山西省中考数学第一轮复习专题课件二次函数的实际应用(含综合与实践)

专题二次函数的实际应用(含综合与实践)【专题解读】二次函数的实际应用常以实际问题为背景，涉及问题类型包

括销售利润问题、几何面积问题、抛物线型问题等，山西近两年连续考查

该类试题，且考查类型均为抛物线型问题.抛物线型问题背景可分为两

类：轨迹型抛物线(如篮球飞行轨迹、喷泉轨迹、蛙跳路线等)、实物型抛

物线(拱桥、隧道、围栏等)，设问常结合问题情境进行设置，考查学生利

用函数性质解决实际问题的能力，凸显了数学的应用价值，同时注重考查

学生的阅读能力、模型观念、创新意识.类型一应用图象类(6年2考：2025.22；2024.22)1.(2025山西22题)综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据

青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线

与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路

线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为

N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为

M.

以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直

线为y轴，建立平面直角坐标系.图①(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；解：(1)顶点N的坐标为(80，60).(1分)设抛物线的函数表达式为y=a(x－80)2＋60(a≠0)，(2分)由题意得，点M的坐标为(160，0)，将点M(160，0)代入y=a(x－80)2＋60，得0=a(160－80)2＋60，(3分)

图①问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线

的形状不变.(2)如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P

的坐标为(0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离

OQ的长；图①(2)由题意得，过点P的抛物线是由(1)中的抛物线沿直线l向上平移得到

的，顶点坐标为(80，135)，

解得x1=200，x2=－40(不符合题意，舍去)，(9分)∴点Q的坐标为(200，0)，∴起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm；(10分)图①(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点

在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有

一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57

cm，BC=40cm，CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面

起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，

仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).

图②(3)6cm.(13分)

图②

图②2.(2024山西22题)综合与实践问题情境：如图①，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮

廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩

形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校

面向全体同学征集设计方案.方案设计：如图②，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB

交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°.用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛

物线于点D，E.

用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分

隔成三部分，分别种植不同花色的月季.方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，

发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE

与CF的长.为此，欣欣在图②中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴

建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：

(1) 在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；

解图①∵点P是抛物线的顶点，∴设抛物线的函数表达式为y=ax2＋9(a≠0).(4分)∵点B(3，0)在抛物线y=ax2＋9上，∴0=9a＋9，解得a=－1.∴抛物线的函数表达式为y=－x2＋9(－3≤x≤3)；(5分)解图①(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；(2)∵点D，E在抛物线y=－x2＋9(－3≤x≤3)上，∴设点E的坐标为(m，－m2＋9).(6分)∵DE∥AB交y轴于点F，∴DF=EF=m，OF=－m2＋9，∴DE=2m，∴－m2＋6＋2m=6，(8分)解得m1=2，m2=0(不符合题意，舍去)，∴m=2，∴DE=2m=4，CF=－m2＋6=2，∴6米材料恰好用完时DE的长为4米，CF的长为2米；(9分)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB，

∴CF=OF－OC=－m2＋9－3=－m2＋6.(7分)根据题意，得CF＋DE=6，(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯

带围成一个矩形.她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶

点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要

求的矩形周长的最大值.

解图②

(1) 求抛物线G1的函数表达式；

(2)当m=6时，求点B的坐标；(2)当m=6时，设点B的纵坐标为n，∵MN是倾斜角为45°的斜坡，∴点B的横坐标为6＋n.

将B(6＋n，n)代入，

令x=0，得y=1，∴A(0，1).∵点A，B在同一高度上，∴B(m＋1，1).

解得x=2或x=8(舍去).∵圆柱形桶的直径为1，球落入桶中，∴t的取值范围为1＜t＜2.4.

如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面AB的宽为16m，如果水位上升3m，就达到警戒水位CD，此时水面CD的宽为8m.

(1) 建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的表达式；此题解法不唯一.参考解法：解图①

解图①(2)在(1)的条件下，现有一棱长为4m的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂

流到拱桥处，其吃水深度(集装箱浸在水下的部分)为3.2m，集装箱正面朝

前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行.①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？(2)①此集装箱能顺利通过这座拱桥，理由如下：如解图②，设集装箱的一个顶点为点E，过E作EF∥y轴交抛物线于点F，∵该集装箱吃水深度为3.2m，∴露出水面的高度为4－3.2=0.8(m)，解图②

∴点F的坐标为(2，－0.25)，∵－0.25＞－3.2，∴点F在点E上方，∴此集装箱能顺利通过这座拱桥；∵正方体集装箱的棱长为4m，∴点E的坐标为(2，－3.2)，由(1)可得正常水位时，集装箱上表面距拱桥顶点O的距离为4－0.8=3.2(m)，解图②②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位CD，若要此集装箱能顺利通

过这座拱桥，可以通过往集装箱内注入水增加吃水深度，已知增加的浮力

等于新注水的重力，求应往集装箱内至少注入水的质量为多少千克？(参

考数据：g取10N/kg，ρ水=1×103kg/m3，F浮=ρ水gV排，G=mg)②如解图②，当水面上升至警戒水位CD时，3.2－3=0.2(m)，∴此时点E坐标为(2，－0.2)，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，则集装箱至少需下降0.25－0.2=0.05(m)，∴集装箱排开水的体积至少需增加4×4×0.05=0.8(m3)，解图②∴ρ水gV排=mg，∴m=1×103×0.8=800kg，∴应往集装箱内至少注入水的质量为800千克.∵增加的浮力等于新注入水的重力，设应往集装箱内注入水的质量为mkg，解图②5.综合与实践材料引入：在生物学课堂上学习了“胰岛素”是人体内降低血糖浓度的激

