人教版小学数学三年级下册《笔算乘法·进位：计数单位视角下的算理融合》教案

人教版小学数学三年级下册《笔算乘法·进位：计数单位视角下的算理融合》教案

一、教学内容与学情基准定位

（一）【核心】课题归属与学段坐标

本课隶属于人教版小学数学三年级下册第四单元“两位数乘两位数”第2课时。在知识谱系上，本课处于“表内乘法—多位数乘一位数—两位数乘两位数不进位”之后，是“大数运算”从简单累积走向复合进位的第一个认知隘口，也是后续学习三位数乘两位数、小数乘法乃至代数式运算的基石。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第二学段“数与运算”的要求，本课承担着将运算教学从“技能操练”升维至“算理理解”与“推理意识”培育的关键任务。

（二）【重要】真实学情溯源与认知断层诊断

基于课前前测与访谈分析，本班学生的真实状态呈现以下三大特征：

1.算法假性习得：超过75%的学生通过预习或校外辅导能够模仿竖式计算出类似“48×37”的题目，但半数以上无法解释“第二部分积（48×30）的末位为什么写在十位上”，呈现出典型的“只知其然，不知其所以然”的夹生层。

2.进位机械化：学生在一年级学习加法竖式时已接触“满十进一”，但在乘法进位情境中，常出现“忘记加进位数”“进位写错位置”或“将进位数字直接当作结果”的操作性错误【难点】【高频错点】。

3.思维可视化阻隔：学生习惯于将竖式视为一种机械执行的“指令清单”，尚未建立将算式转化为图形模型（点子图/面积图）并进行双向翻译的思维习惯。

基于此，本课不能停留于“教对位、教进位”的浅表层面，而必须直指乘法运算的核心本质——计数单位个数的累加与位值制下的重组表达。

二、教学目标层级建构（跨学科视角下的素养落点）

（一）【基石】知识技能目标

学生能结合具体情境，理解两位数乘两位数（进位）的笔算算理；掌握“乘—记—加—进位”四步操作程序，能够规范、正确地进行计算，计算准确率当堂达标不低于90%。

（二）【核心】过程方法目标

通过“拆分—图示—竖式”的三阶对照，经历从“多样化算法”向“标准化竖式”的数学化简缩过程；在错例辨析与“把理说出来”的活动中，发展几何直观与演绎推理能力，深刻体会乘法分配律在竖式中的隐蔽形态。

（三）【升华】情感与文化目标

在解决真实问题的过程中，感悟数学工具对于处理复杂数量关系的简洁性；通过对“铺地锦”“叠字计数”等跨学科素材的微渗透，体认不同文明背景下运算逻辑的同构性【文化自信】【跨学科链接】。

三、核心概念锚点与课时大概念

（一）【大概念】本课时唯一贯穿性核心词：计数单位

两位数乘两位数的本质，是将“第二个因数各数位上的计数单位个数”分别去乘“第一个因数各数位上的计数单位个数”，再将所有部分积按相同计数单位对齐、累加。进位，是低一级计数单位累加满十后向高一级计数单位“进1”的自然过程。

（二）【课时大问题】驱动性挑战任务

“不计算，你能看出一道两位数乘两位数算式在竖式计算时，一定会产生几次进位吗？”——以此问题撬动学生对数字构成和位值深化的元认知监控。

四、教学环境与学具预设

为达成“理法相融”的深度学习，本课需构建“双重表征系统”：教师端准备可拆分的磁性点子图板（每板100点）及彩色粉笔；学生每桌配备“学习探究锦囊”（内含：分层任务卡1张、可擦写竖式书写板1块、红蓝双色标记笔）；教室侧板张贴“多位数乘一位数”单元开启课时学生自编的典型错例海报，形成长程学习视觉锚点。

五、教学实施过程（深度展开）

本环节以“认知冲突驱动—多元表征对话—本质模型提炼—变式弹性训练”四阶循环展开，全流程约35分钟，占据课堂80%篇幅。

（一）第一阶：情境嵌入与认知冲突制造——从“假性学会”走向“真问题暴露”【约6分钟】

1.真实问题具象化

屏幕出示“校园酸奶吧营养餐配送”实景图：本周三要为37个班级配送课间酸奶，每班需要领取48盒。

师：“估一估，大约需要准备多少盒？这个数够不够2000盒？你是怎么估的？”

学生自然调用四舍五入法：48≈50，37≈40，50×40=2000，得出“大约2000盒”的估算结论。

【重要】此处的估算不仅是数感的培养，更是为后续精确值对比埋下“误差分析”的伏笔，建立“精确计算是为了验证和调整估算”的解决问题闭环。

2.前测作品对照——制造“算得对却说不出”的冲突

师：“请在本子上列出37×48的竖式，能算的同学算完，觉得不确定的同学尝试写第一步。”

