,则f对于B:若fx=xcosx,则f′对于C:若fx=lnxx,则f′对于D:若fx=2x−1,则f′10.BCD以DA,DCDA对A:BG=DG−DB对B:因为AC=所以BG=−=−4+12对C:取AB的中点F,连接DF,则DF=因为DF⋅DF所以DF⊥又DC,DD1⊂平面CDD1C1所以DF是平面CDD1C1又BG2所以BG=因为BG⋅所以BG在DF上的投影为:BG⋅BG在平面CDD1C1内的投影向量的长度为BG2−对D:因为AD1=DDBG⋅所以BG在AD1上的投影向量为BG⋅AD111.ACD对a2+b2−即点a,b在以C2,选项A:设a4+b3=可得z的最值对应直线与圆有交点时的截距最值,即圆心C到直线的距离d≤又d=3×2+4×2−12z32+42=14−12z5,所以选项B:根据圆的位置(第一象限)可知,a>0,b>表示圆上的点到原点的距离的平方,最值对应的点位于过原点与圆心C的直线与圆的交点上.故最小值为2−02+选项C:令k=abb≠因此求2a+ba+b的最小值等价于求1k又k=ab表示圆上的点与原点连线的斜率,可设过原点的直线为a=kb又该直线与圆有交点,所以圆心C到直线的距离d≤1,即2−2k1整理得3k2−8k+当k=4−73即2a+ba+b选项D:a−2m2+b+m2令t=mt>0,点E2t故原式可表示为圆上的点到抛物线y=−x24上点而m+1表示E2m,−m所以a−2m2+b又圆心到点0,−1的距离所以圆上的点到点0,−1的距离的最小值为13−1故选:ACD.12.1设等比数列an的公比为q所以a2+a3+所以a1所以a113.2根据导数的意义列方程组求解即可.因为fx=aex设切点为x0,y0,由题意知,a所以a=14.13如图:因为A−2,0,直线l:过A作AE⊥l,垂足为E,则所以OE=过B作BF⊥l,垂足为F,根据双曲线的对称性,可知BF=3,OF=1,所以EF=2.将坐标平面以直线l则AB2=AE2+15.(1)x2(2)6.(1)因为圆C以AB为直径，则圆C的方程为x−1x−3(2)将两圆方程作差得x+yM:x−12则圆心到直线x+y−4=则两圆的公共弦长为2616.(1)由题意得:当n=1时,当n≥2时,由2Sn+所以2Sn−Sn−1+a所以an所以数列an−1是以13为公比,首项为(2)由(1)有an−所以bn所以Tn1由①-②有:2所以Tn17.(1)证明:设PB中点为F，连接DF,EF∵PC=AC=AB∴△PAC∵AC∵D,E,F∴EF∴AC又EF∩DF=F,∴AC⊥平面DEF,又DE⊂平面∴DE(2)由(1)知PC⊥AC又∵PC⊥AB,AB∴PC⊥平面故以C为原点建立如图空间直接坐标系,过C作AB的平行线为y轴,则A2设平面AED的一个法向量m=∴m⋅AD=−x1+y1设平面CDE的一个法向量n=∴n⋅CD=x2+y2设平面AED与平面CDE夹角为θ,∴cosθ即平面AED与平面CDE夹角的余弦值为1318.(1)∵AB=4,∴2b离心率e=ca=1∴C(2)(i)证明:设Mx0,y0，x0≠0，则即y02=8−∴k故直线AM与BN的斜率之积为定值;(ii)证明:由题可知直线MN斜率存在,设直线方程为y=xΔ=直线AN的方程为y=则直线BM的方程为y=由①②两式解得y=22kx1x2+x2−3x119.(1){−(2)2(3)m(1)设原数列总和为S,则S=SA+S由题意,A,B都至少有1项,故