素，可以通过促进葡萄糖的吸收，从而降低血糖浓度.当人体摄入食物

后，血液中的葡萄糖会逐渐增多，大脑识别到这一情况后，脑神经中枢会

发出指令使胰岛细胞分泌胰岛素，随后血糖浓度就逐渐降下来了.问题情境：综合与实践小组的同学阅读完材料后，对正常人体在饭后几小

时内的血糖浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题.数据获取：待测量对象用餐结束时，用血糖测量仪器测量并记录其血糖浓

度变化情况，直至仪器显示其血糖浓度持续稳定在某一小范围内(80~120

mg/dL)，无较大幅度变化时停止记录，得到用餐后几小时内的血糖浓度

变化y(单位：mg/dL)与时间x(单位：h)的曲线图如下.(1)观察图象推断，正常情况下人体的血糖浓度可能是(B)A.50mg/dLB.100mg/dLC.135mg/dLD.160mg/dLB初步探究：

(3)该测量对象用餐后多久血糖浓度达到最大值，最大值是多少？

∴当x=1时，y取最大值，最大值为150，∴该测量对象用餐后1h血糖浓度达到最大值，最大值是150mg/dL；

∴该抛物线的函数表达式为y=－120(x－1.4)2＋210，将y=120代入，解得x≈0.55(舍去)或x≈2.25，∴饭后2.25h测量对象第二次测量的血糖浓度恢复到正常值范围(80~120

mg/dL)内.类型二建立模型类(2025太原模拟)1.(2025太原一模)太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯.当地

种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑，某农业合作社与农

户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯.信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯；素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨；素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规

律如图所示.建立模型：(1)根据素材3中的信息可知，销售价格y(元/吨)是储存星期数x(个)的

⁠

函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，y与x之间的函数关系式为

⁠；一次y=50x＋1200问题解决：(2)若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？(提

示：销售总额=销售价格×销售量)设销售总额为w元，由题意，得w=(50x＋1200)(80－2x)=－100x2＋1600x＋96000=－100(x－8)2＋102400，∵－100＜0，∴当x=8时，w最大，答：要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期；(3)已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用k元.若

这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求k的值及相应

的储存星期数.设这批马铃薯全部售完后，所获得的利润为m元，由题意，得m=－100x2＋1600x＋96000－64000－kx=－100x2＋(1600－k)x＋32000，根据题意可知x≥0且80－2x＞0，∴0≤x＜40，∵－100＜0，∴m有最大值.

答：k的值为400，相应的储存星期数为6个星期.2.

汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事

故的一个重要因素.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140

km/h)，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如表所示.刹车时车速v(km/h)051015202530刹车距离s(m)00.10.30.611.52.1分析数据并完成下列任务：任务一：以刹车时车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在如图所示的平

面直角坐标系中描出对应的点，并选用一条适当的曲线近似表示这7组数

据中刹车距离与刹车时车速之间的变化趋势；描点、连线、画出图象如解图；解图任务二：根据所画曲线可判断刹车距离与刹车时车速之间的关系为

⁠

⁠函数，求出函数表达式并由这个表达式估计刹车时车速为60km/h时

的刹车距离；设s与v之间的函数表达式为s=av2＋bv＋c(a≠0)，把(0，0)，(5，0.1)，(10，0.3)代入s=av2＋bv＋c中，

二次解图

解图任务三：一辆该型号的汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距

离约为40m，已知这条高速公路限速100km/h，请根据你确定的函数表达

式，通过计算判断在事故发生时，该汽车是否超速行驶；当v=100时，s=0.002×1002＋0.01×100=21＜40，∴在事故发生时，该汽车超速行驶；任务四：在司机踩下刹车前通常有一段反应时间，若某车以72km/h的速

度匀速行驶在公路上，在距离该辆汽车30m处的斑马线上有行人通过，那

么司机要想在斑马线前将车停下，他的反应时间最多是多少(1m/s=3.6

km/h，结果精确到0.1s)？∵该车的行驶速度为72km/h，∴刹车距离s=0.002×722＋0.01×72=11.088，∵该汽车到斑马线的距离为30，∴30－11.088=18.912(m)，∵72km/h=20m/s，∴司机的反应时间最多为18.912÷20≈0.9(s).3.综合与实践问题情境：数字烟花表演通过数学模型和AI算法等工具，最终生成裸眼

3D烟花形态，不仅避免了传统烟花的污染风险，还开创了大型赛事开幕

式数实融合的新范式.科技人员为了呈现更真实的数字烟花表演，对某款

烟花发射间隔与烟花高度进行了操作探究，从而获得数学模型.探究主题：探究烟花每发花弹飞行时间与飞行高度的关系.探究步骤：专业人员在安全的场地进行实地测量，在确保安全的前提下，

他们利用测高仪和秒表进行测量工作.第一步：点燃烟花，待第一发花弹发射时开始计时，记录下每发花弹的发

射时间间隔；第二步：当第一发花弹发射后，每隔0.5秒利用测高仪测量并记录这发花

弹的高度；第三步：对每一发花弹都按照上面步骤记录其发射后的高度变化情况.整理数据：汇总数据后，科技人员发现：这款烟花的花弹每隔1.6秒发射

一次，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同，且第一发花弹的飞

行高度h(米)随飞行时间t(秒)变化的规律如下表：t/秒00.511.522.533.5…h/米1.87.311.815.317.819.319.819.3…

解：(1)描点如解图，其图象近似为抛物线，解图∴h=at2＋bt＋c能正确表示h(米)与t(秒)之间的关系，由表格知t=2.5和t=3.5时，