试题-铁人中学2024级高二上学期开学考试数学试卷

铁人中学2024级高二上学期开学初考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷选择题部分选择题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共40分。）1．若复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（

） B． C．1 D．-12．某学校高二体检时将学生分为10人一组，测得其中一组学生的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（

）A．65 B．67 C．67.5 D．703．给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；④异面直线a，b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直．其中正确命题是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④4．一个袋子中放有质地均匀的3个白球，3个红球，摇匀后随机摸出3个球，与事件“至多摸出1个白球”互斥而不对立的事件是（

）A．摸出3个红球 B．至少摸出1个红球C．至少摸出1个白球 D．摸出3个白球5．已知为△ABC所在平面内一点，且满足，则点一定（

）A．在边的高所在的直线上 B．在平分线所在的直线上C．在边的中线所在直线上 D．是△ABC的外心6．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（）A． B． C． D．27．某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（

）A．68 B．63 C．35 D．488．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（）A． B． C． D．二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）9．某学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了简单随机抽样调查，将所有学生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式.并把收集的样本数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（

）A．扇形图中D的占比最小B．柱形图中A和C一样高C．无法计算扇形图中A的占比D．该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半10.已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为2的等边三角形，则下面选项正确的是（

）A．圆锥PO的表面积为B．圆锥PO的内切球半径为C．圆锥PO的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为D．若C为PB的中点，则沿圆锥PO的侧面由点A到点C的最短路程是11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若，且△ABC有两解，则边b的取值范围为C．若，且△ABC为锐角三角形，则边c的取值范围为D．若，且，O为△ABC的内心，则△AOB的面积三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。)12．设m，，为虚数单位，若是关于的一元二次方程一个虚根，则．13．已知向量满足，且，则．14．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中，下列结论：①三棱锥的体积最大值为；②三棱锥的外接球体积不变；③翻折过程中，异面直线与所成角的最大值为；④翻折过程中，与平面所成角的余弦值最小值为.所有正确的命题的序号是.四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。)15．（13分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差.16．（15分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中四边形ABCD为矩形．EF∥平面ABCD，A，D，E，F四点共面，AB＝EF＝AF＝4，BC＝8．点G是线段AC的中点．（1）求证：FG∥平面CDE；（2）若，求点A到平面FBD的距离．（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分）17．（15分）如图，平面内四点A,B,C,P，满足，，.(1)若，（i）求△ABP的面积；（ii）求；(2)若，，求.18．（17分）在三棱柱中，，且D为BC的中点，为的中点.(1)若，求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，求二面角的正弦值的最大值.（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分）19．（17分）如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在