教师巡视，选取三份典型作品投影（特征分别为：a.完全正确但无法讲理；b.忘记加进位；c.第二部分积对位错误）。

师：“这三份作品，计算过程看起来不太一样，但有一个惊人的共同点——它们的主人现在都有一点‘说不清楚’。为什么这样乘？第二步的‘144’到底是144个什么？”

【高频痛点】此问直击学生机械模仿的软肋。当学生回答“144是48×3得来的”时，教师追问：“48×3=144，可这里的3是十位上的3，为什么我们写的时候不写成1440？”制造核心认知冲突。

（二）第二阶：多元表征互译——用“图—式—竖”三阶对照攻破算理壁垒【约15分钟】【核心环节】

本环节以“动作思维—图形思维—符号思维”的递进路径，实现从“算法模仿”向“算理自觉”的跨越。

1.几何直观介入——点子图的拆分与重组【重要】

每组学生桌面发放一张48×37的矩形点子图（每行48个点，共37行）。任务指令：“这把‘点子尺’就是48盒酸奶的一排，我们有37排。不动笔计算，请你用圈一圈、分一分的方法，把这个大长方形分成我们会计算的几块。”

【预设与应对】学生基于不进位乘法的经验，大多会将37拆成30和7，将长方形切割为“48×7”和“48×30”两块。

关键追问1：“48×30这块，你圈出了多少个点？你是怎么一下子看出它是1440的？”引导学生发现：30排，每排48个，可以先算48×3=144，但这个3是3个十，所以144是144个十，即1440。

关键追问2：“现在我们把两部分合起来，你打算怎么合？”学生通过数形对应，直观看到“336个一”与“144个十”必须将计数单位统一后才能合并，自然理解竖式中“相同数位对齐”的本质——是相同计数单位的个数相加。

2.横式拆解——乘法分配律的隐性显化

在点子图操作后，请学生在竖式板上写出与图形操作对应的横式分解：

37×48=37×40+37×8=1480+296=1776

或37×48=48×30+48×7=1440+336=1776

【核心洞察】引导学生比较两种拆法的异同，并追问：“无论怎么拆，我们都把它变成了几道题？这是我们学过的什么知识？”勾连二年级“分与合”的思想及乘法分配律的雏形。此时，学生对“先分后合”的转化思想已有具身认知。

3.竖式“考古学”——从“长竖式”到“短竖式”的简缩过程

师：“点子图和横式把想法记录得很清楚，但数学家觉得这样写有点麻烦，他们想要‘压缩’一下。请看——”

教师在黑板左侧完整写出“加法版长竖式”：

48

×37

336（48×7，个位乘个位，满十进位的详细拆解）

1440（48×30，十位乘，隐含末尾0，先不写）

1776

【重要观察】引导学生对比“长竖式”与教材标准竖式。提问：“长竖式里的‘1440’，到了标准竖式里为什么变成了‘144’？那个隐含的0去哪了？它真的消失了吗？”

学生通过讨论达成共识：0并没有消失，只是由于写在十位上，这个位置本身就代表了“十”，所以为了简洁，我们把它藏起来了。这是笔算乘法由繁入简的数学审美飞跃，也是本课理解对位原理的死穴。

1.进位机制的具身模拟——计数器上的“爆十”体验【难点攻克】

针对“37×48”中个位7×8=56这一学生最容易遗忘进位或写错位置的环节，引入竖式计数器演示：

在个位档上连续加8个7（或加7个8），个位满10颗珠拨去并往十位进1，共进5次，十位最后呈现5+28=33颗珠（十位满30向百位进3）。

师：“竖式里那个小小的‘5’，就是计数器上五次‘啪嗒’进位的记录符号。它不是凭空变出来的，是五次满十的见证。”

【基础】此时总结出进位乘法的第一层操作口诀：低位先算，满十标进，高位相乘，积加进数。

（三）第三阶：模型提炼与程序固化——从“一题会”到“类题通”【约7分钟】

1.算法结构提炼

师生共建“两位数乘两位数（进位）”的思维模型图（板书结构化呈现）：

第一阶：拆——将第二个因数拆成几个十和几个一；

第二阶：分乘——分别用拆出的两个部分去乘第一个因数；

第三阶：合位——个位乘的结果从个位写，十位乘的结果从十位写（本质是计数单位对齐）；

第四阶：累加——将两部分积相加，加时不忘进位数。

2.【高频考点】进位数处理的专项聚焦

呈现一组对比题组，采用“先判断，后计算”的策略：

①24×35②53×27③46×29

不计算，只看个位：4×5=20，肯定有进位；3×7=21，肯定有进位；6×9=54，肯定有进位。

师：“为什么有些题虽然个位进位，但整个计算很简单？有些题进位很大，容易出错？”引导学生发现——十位相乘是否进位才是复杂度的分水岭。如46×29，十位4×2=8，加上个位进位的5得13，十位满十又向百位进1，这是【双重进位】模型，是本课时真正的【难点高地】。

