第29课时图形的对称平移与旋转

第七单元尺规作图、图形变换第29课时图形的对称、平移与旋转1.

轴对称与中心对称名称性质轴对称（1）对称点的连线被对称轴垂直且平分.（2）成轴对称的两个图形是全等图形.（3）折叠的实质就是轴对称轴对称图形（1）有对称轴——直线.（2）图形沿对称轴折叠，对称轴两边的部分能够互相重合中心对称（1）成中心对称的两个图形是全等图形.（2）对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分.（3）成中心对称的两个图形只有1个对称中心名称性质中心对称

图形（1）有对称中心——点.（2）图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合2.

图形的平移与旋转名称性质图示图形的平移（1）对应线段平行（或共线）且相等，对应点所连

的线段平行（或共线）且相等，图形上的每个点都

沿同一方向移动了相同的距离.（2）对应角相等.（3）平移前后的两个图形是全等图形

名称性质图示坐标的平移在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向右（或

左）平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为（x

＋a，y）［或（x－a，y）］；将点A（x，y）

向上（或下）平移b个单位长度后，其对应点的坐

标变为（x，y＋b）［或（x，y－b）］

名称性质图示图形的旋转（1）图形上的每一点都绕着旋转中心，沿着相同的

方向旋转了同样大小的角度.（2）旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没

有发生变化，即它们是全等的.（3）旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离

相等.（4）对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且

等于旋转角

类型之一轴对称与中心对称1.

［2025•眉山］剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中属于轴对称

图形的是（

A

）A

B

C

D

A2.

下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（

A

）

A

B

C

D

A类型之二图形的平移3.

如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿

着AD方向向右平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32

时，它移动的距离AA′等于

⁠.

→

4或8【解析】如答图，设A′B′与AC交于点H，CD交A′C′于点K.

∵A′B′∥CD，AC∥A′C′，∴四边形A′HCK是平行四边形.∵∠A＝

45°，∠D＝90°，∴△A′HA 是等腰直角三角形.设AA′＝x，则A′H＝

x，A′D＝12－x，∴S阴影＝x•（12－x）＝32，解得x1＝4，x2＝8，即

AA′＝4或8.

答图【解析】如答图，设A′B′与AC交于点H，CD交A′C′于点K.

∵A′B′∥CD，AC∥A′C′，∴四边形A′HCK是平行四边形.∵∠A＝

45°，∠D＝90°，∴△A′HA 是等腰直角三角形.设AA′＝x，则A′H＝

x，A′D＝12－x，∴S阴影＝x•（12－x）＝32，解得x1＝4，x2＝8，即

AA′＝4或8.

答图4.

［2024•成都模拟］如图，将直角三角形ABC沿BC边向右平移得到直角

三角形DEF，AC交DE于点G.

若AB＝10，BE＝3，DG＝6，则图中阴

影部分的面积为

⁠.21类型之三图形的旋转5.

［2024•广元］如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点

B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上.若

CD＝3，BC＝1，则AD的长为（

A

）A.

B.

C.

2D.

2

A

A.

B.

8－2

C.

4

－8D.

3

－6C

答图【解析】如答图，过点A作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB

＝BC＝8，BC∥AD，∴∠BCD＝∠MBA，∴

sin

∠BCD＝

sin

∠MBA

答图

CM的中点，∴BM＝BC＝8.∵BM＝BA，∴∠BMA＝∠BAM.

∵BC∥AD，∴∠MNA＝∠NAD.

∵∠MAN＝∠BAD，∴∠MAN＋

∠NAB＝∠BAD＋∠NAB，∴∠BAM＝∠NAD，∴∠BMA＝∠MNA，

8.故选C.

类型之四利用平移、旋转和轴对称作图7.

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A

（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）.（1）将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到

△A1B1C1，请画出△A1B1C1；解：（1）如答图1，△A1B1C1即为所求.答图1解：（1）如答图1，△A1B1C1即为所求.答图1（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；解：（2）如答图2，△A2B2C2即为所求.答图2解：（2）如答图2，△A2B2C2即为所求.答图2（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段

A2C2在旋转过程中扫过的面积.（结果保留π）解：（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如答

图3，连接OC3交A2A3于点D，连接OC2交B2B3于点E.

解：（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，如答

图3，连接OC3交A2A3于点D，连接OC2交B2B3于点E.

答图3∵A2（－2，－1），B2（－1，－2），C2（－3，－3），

∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积为S扇形C2O

C3－S扇形A2O

A3＝

一、选择题1.

［2025•广安］下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是

（

D

）

A

B

C

D2.

点P（2，－3）关于原点对称的点P′的坐标是（

D

）A.

（2，3）B.

（－2，－3）C.

