第一课时：勾股定理的逆定理课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章

勾股定理20.2.1第一课时：勾股定理的逆定理学习目标1.

掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.重点：勾股定理逆定理难点：判断一个三角形是直角三角形复习导入B

C

A

bca问题

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5思考

可不可以通过边来确定直角三角形呢？探究新知知识点1勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题1

分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是探究新知知识点1勾股定理的逆定理下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.a2+b2=c2问题3据此你有什么猜想呢?猜想如果三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.探究新知知识点1勾股定理的逆定理△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′探究新知知识点1勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc注：(1)满足两条较小边的平方和等于最长边的平方;(2)最长边所对的角为直角;(3)步骤：一找二算三判。对比归纳勾股定理勾股定理的逆定理条件结论区别联系

由“形”到“数”.

由“数”到“形”.

典例解析题型1勾股定理的逆定理例1

判断由线段

a，b，c组成的三角形是不是

直角三角形：(1)a=

15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.解：(1)因为

82+152

=64+225=289，172=289，

所以

152+82=172，(2)因为

142+132=196+169

=365，152=225，

所以

132+142≠

152.根据勾股定理的逆定理，由线段

a，b，c组成的三角形是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，由线段

a，b，c组成的三角形不是直角三角形.针对训练1.已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形．（1）a=1.5，b=2，c=2.5；（2）a=11，b=26，c=20；（3）a∶b∶c=25∶7∶24.解(1)∵a2＋b2=1.52＋22=6.25，c2=6.25，∴a2＋b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．(2)∵a2＋c2=112＋202=521，b2=262=676，∴a2＋c2≠b2，∴△ABC不是直角三角形．（3）设a=25k（k＞0），则b=7k，c=24k，显然a最大．∵b2＋c2=（7k）2＋（24k）2=625k2，a2=（25k）2=625k2，∴b2＋c2=a2，∴△ABC是直角三角形，且∠A是直角．针对训练2.已知a，b，c是△ABC的三边长，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2,判断△ABC是不是直角三角形．解:∵a2＋b2=（m2－n2）2＋（2mn）2=m4＋2m2n2＋n4，c2=（m2＋n2）2=m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．针对训练3.若△ABC的三边a,b,c

满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.针对训练4.若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.典例解析题型1勾股定理的逆定理例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.针对训练5.如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，连接BD，BE，ED．（1）求点B的坐标；（2）判断△BED的形状，并证明你的结论．解：（1）由题意可知，OA=OC=8，∴点B的坐标为（8，8）．（2）△BED是直角三角形，证明如下：∵点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，∴OD=2，OE=CE=4，DA=6，∴ED2=OD2＋OE2=20，EB2=BC2＋CE2=80，DB2=BA2＋AD2=100，∴ED2＋EB2=DB2，∴△BED是直角三角形．探究新知知识点2勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：

三边满足勾股定理，都扩大相同倍数k(k≠0)，仍然满足.典例解析题型2勾股数

例3下列各组数是勾股数的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A针对训练

A归纳总结勾股定理的逆定理内容作用注意如果三角形的三边长

a，b，c满足