3.错例反刍——基于真实数据的诊疗

展示前测中“53×27”学生将第二部分积“106”错写成“1060”位置偏移的典型错例。

师：“这位同学不是不会算，而是忘记把‘10个53’放在十位上说话了。我们帮他把‘丢失的计数单位’找回来。”

让学生用红笔在原竖式上圈出错位，并用蓝笔在旁边重新画一个小计数器示意图，强制进行“单位校对”。这种“自己给自己当医生”的元认知训练，能大幅降低后续同类错误。

（四）第四阶：分层变式与跨学科迁移——从“算对”走向“会用、会想”【约7分钟】

1.基础性过关（面向全体，保底要求）

完成教材第49页“做一做”：23×34、54×13、39×27、17×28。

要求：先估算积的范围，再列竖式计算，最后将精确值与估算值对比，计算误差百分比。

【高频考点】此四题覆盖了个位进位、十位进位、连续进位三种模型，要求当堂反馈，正确率纳入小组评价。

2.拓展性探究（面向中上，思维爬坡）

任务：“算式迷破解”。

□□

×□□

1□2

□□3

□□□2

已知数字不重复且无0，你能找回原来的两位数吗？

此题将进位推理与数位逻辑结合，学生需逆向思考：个位□×□=12或2？结合第二部分积末位是3，反向推导第二个因数的十位数字。这种游戏化任务能极大激发推理意识的觉醒。

1.【跨学科链接】文化浸润微模块——“汉字中的乘法”

快速展示二年级跨学科活动成果：学生计算“鑫”字笔画（三个金，每字8画，3×8=24画）【引用自真实教学案例】。

师：“其实，古人也遇到过两位数相乘的麻烦。这是明代数学家程大位在《算法统宗》里记录的‘铺地锦’算法，它把乘法变成了画格子数斜杠。”

微投影展示“48×37”的铺地锦网格，学生惊奇地发现，斜杠里数字的累加，居然就是竖式里进位的数字！

【热点】此环节不展开计算，仅停留30秒，旨在让学生感受数学文化在不同时空的智慧共振，打破“算法唯一”的思维定势，渗透“工具迭代”的科学史观。

六、课堂形成性评价与反馈系统

（一）嵌入式评价：个体“手势密码”

在全班练习环节，教师发布指令：“认为第二步积应该和十位对齐的，请伸出食指指向桌面十位的位置；觉得需要把进位数写在横线上方的，用两根手指比划一个‘+’号。”通过全员手势快速获取诊断数据，即时干预。

（二）表现性评价：小组“互诊互疗”

每个学习小组（4人）分发一张“诊疗记录单”，组内轮流展示自己的竖式过程。其他成员担任“主任医师”，需指出对方竖式中“计数单位对齐是否精准”“进位标记是否清晰”，并用规范语言陈述诊断结论。教师巡视时重点捕捉“进位点遗漏”与“对位漂移”两类病例，全班共享处方。

（三）作品性评价：笔算“病历袋”

每个学生将本节课的前测草稿、点子图、修正后的竖式、课堂诊疗单装订成“个人笔算病历袋”，档案袋封面设置三个反思栏：“我原来容易错在哪？”“我今天学会了什么武器？”“我还想问的问题。”这是从“试误”走向“反思”的关键支架。

七、课后作业与学习延伸

（一）【基础必做】家庭作业超市

A类题：完成练习十第3、4题，要求圈出竖式计算中的进位数字，并用波浪线画出第二部分积，在边上用文字批注：“这个积表示多少个（）”。

B类题：寻找生活中单价是两位数、数量也是两位数的购物小票，回家用竖式验算总价是否正确，第二天带来分享“小票中的数学秘密”。

（二）【长程探究】单元拓展任务

发布第四单元项目式学习子任务二：“假如没有竖式——设计你自己的乘法记录法”。

鼓励学生借鉴“铺地锦”、古埃及倍乘法或点子图分割法，为一组两位数乘两位数算式设计一套全新的记录符号系统，并附上“使用说明书”。此任务将运算思维从“技能熟练”拉升到“设计思维”层面，呼应2022版课标对“创新意识”的强调。

八、板书结构化图谱（全课核心思维外显）

黑板主版面采用“分栏对照式”布局：

左1区：情境算式“48×37”+点子图分区染色（红区7行、蓝区30行）

左2区：横式分解“48×7=336”“48×30=1440”+计数单位标注（336个一、144个十）

中区：标准竖式（彩色粉笔区分：黑色写常规积，红色写进位数，黄色高亮标出“144”的末位对位）

右区：学生错例切片+核心箴言（红笔书写）——“计数单位对齐，才是竖式的灵魂”

九、教学思想总结（隐性理念显性化）

本设计始终贯穿三条隐形线索