（－3，2）D.

（－2，3）DD3.

［2025•德阳模拟］剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸

作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一

幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合.若点B

的坐标是（5，4），则它的对称点A的坐标是（

A

）A.

（－5，4）B.

（－4，5）C.

（5，－4）D.

（4，5）A

A.

M1B.

M2C.

M3D.

M4第4题图B5.

［2025•广元模拟］如图，把△ABC绕着点A顺时针旋转34°，得到

△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上.则∠C′＝（

D

）A.

56°B.

62°C.

68°D.

73°第5题图D二、填空题6.

［2024•甘孜州］如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝

4，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于

点E，则CE的长为

⁠.37.

如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠得到

△AFE，连接CF.

若AB＝4，BC＝6，则CF的长为

⁠.3.6【解析】如答图，连接BF，交AE于点G，由折叠的性质可得，AE垂直

平分BF，即AE⊥BF，BG＝FG.

答图【解析】如答图，连接BF，交AE于点G，由折叠的性质可得，AE垂直

平分BF，即AE⊥BF，BG＝FG.

答图

4.8.∵AE垂直平分BF，∴BE＝FE，∴BE＝CE＝FE，∴∠EBF＝

三、解答题8.

［2025•达州模拟］如图，在△ABC中，A（1，－1），B（1，－

3），C（4，－3）.（1）△A1B1C1是△ABC关于y轴的对称图形，则点A的对称点A1的坐标

是

⁠.（2）将△ABC绕点（0，1）逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则点B的对

应点B2的坐标是

⁠.（－1，－1）

（4，2）

（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，求

出对称轴的函数表达式.解：如答图，对称轴过点（0，1）和（1，0），解：如答图，对称轴过点（0，1）和（1，0），答图设函数表达式为y＝kx＋b，

故函数表达式为y＝－x＋1.9.

［2025•重庆模拟］如图，在等边三角形ABC中，点D为直线AC上一

点，连接BD，以点B为旋转中心，将线段BD逆时针旋转120°，点D的

对应点为点E，连接DE.

（1）如图1，点D在AC边上，若∠1＝α，求∠BDC的度数.（用含α的代

数式表示）图1解：（1）∵以点B为旋转中心，将线段BD逆时针旋转120°，点D的对

应点为点E，∴BD＝BE，∠DBE＝120°，∴∠BDE＝∠E＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC.

∵∠BDC＋∠BDE＝∠1＋∠BAC，∴∠BDC＝∠1＋∠BAC－∠BDE＝α＋60°－30°＝α＋30°.解：（1）∵以点B为旋转中心，将线段BD逆时针旋转120°，点D的对

应点为点E，∴BD＝BE，∠DBE＝120°，∴∠BDE＝∠E＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC.

∵∠BDC＋∠BDE＝∠1＋∠BAC，∴∠BDC＝∠1＋∠BAC－∠BDE＝α＋60°－30°＝α＋30°.图1（2）如图2，点D在CA延长线上，连接EC，延长AB交EC于点F，取

DE的中点G，连接FG.

用等式表示线段FG与FB，AB之间的数量关系，

并证明.图2解：（2）AB＋2FB＝2FG，证明：如答图1，延长CB至M，使BC＝BM，过点E作EN∥BM，交BF的延长

线于点N，连接EM，则∠ABM＝120°.答图1由旋转可知，BD＝BE，∠DBE＝120°，∴∠DBE＝∠ABM＝120°，解：（2）AB＋2FB＝2FG，证明：如答图1，延长CB至M，使BC＝BM，过点E作EN∥BM，交BF的延长

线于点N，连接EM，则∠ABM＝120°.答图1由旋转可知，BD＝BE，∠DBE＝120°，∴∠DBE＝∠ABM＝120°，∴∠EBM＝∠DBA＝120°－∠DBM.

∵BC＝BM，BC＝AB，∴AB＝BM，∴△DBA≌△EBM（SAS），∴∠M＝∠DAB＝120°，AD＝EM，∴∠M＝∠ABM＝120°，∴EM∥AB.

∵EN∥BM，∴四边形EMBN为平行四边形，∴BC＝BM＝EN，∠M＝∠N＝120°＝∠CBF.

∵∠NFE＝∠BFC，∴△NFE≌△BFC（AAS），∴EF＝FC.

∵BC＝BM，∴BF是△CEM的中位线，∴EM＝2BF，∴AD＝EM＝2BF.

∵G是DE的中点，∴GF是△CED的中位线，∴CD＝2GF，又∵CD＝AD＋AC，AC＝AB，∴2GF＝2FB＋AB.

图3解：（3）如答图2，延长CB至点M，使BC＝BM，连接EM，过点