实数及其简单运算课件2025-2026学年数学人教版七年级下册

8.3实数及其简单运算

实数及其简单运算（第1课时）

把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？探究

上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．4，.归纳

事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．

所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？思考

不是．如：

＝1.41421356…

＝1.70997594…

π

＝3.141

592

653

589

793

238

462…

1.01001000100001…（两个1之间依次多一个0）无限不循环小数又叫作无理数．归纳

常见的无理数的形式：

（1）开方开不尽的数的方根，如，等；

（2）

π及化简后含

π的数，如π＋1等；

（3）具有特殊结构的数，如

0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）．

像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，是正无理数，－是负无理数．

有理数和无理数统称实数．

你能给实数分类吗？问题实数有理数无理数正有理数0负有理数正无理数负无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数

1．按照定义分类

你能给实数分类吗？问题实数正实数负实数0

2．按照大小分类

探究

以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于

π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点

O到达点

O′，点

O′对应的数是多少？探究探究

从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长

π，所以点

O′对应的数是π．

这样，数轴上的点

O′就表示无理数

π．

你能在数轴上表示出和吗？问题

以单位长度为边长画一个正方形（如图），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示．

试着说出以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的交点即为所求的根据．思考

用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为

2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数和．归纳

当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的点是一一对应的.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．

例1

指出下列各数中的有理数与无理数：

3.14，

，0，，，，，

，2.3030030003…（相邻的两个3之间依次多一个0）．

解：有理数：3.14，0，，，，；

无理数：，，2.3030030003…（相邻的两个3之间依次多一个0）．归纳

1．无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，例如，，是有理数．

2．含有根号的数不一定是无理数，例如，（）是有理数．

例2

试在数轴上标出

π，

，的大致位置，并借助数轴比较它们的大小．

解：因为

π≈3.14，

≈－2.24，≈1.73，

所以可以近似地标出它们在数轴上的位置，如图．0－2－11324－3BCA

其中点A表示π，点

B表示，点C表示，

所以

＜

＜

π．归纳用数轴上的点表示实数的注意事项

1．数轴上的任何一点表示的数不是有理数就是无理数．

2．在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置，而不能标出其准确位置．正实数大于

0，负实数小于0，正实数大于一切负实数．实数分类实数的大小比较与数轴的关系实数及其简单运算（第2课时）

只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．

有理数关于相反数和绝对值的定义是什么？

（1）

的相反数是_____，－π

的相反数是_____，0

的相反数是____；

（2）|

|＝____，|－π|＝____，|0|＝____．思考有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．π0π0归纳

数

a的相反数是－a，

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是

0．即设

a表示一个实数，则实数的相反数与绝对值的意义（1）实数a的相反数记作－a，两个实数互为相反数是指这两个实数的绝对值相等，但符号相反．（2）若实数a，b互为相反数，则a＋b＝0，反之亦成立．（3）实数的绝对值是指实数在数轴上对应的点到原点的距离．问题

1．（1）分别写出－，π－3.14的相反数；

（2）指出－

，1－

分别是什么数的相反数；

解：（1）因为－(－

)＝

，－(π－3.14)＝3.14－π，

所以，－，π－3.14的相反数分别是，3.14－π．

（2）因为－(

)＝－，－(

－1)＝1－，

所以，－，1－分别是，

－1的相反数．问题

1．（3）求

的绝对值；

（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．

解：（3）因为

＝＝－4，

所以＝＝4．

（4）因为＝，＝，

所以绝对值为

的数是

或．

实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0

可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．实数的运算随着数的范围进一步扩充，负数也将可以进行开平方运算，这是我们今后要学的．

实数的运算顺序：先算____________，再算_______，最后算_______．同级运算__________依次进行，有括号的要_________里面的．乘方、开方乘、除加、减从左到右先算括号问题

2．计算下列各式的值：

（1）；（2）．

解：（1）

（2）问题

解：（1）

在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.归纳例

计算：（1）

；解：（1）原式＝＝．例

计算：（2）．解：（2）因为

≈0.455－1.414＝－0.959，所以

≈0.959．所以

≈

－0.959≈1.047－0.959＝0.088≈0.09．

在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入.

对于a

＋c

形式的运算，可按合并同类项的法则进行，把被开方数相同且开同次方的看成同类项，根号部分看作字母，根号前的数看作系数，这样运算的依据是乘法分配律．实数

实数的相反数、绝对值实数的运算任意实数a的相反数是－a实数的绝对值：非负性

先乘方、开方，再乘、除，最后加、减实数及其简单运算（第3课时）实数有理数无理数实数的相关概念实数与数轴实数的运算1．实数的分类（1）实数在分类时应将原数化简，然后进行分类；（2）有理数包括整数和分数；（3）无限不循环小数是无理数．2．实数的性质相反数、绝对值、倒数的运算及运算律同有理数一样．例1

下列说法正确的是（

）．A．

是有理数

B．

是有理数C．

是无理数

D．

是分数解析：，虽然都含有分母，但分子

π，

是无理数，所以

与

也是无理数，所以选项

A，B错误；＝10，10是有理数，所以选项C错误；

等于，是分数，所以选项D正确．D

掌握无理数的概念是进行判断的关键，要注意带根号的数不一定都是无理数，含分母的数也不一定都是有理数．归纳常见的三种无理数（1）经过化简后，仍然含有π

的数；（2）含有根号，且被开方数开方开不尽的数；（3）无限不循环小数．分析：根据无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数以及小于零的数是负数得到答案．

例2

在实数

0，，－3.14，

（每两个

9

之间的

0

的个数依次增加

1），，中，无理数有___个，有理数有____个，负数有____个．

例2

在实数

0，，－3.14，

（每两个

9

之间的0

的个数依次增加

1），，中，无理数有___个，有理数有____个，负数有____个．解析：

，－0.909

009

000

9…(每两个

9

之间的0

的个数依次增加1)，是无理数，共3

个；

0，－3.14，是有理数，共

3

个；

－3.14，－0.9090090009…(每两个

9

之间的

0

的个数依次增加1)，

是负数，共

3

个．333

掌握好实数的分类以及无理数、有理数包括的几种类型，是解决此类题的关键．在分类时要明确分类标准，保证不重不漏．归纳

例3

若a，b

互为相反数，c，d互为倒数，m

的绝对值为2，求的值．分析：遇到两数互为相反数，就要想到两数之和为0；遇到两数互为倒数，就要想到两数之积为1；遇到绝对值是一个正数，就要想到原数可能有两个．根据互为相反数、互为倒数和绝对值的意义，求出a＋b，cd

及m的取值．

解：由

a，b

互为相反数，c，d

互为倒数，m

的绝对值是

2，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．

所以＝0＋4－|1－

|＝4－

＋1＝5－．

例3

若a，b

互为相反数，c，d互为倒数，m

的绝对值为2，求的值．

（1）此类问题中a，b，c，d

的值不确定，需要运用整体思想求

a＋b，cd的值．

（2）在化简|m|时，需要注意

m的符号．

3．实数与数轴——数轴的三大作用

（1）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的符号，在原点的左侧为负数，在原点的右侧为正数；

（2）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的绝对值的大小，离原点远的绝对值大，离原点近的绝对值小；

（3）根据点在数轴上的位置比较其所表示的实数的大小，数轴上右边的点表示的实数总大于左边的点表示的实数．

例4

如图，M，N

两点在数轴上表示的数分别是

m，n，则化简式子|m＋n|－m

的结果是________．解析：由数轴可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以

m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．n

实数与数轴上的点是一一对应的，它体现了数形结合的思想．利用实数在数轴上所对应的点的位置可以判断出实数或相关式子的值的正负，进而去掉绝对值符号或二次根号，使实数大小的比较更具有直观性．归纳

例5

若将三个数

表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．

解析：可以看到覆盖的数大致范围在

1

和

3

之间，很明显

不在此范围内，而

即

所以能被墨迹覆盖的数是．利用数轴比较实数大小的方法

先由表示实数a

的点在数轴上的位置判断出a的取值范围，再根据各数的特征或采用特殊值法比较出几个数的大小．归纳

例6

如图，在正方形

ODBC

中，OB＝，OA＝OB，则数轴上点A

表示的数是__________．

解析：因为OA＝OB，所以OA＝OB＝．因为点A

在数轴上原点的左边，所以点A

表示的数是－．

4．实数的运算有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序．实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的．

例7已知表示实数a，b，c

的点在数轴上的位置如图．化简：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．分析：解决此类问题的首要任务是根据数轴判断实数a，b，c

的取值范围及其绝对值的大小关系，然后据此判断绝对值中的多项式的符号．由表示实数a，b，c

的点在数轴上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，据此化简即可．解：根据表示实数a，b，c的点在数轴上的位置，得a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．

所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|

＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．

例7已知表示实数a，b，